2022中考数学第一轮复习第4章第15讲三角形与全等三角形(共16张)

第四章图形的认识与三角形

第15讲三角形与全等三角形考点梳理考点1

三角形的有关概念三角形的分类按角可分为：①__锐角三角形__、②__直角三角形__和③__钝角三角形__按边可分为：等腰三角形(包括等边三角形)和不等边三角形与三角形有关的角三角形的内角和是④__180°__；外角和为⑤__360°__三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角⑥__大于__与它不相邻的任何一个内角1.三角形的主要线段的区别与联系：名称区别相同点中线平分对边和三角形的面积三条都在三角形内部，交于一点在内部(1)都是线段；(2)都从三角形的顶点画出；(3)所在直线都交于一点角平分线平分内角三条都在三角形内部，交于一点在内部高线垂直于对边(或其延长线)

锐角三角形：三条高线都在三角形内部直角三角形：其中两条恰好是直角边钝角三角形：其中两条在三角形的外部2.三角形的三边关系三角形两边之和⑦__大于__第三边；三角形两边之差⑧__小于__第三边.提示►判断给出的三条线段能否构成三角形时，只要三条线段中较短的两条线段之和大于最长边时，就能构成三角形；否则不能．考点2

全等三角形全等三角形概念能够①__完全重合__的两个三角形叫做全等三角形性质全等三角形的对应边②__相等__，对应角③__相等__，对应线段相等，周长相等，面积相等判定方法边角边(SAS)、角边角(ASA)、角角边(AAS)、边边边(SSS)直角三角形判定两个直角三角形全等，除了四种常用的方法外，另外有单独的判定方法：④__直角边、斜边定理__(HL)__想一想►三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的⑤__一半__．判定两个三角形全等时，可遵照以下原则进行：已知两边对应相等①找已知两边的夹角对应相等，利用“SAS”探索；②找第三边对应相等，利用“SSS”探索.已知有两角对应相等①找出夹边相等，利用“ASA”探索；②找出任意一组相等角的对边对应相等，利用“AAS”探索.已知一边及某一邻角对应相等

①找已知角的另一邻边对应相等，利用“SAS”探索；②找已知边的另一邻角对应相等，利用“ASA”探索；③找已知边的对角对应相等，利用“AAS”探索.有一边及其对角对应相等找任意一组角对应相等，利用“AAS”探索.典型例题运用类型1三角形的内角与外角【例1】如图，∠B＋∠C＋∠D＋∠E－∠A等于()C∵∠B＋∠C＝∠CGE＝180°－∠1，∠D＋∠E＝∠DFG＝180°－∠2，∴∠B＋∠C＋∠D＋∠E－∠A＝360°－(∠1＋∠2＋∠A)＝180°.CA．360°B．300°C．180°D．240°技法点拨►解答这类问题，通过三角形外角和内角之间的关系，把所求角的和转换成三角形的内角和或几个三角形的内角和是常用的方法．变式运用►1.如图，AB∥CD，DE交AC于点E，下列结论：①∠A＝∠ACF；②∠A＝∠CED；③∠A＋∠AED＝180°；④∠AED>∠DCE；其中正确的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个B变式运用►2.如图，∠O＝∠1，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠7，∠8＝90°.则∠O的度数为()A．10°B．15°C．18°D．20°CC设∠O＝∠1＝x，则∠3＝∠2＝∠O＋∠1＝2x，∴∠5＝∠4＝∠3＋∠O＝2x＋x＝3x，∴∠7＝∠6＝∠5＋∠O＝3x＋x＝4x.∵∠8＝∠O＋∠7＝4x＋x＝5x，且∠8＝90°，∴5x＝90，解得x＝18，∴∠O＝18°.类型2全等三角形的判定与性质【例2】如图，BC⊥CA，BC＝CA，DC⊥CE，DC＝CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点G，连接CF.(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：BF⊥AE；(3)请判断∠CFE与∠CAB的大小关系并说明理由．【思路分析】(1)根据垂直的定义得到∠ACB＝∠DCE＝90°，由角的和差得到∠BCD＝∠ACE，进而可得到结论；(2)根据全等三角形的性质得到∠CBD＝∠CAE，根据对顶角的性质得到∠BGC＝∠AGF，由三角形的内角和即可得到结论；(3)过点C作CH⊥AE于点H，CI⊥BF于点I，根据全等三角形的性质得到AE＝BD，S△ACE＝S△BCD，根据三角形的面积公式得到CH＝CI，于是得到CF平分∠BFH，推出△ABC是等腰直角三角形，即可得到结论．技法点拨►解答这类问题，综合运用了全等三角形的判定、性质和定义，角平分线的定义和性质，等腰直角三角形的性质等，正确的作出辅助线是解题的关键．变式运用►3.已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G.(1)求证：BF＝AC；(2)求证：CE＝BF.证明：(1)∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形．∴BD＝CD.∵∠DBF＝90°－∠BFD，∠DCA＝90°－∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，∴∠DBF＝∠DCA.在Rt△DFB和Rt△DAC中，∴Rt△DFB≌Rt△DAC(ASA)．∴BF＝AC.∠BDF＝∠CDA，BD＝CD，∠DBF＝∠DCA，(2)∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.在Rt△BEA和Rt△BEC中，∴Rt△BEA≌Rt△BEC(ASA)．∴CE＝AE＝AC.又∵BF＝AC，∴CE＝BF.∠AEB＝∠CEB，BE＝BE，∠ABE＝∠CBE，真题全练命题点

全等三角形1.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF.给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有()A．4个B．3个C．2个D．1个AA∵BF∥AC，∴∠C＝∠CBF.∵BC平分∠ABF，∴∠ABC＝∠CBF，∴∠C＝∠ABC，∴AB＝AC.∵AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确．在△CDE与△BDF中，∴△CDE≌△BDF(ASA)，∴DE＝DF，CE＝BF，故①正确．∵AE＝2BF，∴AC＝3BF，故④正确．∠C＝∠CBF，CD＝BD,∠EDC＝∠FDB，2．如图，∠ACB＝90°，D为AB中点，连接DC并延长到E，使CE＝CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F.若AB＝6，则BF的长为()A．6B．7C．8D．10CC∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，AB＝6，∴CD＝AB＝3.又∵CE＝CD，∴CE＝1.∴ED＝CE＋CD＝4.又∵BF∥DE，点D是AB的中点，∴ED是△ABF的中位线．∴BF＝2ED＝8.3．如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB＝5，CD＝3，则EF的长是()A．4B．3C．2D．1DD如图，连接DE并延长交AB于点H，∵CD∥AB，∴∠C＝∠A，∠CDE＝∠AHE.∵E是AC中点，∴CE＝AE.∴△DCE≌△HAE(AAS)