对数与对数函数知识点与题型归纳

●高考明方向1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3.知道对数函数是一类重要的函数模型．4.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1)．★备考知考情通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节内容在高考中属于必考内容，且占有重要的分量，主要以选择题的形式命题，也有填空题和解答题．主要考查对数运算、换底公式等．及对数函数的图象和性质．对数函数与幂、指数函数结合考查，利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点.一、知识梳理《名师一号》P27注意：知识点一对数及对数的运算性质1.对数的概念一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1)．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”．注意：(补充)关注定义---指对互化的依据2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝eq\f(n,m)logaM.(2)对数的性质①alogaN＝N；②logaaN＝N(a>0，且a≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝eq\f(1,logba)，推广logab·logbc·logcd＝logad.注意：(补充)特殊结论:知识点二对数函数的图象与性质1.对数函数的图象与性质（注意定义域!）a>10<a<1图象2.反函数指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．(补充)设y＝f(x)存在反函数，并记作y＝f－1(x)，1)函数y＝f(x)与其反函数y＝f－1(x)的图象关于直线对称．2)如果点P(x0，y0)在函数y＝f(x)的图象上，则必有f－1(y0)＝x0，反函数的定义域、值域分别为原来函数的值域、定义域．3)函数y＝f(x)与其反函数y＝f－1(x)的单调性相同．二、例题分析： （一）对数式的运算 例1.(1)《名师一号》P27对点自测1(2013·陕西文3)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()A．logab·logcb＝logcaB．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logacD．loga(b＋c)＝logab＋logac解析由对数的运算性质：loga(bc)＝logab＋logac，可判断选项C，D错误；选项A，由对数的换底公式知，logab·logcb＝logca?eq\f(lgb,lga)·eq\f(lgb,lgc)＝eq\f(lga,lgc)?lg2b＝lg2a，此式不恒成立，故错误；对选项B，由对数的换底公式知，logab·logca＝eq\f(lgb,lga)·eq\f(lga,lgc)＝eq\f(lgb,lgc)＝logcb，故恒成立．答案B例1.(2)(补充)计算下列各式的值(1)(2)温故知新P22第8题(3)答案：(1)1(2)10(3)-12注意：准确熟练记忆对数运算性质多练《名师一号》P28高频考点例1【规律方法】在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．例2.(1)《名师一号》P27对点自测2(2014·陕西卷)已知4a＝2，lgx＝a，则x＝________.解析∵4a＝2，∴a＝log42＝eq\f(1,2).由lgx＝eq\f(1,2)，得x＝10eq\s\up15(eq\f(1,2))＝eq\r(10).例2.（2）《名师一号》P28高频考点例1(1)若x＝log43，则(2x－2－x)2等于()A.eq\f(9,4)B.eq\f(5,4)C.eq\f(10,3)D.eq\f(4,3)解析:由x＝log43，得4x＝3，即2x＝eq\r(3)，2－x＝eq\f(\r(3),3)，所以(2x－2－x)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))2＝eq\f(4,3).注意：指数与对数的互化ab＝N?b＝(a>0，a≠1，N>0)．练习:(补充)已知求答案:例3.《名师一号》P28高频考点例1(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,3－x＋1，x≤0，))则f(f(1))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,2)))的值是()A．5B．3C．－1D.eq\f(7,2)因为f(1)＝log21＝0，所以f(f(1))＝f(0)＝2.因为log3eq\f(1,2)<0，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,2)))＝3eq\s\up15(－log3eq\f(1,2))＋1＝3eq\s\up15(log32)＋1＝2＋1＝3.所以f(f(1))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,2)))＝2＋3＝5.二、对数函数的图象及性质的应用例1.(补充)求下列函数的定义域．(1)y＝eq\r(log0.5(4x－3)).(2)y＝log(x＋1)(16－4x)．解析：(1)由函数定义知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log0.5(4x－3)≥0,4x－3>0))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－3≤1,4x－3>0，))即eq\f(3,4)<x≤1.故原函数的定义域是{x|eq\f(3,4)<x≤1}．(2)由函数有意义知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0,x＋1≠1,16－4x>0))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>－1,x≠0,x<2))即－1<x<2，且x≠0.故原函数的定义域为{x|－1<x<0，或0<x<2}．练习：已知集合求实数a的取值范围．解析：设f(x)＝x2－ax－a，则y＝log2f(x)，依题意，f(x)>0恒成立，∴Δ＝a2＋4a<0∴－4<a<0，即a的范围为(－4,0)例2.《名师一号》P27对点自测5(2014·重庆卷)函数f(x)＝log2eq\r(x)·logeq\s\do8(eq\r(2))(2x)的最小值为________．解析根据对数运算性质，f(x)＝log2eq\r(x)·logeq\s\do8(eq\r(2))(2x)＝eq\f(1,2)log2x·[2log2(2x)]＝log2x(1＋log2x)＝(log2x)2＋log2x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2x＋\f(1,2)))2－eq\f(1,4)，当x＝eq\f(\r(2),2)时，函数取得最小值－eq\f(1,4).注意：换元后“新元”的取值范围．练习：1、求下列函数的值域（1）y＝logeq\f(1,5)(－x2＋2x＋4)[答案][－1，＋∞)（2）f(x)＝logeq\o\al(2,2)x－3log2x2＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤2))[解析]令t＝log2x，∵eq\f(1,2)≤x≤2∴－1≤t≤1.∴函数化为y＝t2－6t＋2＝(t－3)2－7 ∵－1≤t≤1.∴当t＝－1，即x＝eq\f(1,2)时，ymax＝9.当t＝1，即x＝2时，ymin＝－3，∴函数的值域为[－3,9].2、已知集合求实数a的取值范围．[分析]当且仅当f(x)＝x2－ax－a的值能够取遍一切正实数时，y＝log2(x2－ax－a)的值域才为R.而当Δ<0时，f(x)>0恒成立，仅仅说明函数定义域为R，而f(x)不一定能取遍一切正实数(一个不漏)．要使f(x)能取遍一切正实数，作为二次函数，f(x)图像应与x轴有交点(但此时定义域不再为R)[正解]要使函数y＝log2(x2－ax－a)的值域为R，应使f(x)＝x2－ax－a能取遍一切正数，要使f(x)＝x2－ax－a能取遍一切正实数，应有Δ＝a2＋4a≥0，∴a≥0或a≤－4，∴所求a的取值范围为(－∞，－4]∪[0，＋∞)例3.（1）《名师一号》P27对点自测4已知a＞0且a≠1，则函数y＝loga(x＋2015)＋2的图象恒过定点________．解析令x＋2015＝1，即x＝－2014时，y＝2，故其图象恒过定点(－2014,2)．练习:无论a取何正数(a≠1)，函数恒过定点【答案】注意：对数函数图象都经过定点(1,0)例3.（2）(补充)如右下图是对数函数①y＝logax，②y＝logbx，③y＝logcx，④y＝logdx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是 ()A．a>b>1>c>dB．b>a>1>d>cC．1>a>b>c>dD．a>b>1>d>c【答案】B在上图中画出直线y＝1，分别与①、②、③、④交于A(a,1)、B(b,1)、C(c,1)、D(d,1)，由图可知c<d<1<a<b.注意：(补充)两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x＝1右侧的部分是“底大图低”.利用，图象都经过点，作直线，则该直线与图象的交点的横坐标即为底数。例3.（3）《名师一号》P28高频考点例2(1)(2014·福建卷)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()答案：B.例4.《名师一号》P28高频考点例3已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解析:(1)∵f(1)＝1，∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1.这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3，函数f(x)的定义域为(－1,3)．令g(x)＝－x2＋2x＋3，则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，因此应有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,\f(3a－1,a)＝1，))解得a＝eq\f(1,2).故存在实数a＝eq\f(1,2)使f(x)的最小值为0.练习：温故知新P32第5题三、比较大小例1.《名师一号》P29特色专题典例，则()A．a>b>cB．b>a>cC．a>c>bD．c>a>b【规范解答】方法1：在同一坐标系中分别作出函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x的图象，如图所示．由图象知：log23.4>log3eq\f(10,3)>log43.6.方法2：∵log3eq\f(10,3)>log33＝1，且eq\f(10,3)<3.4，∴log3eq\f(10,3)<log33.4<log23.4.∵log43.6<log44＝1，log3eq\f(10,3)>1，∴log43.6<log3eq\f(10,3).∴log23.4>log3eq\f(10,3)>log43.6.由于y＝5x为增函数，故a>c>b.注意：《名师一号》P28问题探究问题3比较幂、对数大小有两种常用方法：①数形结合；②找中间量结合函数单调性．练习:1、若0<x<y<1，则()A．3y<3xB．logx3<logy3C．log4x<log4yD.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))y解析：∵0<x<y<1，①由y＝3u为增函数知3x<3y，排除A；②∵log3u在(0,1)内单调递增，∴log3x<log3y<0，∴logx3>logy3，∴B错．③由y＝log4u为增函数知log4x<log4y，∴C正确．④由y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))u为减函数知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))y，排除D.答案：C2、对于0<a<1，给出下列四个不等式①loga(1＋a)<loga(1＋eq\f(1,a))；②loga(1＋a)>loga(1＋eq\f(1,a))；③a1＋a<aeq\s\up15(1＋eq\f(1,a))；④a1＋a>aeq\s\up15(1＋eq\f(1,a)).其中成立的是()A．①与③B．①与④C．②与③D．②与④答案：D解析：由于0<a<1?a<eq\f(1,a)?1＋a<1＋eq\f(1,a)，∴loga(1＋a)>loga(1＋eq\f(1,a))，a1＋a>aeq\s\up15(1＋eq\f(1,a)).∴选D.四、对数方程与不等式例1.(1)(补充)方程log3(x2－10)＝1＋log3x的解是___．[答案]x＝5[解析]原方程化为log3(x2－10)＝log3(3x)，由于log3x在(0，＋∞)上严格单增，则x2－10＝3x，解之得x1＝5，x2＝－2.∵要使log3x有意义，应有x>0，∴x＝5.注意：依据对数函数恒单调求解。例1.(2)温故知新P32第9题已知函数，且关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是练习：温故知新P31第5、6题温故知新P29第10题例2.（1）(补充)已知0<a<1，loga(1－x)<logax则()A．0<x<1B．x<eq\f(1,2)C．0<x<eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)＜x<1分析：底数相同，真数不同，可利用对数函数y＝logax的单调性脱去对数符号转化为整式不等式求解．解析：∵0<a<1时，y＝logax为减函数，∴原不等式化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x>0,x>0,1－x>x))，解得0<x<eq\f(1,2).例2.(2)(补充)设0<a<1，函数f(x)＝loga(a2x－2ax－2)，则使f(x)<0的x取值范围是()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，loga3)D．(loga3，＋∞)解析：∵0<a<1∴loga(a2x－2ax－2)<0即a2x－2ax－2>1∴a2x－2ax－3>0∴ax>3或ax<－1(舍)∴x<loga3，故选C.注意：关于含对数式(或指数式)的不等式求解，一般都是用单调性或换元法求解．例2.（3）《名师一号》P28高频考点例2(2)当0<x≤eq\f(1,2)时，4x<logax，则a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C．(1，eq\r(2))D．(eq\r(2)，2)解析：由题意得，当0<a<1时，要使得4x<logaxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x≤\f(1,2)))，即当0<x≤eq\f(1,2)时，函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方．又当x＝eq\f(1,2)时，4eq\s\up15(eq\f(1,2))＝2，即函数y＝4x的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，把点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))代入函数y＝logax，得a＝eq\f(\r(2),2)，若函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方，则需eq\f(\r(2),2)<a<1(如图所示)．当a>1时，不符合题意，舍去．所以实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).答案：B.练习:当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________。xyxy012y1=(x-1)2y2=logaxP(2,1)若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过观察图象求解。解：设，，则的图象为右图所示的抛物线，要使对一切，恒成立，,观察图象得：只需即可。故，取值范围是。变式:《名师一号》P28变式思考2(2)不等式logax>(x－1)2恰有三个整数解，则a的取值范围为()A．[eq\r(16,5)，eq\r(9,4)]B．[eq\r(16,5)，eq\r(9,4))C．(1，eq\r(16,5)]D．(1,eq\r(9,4)]解析:不等式logax>(x－1)2恰有三个整数解，画出示意图可知a>1，其整数解为{2,3,4}，则应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(loga4>?4－1?2，,loga5≤?5－1?2，))得eq\r(16,5)≤a<eq\r(9,4).答案:B五、反函数的概念例1.(补充)已知函数f(x)＝2x＋1(x≥0)，记f(x)的反函数为f－1(x)，那么f－1(eq\f(5,4))＝()A.eq\f(5,4)B．4C.eq\f(1,4)D．－2分析：利用函数f(x)及其反函数f－1(x)的关系求解．解析：设f－1(eq\f(5,4))＝a，则f(a)＝eq\f(5,4)，∴2a＋1＝eq\f(5,4)，∴a＝－2.注意：如果点(a，b)在反函数y＝f－1(x)的图象上，则点(b，a)在原来函数的图象上；互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称例2.(补充)函数y＝lg(x＋1)的反函数的图象为()解析：∵函数y＝lg(x＋1)的图象过点(0,0)，故反函数图象过点(0,0)，排除A、B、C，选D.练习：如果一个点是一个指数函数的图象与一个同底的对数函数图象的公共点，那么称这个点为“世博点”．在下面的五个点M(1,1)，N(1,2)，P(2,1)，Q(2,2)，G(2，eq\f(1,2))中，“世博点”的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案]B[解析]∵指数函数与同底的对数