5.2运动的合成与分解（原卷版）

第五章抛体运动第二节运动的合成与分解[核心素养·明目标]核心素养学习目标物理观念体验运动的合成和分解是研究复杂运动的一种基本方法的物理观念。科学思维培养学生应用数学知识解决物理问题的科学思维方法，培养学生的创造性思维过程以及初步的观察、分析和概括能力。科学探究通过对一个平面运动的实例-蜡块的运动的探究让学生能够运用平行四边形法则解决有关位移、速度合成和分解的问题。科学态度与责任通过学生间的对蜡块的运动讨论，培养他们的团结协作精神以及谦虚好学的思想和实事求是的态度。知识点一红蜡块在平面内的运动演示：观察蜡块的运动1．实验器材红蜡做的小圆柱体、一端封闭长约1m的玻璃管、清水2．实验步骤（1）在一端封闭、长约1m的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡做的小圆柱体A，将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧。（图甲）（2）把玻璃管倒置（图乙），蜡块A沿玻璃管上升，观察玻璃管上升的速度。（3）在蜡块匀速上升的同时，将玻璃管紧贴着黑板沿水平方向向右匀速移动（图丙），观察蜡块的运动情况。说明：蜡的密度略小于水的密度。在蜡块上升的初期，它做加速运动，随后由于受力平衡而做匀速运动。3．实验结论（1）水平方向：蜡块随管向右做匀速直线运动。（2）竖直方向：蜡块相对管向上做匀速直线运动。（3）在黑板的背景前我们看到蜡块相对黑板是向右上方运动的。那么，蜡块向右上方的这个运动是什么样的运动呢？要想定量地研究蜡块的运动，就要建立坐标系，具体分析。知识点二、理论分析红蜡块的运动1．建立坐标系以蜡块开始匀速运动的位置为原点O，以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的方向，建立平面直角坐标系。蜡块的位置P的坐标：x=vxty=vyt2．蜡块运动的轨迹x=vxty=vyt在数学上，关于x、y两个变量的关系式可以描述一条曲线（包括直线）。上面x、y的表达式中消去变量t，这样就得到：代表的是一条过原点的直线，也就是说，蜡块的运动轨迹是直线。3．蜡块运动的位移从计时开始到时刻t，蜡块运动位移的大小是位移的方向4．蜡块运动的速度如图所示：速度v与vx、vy的关系可根据勾股定理写出它们之间的关系：根据三角函数的知识知识点三合运动和分运动1.合运动与分运动：如果一个物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是这几个运动的合运动，这几个运动就是物体实际运动的分运动。2.运动的合成与分解的法则：描述运动的物理量如位移、速度、加速度的合成与分解，遵从矢量运算法则。如图：蜡块向右上方的运动可以看成由沿玻璃管向上的运动和水平向右的运动共同构成。蜡块相对于黑板向右上方的运动叫作合运动。蜡块沿玻璃管向上的运动和它随着玻璃管向右的运动，都叫作分运动。3.合运动和分运动的关系（1）合运动和分运动具有同时性；（2）各分运动之间互不干扰，彼此独立；（3）合运动与分运动必须对同一物体；（4）合运动与分运动在效果上是等效替代的关系。4.运动的合成与分解（1）由分运动求合运动的过程叫运动的合成。（2）由合运动求分运动的过程叫运动的分解。5.物体的实际运动的位移、速度、加速度分别叫合位移、合速度、合加速度。6.运动的合成与分解即为描述运动的物理量的合成与分解都遵守平行四边形定则。7.思考讨论:(1)不在同一直线上的两个匀速直线运动的合运动是什么运动？不在同一直线上的两个匀速直线运动的合运动是匀速直线运动。(2)不在同一直线上的匀速直线运动和匀变速直线运动的合运动是什么运动？不在同一直线上的匀速直线运动和匀变速直线运动的合运动是匀变速曲线运动。(3)初速度为零的两个不在同一直线上的匀变速直线运动的合运动是什么运动？初速度为零的两个不在同一直线上的匀变速直线运动的合运动是匀变速直线运动。(4)初速度不为零的两个不在同一直线上的匀变速直线运动的合运动是什么运动？F合与v合共线－匀变速直线运动。F合与v合不共线－匀变速曲线运动。易错易混点1.运动的合成与分解易错易混点辨析：a.一个分清：分清哪一个是合运动，哪两个是分运动。b.一个定则:平行四边形定则。c.两个原则：①实际效果分解原则。②简单原则；即分运动尽量简单。例1.(2022·湖南娄底期中)直升机空投物资时，可以停留在空中不动，设投出的物资离开飞机后由于降落伞的作用在空中能匀速下落，无风时落地速度为5m/s。若飞机停留在离地面100m高处空投物资，由于风的作用，使降落伞和物资在竖直下落时又以1m/s的速度匀速水平向北运动，求：(1)物资在空中运动的时间；(2)物资落地时速度的大小；(3)物资在下落过程中水平方向移动的距离。解析:如图所示，物资的实际运动可以看作是竖直方向的匀速直线运动和水平方向的匀速直线运动两个分运动的合运动。(1)分运动与合运动具有等时性，故物资实际运动的时间与竖直方向分运动的时间相等，所以t＝eq\f(h,vy)＝eq\f(100,5)s＝20s。(2)物资落地时vy＝5m/s，vx＝1m/s，由平行四边形定则得v＝eq\r(veq\o\al(2,x)＋veq\o\al(2,y))＝eq\r(12＋52)m/s＝eq\r(26)m/s。(3)物资水平方向的位移大小为x＝vxt＝1×20m＝20m。易错易混点2.合运动性质的判定易错易混点辨析：两个互成角度的分运动合运动的性质两个匀速直线运动匀速直线运动一个匀速直线运动一个匀变速直线运动匀变速曲线运动两个初速度为零的匀加速直线运动匀加速直线运动两个初速度不为零的匀变速直线运动如果v合与a合共线，为匀变速直线运动如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动例2.(多选)(2022·安徽合肥段考)如图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其沿竖直方向的速度—时间(vy－t)图像如图乙所示，同时人顶着杆沿水平地面运动的位移—时间(s－t)图像如图丙所示。若以地面为参考系，下列说法正确的是()A.猴子的运动轨迹为直线B.t＝0时猴子的速度大小为8m/sC.猴子在0～2s内做加速度恒定的曲线运动D.猴子在0～2s内的加速度大小为4m/s2解析：选CD。由题图乙知猴子在竖直方向做匀减速运动，加速度大小为a＝eq\f(8,2)m/s2＝4m/s2，由题图丙知猴子在水平方向做匀速运动，vx＝eq\f(8,2)m/s＝4m/s，t＝0时，a合＝a＝4m/s2，v＝eq\r(veq\o\al(2,x)＋veq\o\al(2,y))＝4eq\r(5)m/s，合加速度与合速度不共线，故猴子在0～2s内做匀变速曲线运动，A、B错误，C、D正确。易错易混点3.小船过河问题易错易混点辨析：1.明确两个分运动(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同。(2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行，速度大小等于水流速度。2.区别三个速度水流速度v水、船在静水中的速度v船、船的实际速度(即船的合速度)v合。3.掌握两类最值问题(1)过河时间最短问题由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度。若要过河时间最短，则船头垂直于河岸航行即可。由图甲可知，t短＝eq\f(d,v船)，此时船过河的位移s＝eq\f(d,sinθ)，位移方向满足tanθ＝eq\f(v船,v水)。甲(2)过河位移最短问题①若v水＜v船，最短的位移为河宽d，船过河所用时间t＝eq\f(d,v船sinθ)，船头与上游河岸夹角θ满足：cosθ＝eq\f(v水,v船)，如图乙所示。乙②若v水>v船，如图丙所示，从出发点A沿河岸作矢量v水，再以v水末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向。这时船头与上游河岸夹角θ满足cosθ＝eq\f(v船,v水)，最短位移s短＝eq\f(d,cosθ)，而过河所用时间仍用t＝eq\f(d,v船sinθ)计算。丙例3.(2022·山东临沂检测)小船要横渡一条200m宽的河，水流速度为3m/s，船在静水中的航速是5m/s，问：(sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？(3)如果水流速度变为10m/s，要使小船航程最短，应如何航行？解析：(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，小船垂直河岸的速度即小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t＝eq\f(d,v船)＝eq\f(200,5)s＝40s，小船沿河流方向的位移大小s＝v水t＝3×40m＝120m，即小船经过40s，在正对岸下游120m处靠岸。(2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图甲所示，甲则v合＝eq\r(veq\o\al(2,船)－veq\o\al(2,水))＝4m/s，经历时间t′＝eq\f(d,v合)＝eq\f(200,4)s＝50s。又cosθ＝eq\f(v水,v船)＝eq\f(3,5)＝0.6，即船头指向与河岸的上游成53°角。(3)如果水流速度变为10m/s，如图乙所示，要使小船航程最短，应使v合′的方向垂直于v船，故船头应偏向上游，与河岸成θ′角，有cosθ′＝eq\f(v船,v水′)＝eq\f(1,2)，解得θ′＝60°，即船头指向与河岸的上游成60°角。乙易错易混点4.牵连速度问题易错易混点辨析：1.牵联速度用绳、杆(高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩的)相牵连的物体或者直接接触的两物体，在运动过程中两物体的速度通常不同，但两物体的速度间存在某种联系，称为关联速度。2.解决牵联速度问题的一般步骤第一步：先确定合运动，即物体的实际运动。第二步：确定合运动的两个实际作用效果，一是沿绳(或杆)方向的平动效果，改变速度的大小；二是沿垂直于绳(或杆)方向的转动效果，改变速度的方向。即将实际速度正交分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)方向的两个分量并作出运动矢量图。第三步：根据沿绳(或杆)方向的速度相等列方程求解。例4.(2022·云南玉溪期末)如图所示，重物沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车沿斜面升高。问：当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且重物下滑的速率为v时，小车的速度为()A.vsinθ B.eq\f(v,cosθ) C.vcosθ D.eq\f(v,sinθ)解析：选C。将重物的速度按图示两个方向分解，如图所示，得绳子速率为v绳＝vcosθ；而绳子速率等于小车的速率，则小车的速率为v车＝v绳＝vcosθ，故选C。例5.如图所示，一轻杆两端分别固定两个可视为质点的小球A和B，将其放到一个光滑的球形容器中并在竖直面上运动，当轻杆到达A球与球形容器球心等高时，A球速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，B球的速度大小为v2，则()A.v2＝v1 B.v2＝2v1 C.v2＝eq\f(v1,2) D.v2＝eq\r(3)v1解析：选A。根据题意，将A球的速度沿着杆与垂直于杆两方向分解，同时将B球的速度也沿着杆与垂直于杆两方向分解，A球：v0＝v1sinθ，B球：v0＝v2sinθ，由于是同一轻杆，则有v1sinθ＝v2sinθ，所以v2＝v1，故A正确，B、C、D错误。针对训练1.(多选)若河水的流速大小与水到河岸的距离有关，河中心水的流速最大，河岸边缘处水的流速最小。现假设河的宽度为120m，河中心水的流速大小为4m/s，船在静水中的速度大小为3m/s。要使船以最短时间渡河，则()A.船渡河的最短时间是24sB.在行驶过程中，船头始终与河岸垂直C.船在河水中航行的轨迹是一条直线D.船在河水中的最大速度为5m/s2.某人站在自动扶梯上，经t1时间从一楼升到二楼，如果自动扶梯不动，人沿着扶梯从一楼走到二楼的时间为t2。现使扶梯正常运动，人也保持原有的速度沿扶梯向上走，则人从一楼到二楼的时间是()A．t2－t1 B.eq\f(t1t2,t2－t1)C.eq\f(t1t2,t1＋t2) D.eq\r(t12＋t22/2)3.如图所示，在距河面高度h＝20m的岸上有人用长绳拴住一条小船，开始时绳与水面的夹角为30°。人以恒定的速率v＝3m/s拉绳，使小船靠岸，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，那么()A.5s时绳与水面的夹角为60°B.5s时小船前进了15mC.5s时小船的速率为4m/sD.5s时小船到岸边的距离为15m4.关于相互垂直的一个匀速直线运动和一个匀加速直线运动的合运动，下列说法正确的是()A．一定是曲线运动B．可能是直线运动C．运动的方向不变D．速度一直在变，是变加速运动5.如图所示，某人由A点划船渡河，船头方向始终与河岸垂直，小船在静水中的速度恒定，下列说法正确的是()A.小船能到达正对岸的B点B.小船能到达正对岸B点的左侧C.小船到达对岸的位置与水流速度无关D.小船到达对岸的时间与水流速度无关6.如图所示，汽车用跨过定滑轮的轻绳提升物块。汽车匀速向右运动，在物块到达滑轮之前，下列说法正确的是()A.物块将竖直向上做匀速运动B.物块将处于超重状态C.物块将处于失重状态D.物块将竖直向上先加速后减速7.(2022·江苏南通期末)如图所示，小船沿直线AB过河，船头始终垂直于河岸。若水流速度减小，为保持航线不变，下列措施与结论正确的是()A.减小船速，过河时间变长B.减小船速，过河时间不变C.增大船速，过河时间不变D.增大船速，过河时间缩短8.如图所示，物体A套在竖直杆上，经细绳通过光滑轻质定滑轮拉动物体B在水平面上运动，开始时A、B间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A的运动，使其恰好以速度v沿杆匀速下滑(B始终未与滑轮相碰)，则()A.绳与杆的夹角为α时，B的速率为vsinαB.绳与杆的夹角为α时，B的速率为vcosαC.物体B也做匀速直线运动D