安庆师范大学

安庆师范大学第三章多维随机向量第一节二维随机向量及其分布第三节随机变量的独立性第二节边际分布第四节两个随机变量的函数的分布第五节条件分布第六节维随机向量及其分布第1页，共36页。安庆师范大学第一节二维随机向量及其分布1.二维随机向量的定义及其分布函数

定义3.1.1设，是定义在同一个样本空间上的两个随机变量，则称向量为的二维随机变量，简记为

。

定义3.1.2设是二维随机变量，对任意实数和，称二元函数(3.1.1)为二维随机变量的分布函数，或称为随机变量和的联合分布函数.

第2页，共36页。安庆师范大学分布函数的性质：（1）单调不减性：是变量和的单调不减函数（2）有界性：，且，有，，，。（3）右连续性：是变量和的右连续函数，即。（4）非负性：对于任意，下式成立：。第3页，共36页。安庆师范大学定义3.1.3若二维随机变量的所有可能取值是有限对或可列无穷多对，则称为二维离散型随机变量.2、二维离散型随机变量定义3.1.4设二维离散型随机变量的一切可能取值为，且取各对可能值的概率为

（3.1.3）称式（3.1.3）为的（联合）概率分布或（联合）分布列.

第4页，共36页。安庆师范大学表格形式为：性质：（1）非负性：（2）规范性：联合分布函数：第5页，共36页。安庆师范大学例3.1.1袋子中有5件产品（3正2次），任取一件产品，再取一件产品，设（1）试求有放回抽取方式下的联合分布列；（2）试求无放回抽取方式下的联合分布列.解：（1）有放回抽取：

第6页，共36页。安庆师范大学（2）无放回抽取：例3.1.2设随机变量在1,2,3,4四个整数中等可能地取值，另一个随机变量在中等可能地取整数值，试求的分布律。解：由题意易知的取值为：第7页，共36页。安庆师范大学

即第8页，共36页。安庆师范大学3.二维连续型随机变量

定义3.1.4设二维随机变量的分布函数为，若存在一个非负可积函数，使得对任意实数，使得

则称为二维连续型随机变量，称为的联合分布密度或概率密度.

第9页，共36页。安庆师范大学的性质：(1)非负性；(2)正则性；(3)

设为xOy平面上的任一区域，则点落在内的概率为

.(3.1.6)(4)

若在点处连续，则有

第10页，共36页。安庆师范大学

例3.1.3设二维随机变量的联合密度为试求(1)常数,（2）,（3）解（1）由联合密度函数的正则性知从而.(2)

(3)

第11页，共36页。安庆师范大学4.常见的二维分布

1.二维均匀分布设是平面上的一个有界区域，其面积为，若随机变量的联合密度函数为：

就称服从区域上的均匀分布，简记为

第12页，共36页。安庆师范大学

2.二维正态分布设二维随机变量具有联合概率密度函数其中均为常数，且,则称服从参数为的二维正态分布，记作.

第13页，共36页。安庆师范大学

3.二维指数分布设二维随机变量具有联合概率密度函数其中，则称服从参数为的二维指数分布。

例3.1.4设（X，Y）在圆域x2+y2≤4上服从均匀分布，求（1）（X，Y）的概率密度；（2）P{0＜X＜1，0＜Y＜1}.第14页，共36页。安庆师范大学第二节边际分布1.边际分布函数定义3.2.1设二维随机变量，各自的分布函数分别记为和,则称为关于的边际分布函数（Marginaldistributionfunction），称为关于的边际分布函数.

依定义有

第15页，共36页。安庆师范大学

例3.2.1设的分布函数为试求（1）系数（2）

解：

（1）由联合分布函数性质知

所以

第16页，共36页。安庆师范大学（2）两个边际分布函数为第17页，共36页。安庆师范大学2.二维离散型随机变量的边际分布列

定义3.2.2设是二维离散型随机变量，分别称的分布列(3.2.3)(3.2.4)为关于的边际分布列.

事实上，边际分布列可通过下式表出

第18页，共36页。安庆师范大学例3.2.2设一个口袋中有三个球，它们依次标有数字1,2,2.从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球.设每次取球时，袋中各个球被取到的可能性相同.以分别记第一次、第二次取得的球上标有的数字写出下列两种试验的随机变量（X，Y）的联合分布与边际分布.（1）有放回摸球；（2）无放回摸球.解（1）采取有放回摸球时，的联合分布与边际分布由下表给出.

(2）采取无放回摸球时，的联合分布与边际分布由下表给出.

第19页，共36页。安庆师范大学3.二维连续型随机变量的边际分布列

定义3.2.3设是二维连续型随机变量，联合密度函数为，由的边际分布的定义知故称(3.2.5)为关于的边际密度函数。同样称(3.2.6)为关于的边际密度函数。

第20页，共36页。安庆师范大学例3.2.3设服从单位圆上的均匀分布，试求的边际密度函数.解由题知的联合密度函数为

所以，当或者时，.当，且时，有.综合可得的边际密度函数为同理可得的边际密度函数为第21页，共36页。安庆师范大学第三节随机变量的独立性定义3.3.1设和为两个随机变量，若对于任意的和，事件是相互独立的，即则称和相互独立(Mutuallyindependent).对于一般随机变量，和相互独立对于离散型随机变量，和相互独立对于连续型随机变量，和相互独立

第22页，共36页。安庆师范大学例3.3.1设的联合分布列为试判断的独立性.解显然的边际分布列为

因为

所以不独立.

第23页，共36页。安庆师范大学

例3.3.2已知的联合密度为问是否独立？解的边际密度为

由此可见，与相互独立

第24页，共36页。安庆师范大学例3.3.3设，则独立的充要条件为证明充分性：当时，的联合密度函数为.

又由前一节例3.2.4知

所以，，独立.必要性：设独立，则对任意的都有.特别的，取得，即

于是.

第25页，共36页。安庆师范大学第四节两个随机变量的函数的分布1.二维离散型随机变量函数的分布列

例3.4.1设的分布列为求和的分布律.解：第26页，共36页。安庆师范大学

例3.4.2设相互独立，且依次服从泊松分布，求证服从.

证明的可能取值为0，1，2，…，的分布列为

所以服从第27页，共36页。安庆师范大学

例3.4.3设随机变量相互独立，且都服从参数为0.2的0-1分布，即求的分布.解：的分布列为同理可得的分布列为

第28页，共36页。安庆师范大学2.二维连续型随机变量函数的分布

一般方法：（1）求分布函数

（2）求密度函数

第29页，共36页。安庆师范大学（1）和的分布

同理特别地，当与相互独立时，有独立和的卷积公式第30页，共36页。安庆师范大学

例3.4.5设

相互独立，密度函数分别为

求的概率分布密度.解由卷积公式知即更一般地，有结论：

设

相互独立且，则

第31页，共36页。安庆师范大学（2）及的分布

同理

第32页，共36页。安庆师范大学第五节条件分布1.二维离散型随机变量的条件分布律定义3.5.1

设二维离散型随机变量的联合分布列为