学年《函数的单调性与导数》

第3章导数及应用3.3.1函数的单调性与导数复习引入：一般地，对于给定区间D上的函数f(x)，若对于属于区间D的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，有问题1：函数单调性的定义怎样描述的?

(1)若f(x1)<f(x2)，那么f(x)在这个区间上是增函数.

(2)若f(x1)>f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.4.讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.定义法单增区间：(２，+∞).单减区间：(－∞，２).图象法5.确定函数f(x)=xlnx在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?提出问题:(1)你能画出函数的图象吗?(2)能用单调性的定义吗?试一试,提问一个学生:解决了吗?到哪一步解决不了?（产生认知冲突）发现问题:定义是解决单调性最根本的工具,但有时很麻烦,甚至解决不了.尤其是在不知道函数的图象的时候,如该例,这就需要我们寻求一个新的方法来解决．（1）（2）引导：随着时间的变化,运动员离水面的高度的变化有什么趋势?是逐渐增大还是逐步减小?如图（1）,它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象,图（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象.

运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?通过观察图象,我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,．（2）从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,．函数的单调性可简单的认为是：说明函数的变化率可以反映函数的单调性，即函数的导数与函数的单调性有着密切的联系.观察下面函数的图象,探讨函数的单调性与其导数正负的关系

2yx0.......再观察函数y=x2－4x＋3的图象：该函数在区间（－∞，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负;而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性的关系是：

一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,则函数在该区间

如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为常数函数.如果f´(x)<0,则f(x)在这个区间为增函数;则f(x)在这个区间为减函数.如果f´(x)>0,函数的单调性与导数的关系:

若f(x)在区间(a,b)上是增函数,则转化为在(a,b)上恒成立;若f(x)在区间(a,b)上是减函数,则转化为在(a,b)上恒成立.

例1.已知导函数的下列信息:当1<x<4时，当x>4,或x<1时，当x=4,或x=1时，试画出函数f(x)的图象的大致形状.xyO14

利用导数求函数的单调区间例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间．1（2）根据导数确定函数的单调性步骤：1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数f´(x)3.解不等式f´(x)>0,得函数单增区间;

解不等式f´(x)<0,得函数单减区间.xyo例3如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO

从导数的角度解释增减及增减快慢的情况解:(1)→(B),(2)→(A),(3)→(D),(4)→(C)

一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.

如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象平缓.

有关含参数的函数单调性问题(1)函数的单调性与导数的关系;

如何从导数的角度解释增减及增减快慢的情况;数学知识：(2)求解函数y=f(x)单调区间的步骤:①确定函数y=f(x)的定义域（养成研究函数的性质从定义域出发的习惯）;②求导数f´(x);③得结论:f´(x)>且在定义域内的为增区间;f´(x)<0且在定义域内的为减区间．数学思想：数形结合和转化思想．(3)由函数在(a,b)上的单调性,求参数的取值范围:若f(x)在区间(a,b)上是增函数,则