正切函数的性质与图象学案 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.3正切函数的性质与图象重难点：了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质；能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题．复习1.(1)正弦函数y=sinx、、、、。(2)余弦函数上的图象中有五个关键点：、、、、。2.(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且，那么函数f(x)就叫做周期函数．叫做这个函数的周期．（2）如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．3.正弦函数、余弦函数的性质图象定义域值域周期奇偶性对称轴单调性在上是增函数在上是减函数在上是增函数在上是减函数最值及此时的值当，最大值是。当，最小值是。当，最大值是。当，最小值是。二．新课讲解1.（1）请同学们回忆角的正切是如何定义的？。（2）角α是任意的吗？。（3）由以上，你能定义正切函数吗？。(4)你还记得诱导公式二、三中和正切有关的公式吗？，。2.(1)周期性：由诱导公式tan(π＋x)＝tanx，x∈R，且x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，可知正切函数是周期函数，周期是π.(2)奇偶性：由诱导公式tan(－x)＝－tanx，x∈R，x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，可知正切函数是奇函数．注意点：注意区分正切函数与正弦、余弦函数的最小正周期，求周期的公式为：T＝eq\f(π,|ω|).3.(1)函数y＝tan（x+πA.{x|x≠π4}B.{x|x≠−π4}C.{x|x≠kπ−(2)函数f(x)＝tan（−2x+πA.eq\f(π,2)B.eq\f(π,4)C．πD．2π小结：①求函数的定义域时要注意正切函数y＝tanx有意义，即x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.②一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝eq\f(π,|ω|)；(3)函数f(x)＝cos（x+π2）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数小结：判断函数的奇偶性，要先判断其定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．4.(1)如何利用正切函数的周期性和奇偶性研究它的图象及其他性质？。(2)如何画出函数y＝tanx的图象？提示如图，先画出y＝tanx，x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))内的图象，然后根据正切函数是奇函数，得到关于原点对称的y＝tanx，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))的图象，再根据函数的周期性，只要把函数y＝tanx，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数y＝tanx，x∈R，x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z的图象，我们把它叫做正切曲线．5.（1）画出正切函数y＝tanx在（−3π（2）正切函数y＝tanx(x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z）只有对称中心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)．没有对称轴。6.（1）函数y＝tan(x+πA．(0,0)B.(π4,0)C.((2)y＝12与y＝tan3xA．πB.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,3)D.eq\f(a,3)π(3)与函数y＝tan(2x−πA．x＝eq\f(π,2)B．y＝eq\f(π,2)C．x＝eq\f(π,8)D．y＝3π87.（1）正切函数是单调函数吗？。正切函数的值域是。（2）正切函数在每一个区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上都．正切函数（填“有”或者“没有”）最大值和最小值，故正切函数的值域是实数集.8.已知函数f(x)＝2tan(x4−π3）,求小结求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－eq\f(π,2)＋kπ<ωx＋φ<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．(3)求函数y＝－tan2x＋2tanx＋3，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))的值域．9.设函数f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3))).(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；(2)求不等式－1≤f(x)≤eq\r(3)的解集．10.画出函数y＝|tanx|的图象，并根据图象判断其定义域