专题14 平方根重难点题型专训（九大题型）（解析版）

专题14平方根重难点题型专训（九大题型）【题型目录】题型一平方根与算术平方根概念理解题型二求一个数的算术平方根题型三利用算术平方根的非负性解题题型四求算术平方根的整数部分与小数部分题型五与算术平方根有关的规律探索题题型六求一个数的平方根题型七已知一个数的平方根，求这个数题型八利用平方根解方程题型九平方根的应用【知识梳理】知识点一：平方根、算术平方根1.（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．2.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“﹣a”．正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．3.算术平方根正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。【经典例题一平方根与算术平方根概念理解】1．（2023秋·安徽芜湖·八年级校考开学考试）下列说法正确的是（）A．是的平方根 B．是的平方根C．的平方根是 D．的平方根是【答案】B【分析】利用平方根的定义求解即可．【详解】、没有平方根，故此选项说法错误，不符合题意；、，的平方根有两个为，故此选项说法正确，符合题意；、，的平方根有两个为，故此选项说法不全，不符合题意；、的平方根是，不是，故此选项说法错误，不符合题意；故选：．【点睛】此题考查了平方根的定义，解题的关键是正确理解一个正数的平方根有两个，互为相反数，的平方根是，负数没有平方根．2．（2023春·河北邢台·七年级校考期中）若2023的两个平方根是和，则的值是（

）A．0 B．2023 C． D．4046【答案】C【分析】根据平方根的意义可得，然后代入式子进行计算即可得到答案．【详解】解：2023的两个平方根是和，，，故选：C．【点睛】本题主要考查了平方根，如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是它本身，负数没有平方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．3．（2022秋·浙江·七年级期中）若x是最大的负整数，y是最小的正整数，z是平方根等于本身的数，则的值是．【答案】【分析】根据题意分别得出a、b、c的值，再代入进行计算即可．【详解】解：∵x是最大的负整数，∴，∵y是最小的正整数，∴，∵z是平方根等于本身的数，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了有理数的相关定义，平方根的定义，解题的关键是掌握平方根等于本身的数是0．4．（2023春·北京大兴·七年级校考阶段练习）已知两个不相等的实数满足：，，则的值为．【答案】0【分析】由题意可得x、y是a的两个不相等的平方根，根据平方根的性质可得x+y=0即可解答【详解】解：∵两个不相等的实数满足：，∴x、y是a的两个不相等的平方根∴x+y=0∴=0．故答案为0．【点睛】本题主要考查了平方根的性质，掌握一个数的两个不相等的平方根的和为0成为解答本题的关键．5．（2023秋·山西临汾·八年级统考期末）阅读与理解阅读学习过程，完成“步骤二”中的填空和“步骤三”的求值．我们在华东师大版八年级上册，学习了平方根的意义和两个乘法公式——平方差公式和完全平方公式，下面是一节课的探究学习片断：步骤一：再探公式，猜想规律，，．发现这两个公式中包含了两数和、两数差、两数积、两数平方和、两数平方差，在这五个数量中，是否存在“知二求三”的一般性规律呢？步骤二：推导变形，得出公式由可得，．由也可得______，______．综合这两个公式还可得出：______，______．进一步综合变形推导可得：或（依据是______）或，同理可得：求的公式为______．步骤三：迁移运用，提升能力若，，请运用“步骤二”中推导出的变形公式，求，，的值．【答案】步骤二：；；；；平方根的意义；或或；步骤三：，，【分析】根据完全平方公式、平方差公式等结构特点进行变形求值即可．【详解】解：步骤二：，，，．依据是：平方根的意义，，故答案为：；；；；平方根的意义；或或；步骤三：∵，，∴，，．【点睛】本题考查了完全平方公式及其变形，平方差公式，平方根等知识点，熟练掌握完全平方公式的变形是解本题的关键．【经典例题二求一个数的算术平方根】1．（2023春·江苏淮安·八年级统考期末）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据算术平方根对各选项进行计算，然后判断即可．【详解】解：A中，错误，故不符合要求；B中，正确，故符合要求；C中，错误，故不符合要求；D中，错误，故不符合要求；故选：B．【点睛】本题考查了算术平方根．解题的关键在于正确的运算．2．（2023春·湖南湘西·七年级校联考期中）下列说法正确的是（

）A．的平方根是2 B．的算术平方根是2C．1的平方根是1 D．0的平方根与算术平方根都是0【答案】D【分析】根据平方根与算术平方根的性质逐项判断即可得．【详解】解：A、是负数，没有平方根，则此项错误，不符合题意；B、是负数，没有算术平方根，则此项错误，不符合题意；C、1的平方根是，则此项错误，不符合题意；D、0的平方根与算术平方根都是0，则此项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平方根与算术平方根，解题的关键是熟练掌握平方根与算术平方根的性质：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根是这个数的算术平方根，0的算术平方根是0；负数没有平方根和算术平方根．3．（2023春·山西吕梁·七年级校考期中）若与的和是单项式，则的算术平方根是．【答案】4【分析】根据同类项的定义解得的值，即可求得的值，然后求其算术平方根即可．【详解】解：若与的和是单项式，即与为同类项，则有，∴，∵，∴的算术平方根是4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了同类项、代数式求值、算术平方根等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．4．（2023春·辽宁抚顺·七年级校联考阶段练习）若，则的值是．【答案】【分析】根据算术平方根，绝对值的非负性，即可求解．【详解】解：∵有意义，∴∴∴∴即∴解得：故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根的性质，化简绝对值，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．5．（2023春·重庆巴南·七年级统考期末）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中为有理数．为无理数，那么，运用上述知识解决下列问题：(1)如果，其中为有理数，求和的值；(2)如果，其中为有理数，求的立方根；(3)若均为有理数，且，求的算术平方根．【答案】(1)，(2)的立方根为2(3)的算术平方根为或【分析】（1）根据题干提供的方法列出m和n的方程求解即可；（2）先根据题干提供的方法列出m和n的方程组求解，然后代入计算即可；（3）先整理成，其中为有理数．为无理数，再按题干提供的方法求解．【详解】（1）∵，其中为有理数，∴，；∴，．（2）∵，∴，∵m、n为有理数，∴解得∴，∴的立方根为2．（3）∵，，∵m、n为有理数，∴，，∴，，∴当，时，，的算术平方根为；当，时，，的算术平方根为；综上所述，的算术平方根为或．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次方程的解法，算术平方根的意义等知识，掌握题目介绍的解题方法是解答本题的关键．【经典例题三利用算术平方根的非负性解题】1．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考阶段练习）关于代数式的说法正确的是（

）A．时最大 B．时最小C．时最大 D．时最小【答案】C【分析】根据算术平方根的非负性解答即可．【详解】解：，当时，的值最大为3．故选：C．【点睛】本题考查非负数的性质，掌握算术平方根的非负性是解题关键．2．（2022春·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）若，则的算术平方根为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平方与算术平方根的和为，可得平方与算术平方根同时为，可得出二元一次方程组，根据解二元一次方程组的方法，可得答案．【详解】∵，∴，解得：，∴，∴的算术平方根为，故选：．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，解题关键熟记平方与算术平方根的和为，可得平方与算术平方根同时为．3．（2022秋·福建漳州·八年级校考期中）已知，则．【答案】4【分析】根据偶次方和算术平方根的非负性，求出、的值，再代入计算即可．【详解】解：，即，而，，，，解得：，，，故答案为：．【点睛】本题考查偶次方、算术平方根的非负性，掌握偶次方、算术平方根的非负性是解决问题的关键．4．（2023秋·八年级课时练习）若，则分式的值为．【答案】【分析】由算术平方根，偶次方的非负性可得，再利用加减法可得，，再代入求值即可．【详解】解：∵，∴，得：即，得：即，∴，故答案为：．【点睛】本题考查的是算术平方根的非负性，二元一次方程组的解法，熟练的利用整体代入法求值是解本题的关键．5．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）已知，，满足，求，，的值．【答案】，，．【分析】先把原方程化为；进而可得，，，据此求出、、的值即可．【详解】解：，，，，，，，．【点睛】本题考查非负数性质的性质、算术平方根等知识，解答此题的关键是把原方程化为非负数的和的形式．【经典例题四求算术平方根的整数部分与小数部分】1．（2022春·山东日照·七年级校考期末）关于“”，下面说法不正确的是（）A．它是数轴上离原点个单位长度的点表示的数B．它是一个无理数C．若a<<a+1，则整数a为3D．它表示面积为10的正方形的边长【答案】A【分析】根据无理数的意义和数轴的性质进行判断即可．【详解】解：A、±它是数轴上离原点个单位长度的点表示的数，题干的说法错误，符合题意；B、是一个无理数，题干的说法正确，不符合题意；C、∵3＜＜3+1，a＜＜a+1，∴整数a为3，题干的说法正确，不符合题意；D、表示面积为10的正方形的边长，题干的说法正确，不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查的是算术平方根的概念和分类以及应用，掌握无理数的概念和意义是解题的关键．2．（2021·北京·统考中考真题）已知．若为整数且，则的值为（

）A．43 B．44 C．45 D．46【答案】B【分析】由题意可直接进行求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴；故选B．【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键．3．（2023春·四川凉山·七年级校考阶段练习）若的整数部分为，小数部分为，则，．【答案】【分析】根据首先确定的值，则小数部分即可确定．【详解】解：，，则．故答案是：3，．【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．4．（2023春·全国·七年级专题练习）的小数部分为a，的小数部分为b，则.【答案】1【分析】先分析介于哪两个整数之间，再分别求出和介于哪两个整数之间，即可求出和的整数部分，然后用它们分别减去它们的整数部分得到，代入即可.【详解】解：∵∴，∴∴的整数部分为10，的整数部分为2，∴a=

b=代入得：

=12018=1【点睛】此题考查的是实数（带根号）的整数部分和小数部分的求法.5．（2022春·甘肃陇南·七年级校考阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．请解答：如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；【答案】1【分析】根据题中的例子求出a，b，再代入计算即可．【详解】∵，即，∴的整数部分为3，小数部分为，即∵，即，∴的整数部分为4，即b=4．∴，即的值是1．【点睛】本题考查与算术平方根的整数部分有关的计算，掌握确定无理数的估算方法是解题的关键．【经典例题五与算术平方根有关的规律探究题】1．（2021秋·广东茂名·八年级校联考期中）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由图形可知，第n行最后一个数为，据此可得答案．【详解】解：由图形可知，第n行最后一个数为，∴第8行最后一个数为＝6，则第9行从左至右第5个数是，故选：B．【点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为．2．（2023春·全国·七年级专题练习）已知：，，，，若符合上面规律，则的值为（

）A．179 B．109 C．210 D．104【答案】B【分析】分析数据可得：，有；，有；若，必有；且，则；则．【详解】解：，可得；，可得；，则，，则，．故选：B．【点睛】本题考查了根据算术平方根的性质化简，根据题意找到规律是解题的关键．3．（2023春·广西崇左·七年级统考期末）请你计算下列四个式子的值：；；；，并观察你的计算结果，用你发现的规律得出：的值为．【答案】55【分析】根据；；；，…，可得：，据此求出的值为多少即可．【详解】解：；；；，…，∴，∴．故答案为：55．【点睛】此题主要考查了求一个数的算术平方根以及数字的变化规律的应用，熟练掌握求一个数算术平方根的方法是解题关键．4．（2023春·北京丰台·七年级北京丰台二中校考期中）数学解密：若第一个式子是，第二个式子是，第三个式子是，…，观察以上规律并猜想第五个式子是．【答案】【分析】先找出前面四个式子的规律，得出第n个式子是，进而写出第五个式子即可。【详解】解：∵，即，，即，，即，，即，∴第五个式子为，即，故答案为．【点睛】本题考查了算术平方根，是个找规律的题目，难度中等，分析题意，找出规律是解题的关键．5．（2023春·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末）阅读下面材料，解答问题：【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根”的实践活动．【实践探究】同学们利用计算器计算出下表中的算术平方根，整理数据如下：………0.250.7912.57.912579.1250…(1)根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动___________位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动___________位；(2)已知，请运用、上述规律直接写出各式的值：___________，___________．(3)你能根据的值说出的值是多少吗？请说明理由．【答案】(1)2，1(2)0.1732，17.32(3)不能，理由见解析【分析】（1）根据表格中数据即可得到答案；（2）由（1）中规律直接计算即可得到答案；（3）由（1）中规律即可得到答案．【详解】（1）解：由表中，若被开方数的小数点向右或向左移动位2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动位1位；故答案为：2，1；（2）解：，由（1）若被开方数的小数点向右或向左移动位2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动位1位，；；故答案为：0.1732，17.32；（3）解：不能根据的值说出的值，理由如下：由（1）知若被开方数的小数点向右或向左移动位2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动位1位可得，而到中，被开放数的小数点向右移动了1位，满足不了规律要求，从而无法由的值说出的值．【点睛】本题考查数的规律，读懂题意，准确找出规律是解决问题的关键．【经典例题六求一个数的平方根】1．（2023春·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）已知，则的平方根是（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根据绝对值的性质构建二元一次方程求出x和y的值，再根据平方根的概念解答即可．【详解】解：∵，∴，，∴，得，，解得，将代入①，解得，∴，∴的平方根，故选：C．【点睛】本题考查了绝对值的性质和平方根的概念，构建二元一次方程是解答此题的关键．2．（2023春·河南商丘·八年级统考期中）若则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先将两边同时平方，求出，可凑出，再开方即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用和开平方的运算，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．3．（2023春·浙江杭州·七年级期中）已知，，求，．【答案】28或36【分析】利用平方差公式将变形为，再将代入即可求解；利用完全平方公式将变形为，再根据计算出的值代入即可．【详解】解：，；，，，当时，，当时，．故答案为：64，28或36．【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式、平方根等知识点，解题的关键是掌握完全平方公式及其变形，注意分类讨论．4．（2023春·黑龙江鹤岗·七年级校考阶段练习）已知，则的平方根是．【答案】【分析】根据根式的非负性可求出，的值，进而可求出答案．【详解】解：∵，且根号下不能为负，∴，，∴，∴，∴，∴的平方根是，故答案为：．【点睛】本题考查根式的非负性，以及计算一个数的平方根，能够根据根式的非负性计算出未知数的值是解决本题的关键．5．（2023春·福建福州·七年级校联考期中）（1）已知与互为相反数．①求的平方根；②解关于x的方程．（2）已知正实数y的平方根是m和．①当时，求m.②若，求y的值．③在②条件下，k是的小数部分，求的值．（备注：一个数的小数部分是指这个数减去不超过该数的最大整数）【答案】（1）①；②；（2）①；②；③9．【分析】（1）互为相反数的两个数的和为0，从而可求得，的值，再代入①②进行运算即可；（2）正实数的平方根互为相反数，则有，得到，再代入①②进行求值即可；③先求出k的值，再代入求值即可．【详解】解：（1）与互为相反数，，则，，解得：，，①当，时，，16的平方根为：；②，，解得：；（2）正实数的平方根是和，，得：，①当时，，解得：；②，，，，则，解得：，是正实数，．③当时，，∴∴【点睛】本题主要考查非负数性质：绝对值，平方根，解答的关键是掌握平方根的性质和定义．【经典例题七已知一个数的平方根，求这个数】【例7】（2023春·山西大同·七年级大同市第三中学校校考期末）如果一个正数的平方根是a+3及2a﹣15，那么这个正数是(

)A．441 B．49 C．7或21 D．49或441【答案】B【分析】根据正数的平方根有两个，且互为相反数，由此可得a的方程，解方程即可得到a的值；进而可得这个正数的平方根，最后可得这个正数的值．【详解】解：∵一个正数的平方根是a+3和2a﹣15，∴a+3和2a﹣15互为相反数，即(a+3)+(2a﹣15)＝0；解得a＝4，则a+3＝﹣(2a﹣15)＝7；则这个数为＝49；故选：B．【点睛】本题考查了平方根的概念、解一元一次方程，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．【变式训练】1．（2023春·安徽亳州·七年级校考期中）一个数的算术平方根是x，则比这个数大2的数的算术平方根是（）A．x2+2 B．+2 C． D．【答案】D【详解】因为一个数的算术平方根是x,所以这个数是,比这个数大2的数是,所以比这个数大2的数的算术平方根是,故选D.2．（2023春·广东肇庆·七年级统考期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是．【答案】1【分析】先根据平方根的性质得出两个平方根互为相反数，再列方程计算，根据平方根的平方是被开方数得出这个正数【详解】由题意可知：∴这个正数的两个平方根分别是∴这个正数是1故答案为：1【点睛】本题考查平方根的性质，利用性质列方程是解题关键3．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知一个正数m的两个不相等的平方根是与．(1)求这个正数m；(2)求关于x的方程的解．【答案】(1)49(2)【分析】（1）由一个正数的两个平方根互为相反数求值，即可求解；（2）将代入即可求解．【详解】（1）解：由题意得，，解得，；（2）当时，，，．【点睛】本题考查平方根的意义及求平方根，关键是要掌握一个正数有两个平方根，互为相反数．【经典例题八利用平方根解方程】【例8】（2023春·江苏南京·七年级校联考期中）若，，则的值是（

）A．0 B．4 C．0或4 D．2或4【答案】C【分析】根据平方根的含义先求解，，再分类讨论即可．【详解】解：∵，，∴，，当，，∴，∴，当，，∴，∴，当，，∴，∴，当，，∴，∴，综上：的值是0或4．故选C．【点睛】本题考查的是平方根的含义，求解代数式的值，等式的基本性质的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．【变式训练】1．（2023春·重庆永川·八年级统考期末）若，则的值是（）A．0 B．2 C．3 D．2或3【答案】D【分析】根据算术平方根的定义解答即可.【详解】

故选：D【点睛】本题主要考查了算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根，记作．正确理解算术平方根的定义是解题的关键.2．（2023·全国·九年级专题练习）旧知回顾：在七年级学习“平方根”时，我们会直接开方解形如的方程（解为）．解题运用：方程解为．【答案】，．【分析】先将原方程化为，即可类比题目中解方程的方法求解即可．【详解】解：，，合并同类项，得，移项，得，解得，．故答案为：，．【点睛】本题考查了利用平方根解方程及整式的乘法运算，掌握平方根的定义是解答此题的关键．3．（2023·河北秦皇岛·统考一模）设示是一个两位数，其中是十位上的数字（），例如，当时，表示的两位数是45．观察以下等式：①当时，；②当时，；③当时，；……根据以上规律，解决下列问题(1)写出第六个等式：______(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明：(3)运用：若与的差为2525．求的值．【答案】(1)(2)，证明见解析(3)【分析】（1）观察题干中式子的变化，根据变化规律，即可得到答案；（2）根据题干中式子的变化规律，用代数式表达即可；（3）由与的差为2525，列方程求解即可．【详解】（1）解：当时，；（2）解：，证明如下：，；（3）解：与的差为2525，整理得：，解得：，，．【点睛】本题考查了找规律-数字类，完全平方式的应用，利用平方根的含义解方程，理解题意，找到规律是解题的关键．【经典例题九平方根的应用】【例9】（2023秋·河南三门峡·八年级统考期末）如图是用4个相同的长方形与1个正方形镶嵌而成的正方形图案．已知该图案的总面积为m，小正方形的面积为n．若用x、y表示长方形的两边长（），请观察图案，指出下列关系式：①、②、③、④若，则．这四个结论中正确的有（

）个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据该图案的总面积、正方形的面积公式即可判断①；根据小正方形的面积、正方形的面积公式可得，从而可得，再结合①即可判断②；根据四个长方形的面积等于两个正方形的面积之差即可判断③；先将用含的式子表示出来，由此即可判断④．【详解】解：该图案是正方形，且该图案的总面积为，边长为，，结论①正确；小正方形的面积为，边长为，，由得：，则，即，结论②正确；四个长方形的面积等于两个正方形的面积之差，，即，结论③正确；由结论②可知，，代入得：，若，则，即，，结论④错误；综上，这四个结论中正确的有3个，故选：C．【点睛】本题考查了整式的加减与图形面积、算术平方根的应用，读懂图形，熟练掌握各图形面积之间的关系是解题关键．【变式训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）交通事故统计发现，每年的汽车追尾事故占所有事故的30％左右．造成追尾事故的主要原因是刹车距离把握不当，研究发现，在柏油路面上，刹车距离s与车速v的关系式是s＝（其中），当刹车距离增加一倍时，车速增加（

）．A．1倍 B．倍 C．－1倍 D．2倍【答案】B【分析】知道刹车距离s与车速v的关系式后，再将等式进行变形，使得s变为2s，即可得出答案．【详解】解：由题意知，刹车距离s与车速v的关系式是：（其中），所以，当刹车距离增加一倍时，即：即车速增加倍，故选：B．【点睛】本题考查算术平方根的应用，借助算术平方根解决实际问题．2．（2023春·浙江·七年级期末）如图，正方形ABCD和正方形EFGH分别由两张相同的长方形纸片无缝拼接而成，现将其摆放在桌面上，如图所示，重合部分为甲、乙、丙，其中乙为正方形，记甲、丙的面积分别为，，若，且桌面被所有纸片覆盖区域的面积为，则乙的面积为．【答案】4【分析】设乙的边长为2a，根据，，可以推出从而推出两个大正方形的边长，再由覆盖面积列出方程求解即可【详解】解：设乙的边长为2a，∵正方形ABCD和正方形EFGH分别由两张相同的长方形纸片无缝拼接而成，∵，，∴，，∴，∴正方形EFGH的边长为，正方形ABCD的边长为，∴，解得（负值舍去），∴，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了平方根的应用，正确理解题意表示出两个大正方形的边长是解题的关键．3．（2023春·广西南宁·七年级南宁二中校考期末）综合与实践【问题发现】如图1，把两个面积都为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成一个大正方形，则该大正方形的边长为cm．【知识迁移】若一个圆与一个正方形的面积都是，设这个圆的周长为，这个正方形的周长为，则（填“＝”或“”或“”）．【拓展延伸】李明想用一块面积为的正方形纸片（如图2所示），沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为．李明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．

【答案】【问题发现】；【知识迁移】；【拓展延伸】能，理由见解析【分析】【问题发现】根据大正方形的面积为，由算术平方根即可求得正方形的边长；【知识迁移】分别求出圆的半径、正方形的边长，即可求出它们的周长，比较即可；【拓展延伸】设长方形的长、宽分别为，由面积关系建立方程即可求得x的值，再把长方形的长与正方形的边长比较即可作出判断．【详解】解：【问题发现】由题意得大正方形的面积为，则其边长为；故答案为：；【知识迁移】设圆的半径为r，则有，解得：，则；设正方形的边长为a，则，解得：，则；∵，∴，故答案为：；【拓展延伸】能，理由如下：设长方形的长、宽分别为，则，解得：，∵，，∴李明能用这块纸片裁出符合要求的纸片．【点睛】本题考查了算术平方根的应用，用代数式表示长方形的长、宽及正方形的边长是关键．【重难点训练】1．（2023春·山东聊城·八年级校考阶段练习）已知和是某正数a的平方根，则a的值是（

）A．3 B．64 C．3或 D．64或【答案】D【分析】与相等或者互为相反数，分别求出的值，再求出的值，最后求出的值．【详解】解：I．当和相等时，，解得：，，；II．当和互为相反数时，，解得：，，；综上所述：a的值是64或．故选：D．【点睛】本题考查了平方根的定义，体现了分类讨论的数学思想，解题时不要漏解．2．（2023春·湖北恩施·七年级统考期中）已知实数，若互为相反数，互为倒数，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意知，，，由，可得，分别计算，时代数式的值即可．【详解】解：由题意知，，，∵，∴，当，，当，，∴，故选：C．【点睛】本题考查了相反数，倒数，平方根，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．3．（2023春·浙江嘉兴·七年级统考期末）如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形的面积为11，较小的正方形的面积为4，中间重叠部分的面积为1，则图中三角形的面积为（

）

A．11 B．10 C．6 D．5【答案】D【分析】观察图形可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，则重叠部分也为正方形，根据较大的正方形的面积为11，较小的正方形的面积为4，中间重叠部分的面积为1，则较大的正方形的边长为，较小的正方形的边长为2，中间重叠部分的正方形边长为1；从而得出空白部分的长方形的较小边长为，继而得，，然后由求解即可．【详解】解：观察图形可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，重叠部分也为正方形，∵较大的正方形的面积为11，较小的正方形的面积为4，中间重叠部分的面积为1，∴较大的正方形的边长为，较小的正方形的边长为2，中间重叠部分的正方形边长为1；∴空白部分的长方形的较小边长为，∴∴∴故选：D．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系，从而求得、的长是解题的关键．4．（2023春·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考开学考试）已知实数满足，那么的值是(

)A．1999 B．2000 C．2001 D．2002【答案】C【分析】根据绝对值性质与算术平方根的性质先化简，进而平方即可得到答案【详解】解：，，即，∴，即，∴，即，∴，故选：C．【点睛】本题考查代数式求值，涉及到绝对值性质与算术平方根的性质，根据条件逐步恒等变形到所求代数式是解决问题的关键．5．（2023春·山东德州·七年级校考阶段练习）已知，则的平方根．【答案】【分析】由，可得，，解得，，则的平方根为，计算求解即可．【详解】解：∵，∴，，解得，，∴的平方根为，故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，平方根．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．6．（2023春·安徽亳州·七年级统考期中）若实数，，，满足，则．【答案】【分析】先移项变形，再写出完全平方公式形式，然后根据非负性的性质即可求出，，，最后代入求值即可．【详解】解：，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查非负数的性质：算术平方根的非负数的性质，偶次方的非负数的性质以及绝对值的非负数的性质，熟练掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．7．（2023春·