(课件)第三章勾股定理复习（苏科）

第三章

勾股定理单元复习勾股定理勾股定理的逆定理直角三角形验证方法两边求第三边判定直角三角形判定勾股数判定垂直回忆与思考本章知识结构知识大全1勾股定理1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2

+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.在直角三角形中才可以运用2.勾股定理的应用条件3.勾股定理表达式的常见变形：

a2＝c2－b2,b2＝c2－a2，ABCcab典例分析例1变式训练变式1〔2021春•凉州区校级期中〕如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以△ABC的各边为边，在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，假设S1＝81，S2＝225，那么BC＝．【解答】解：根据题意得：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，那么S3＝225﹣81＝144，∴BC＝12，故答案为12．变式训练变式2〔2021春•江岸区校级月考〕如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA＝CD，点E在线段AC上，且CE＝CB，假设BC＝a，AC＝b，AB＝c，请借助这个图形证明勾股定理．知识大全2勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2

，那么这个三角形是直角三角形.ABCcab知识大全2

勾股数勾股定理的逆定理满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.

原命题与逆命题如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.典例分析例2〔2021秋•萍乡期末〕如图，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AD＝24cm，BC+CD＝34cm，C是直线l上一动点，请你探索当C离B多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？【解答】解：设BC＝xcm时，三角形ACD是以DC为斜边的直角三角形，∵BC+CD＝34，∴CD＝34﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝36+x2，在Rt△ACD中，AC2＝CD2﹣AD2＝〔34﹣x〕2﹣576，∴36+x2＝〔34﹣x〕2﹣576，解得x＝8．变式训练变式1〔2021秋•灌云县期中〕如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°，AB＝13米，BC＝12米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，草坪每平方米30元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？【解答】解：连结AC，在Rt△ACD中，∵AC2＝CD2+AD2＝32+42＝25，∴AC＝5，∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，该区域面积＝S△ACB﹣S△ACD＝30﹣6＝24平方米，铺满这块空地共需花费＝24×30＝720元．在直角三角形中，两边的长求斜边上的高时，先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简便．在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边，如在本例中不要受勾股数3，4，5的干扰．方法总结典例分析例3勾股数变式训练变式1〔2021•零陵区三模〕观察以下几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…按此规律，当直角三角形的最小直角边长是11时，那么较长直角边长是；当直角三角形的最小直角边长是2n+1时，那么较长直角边长是．【解答】解：设直角三角形的最小直角边长是a，那么较长直角边长是b，x斜边是c，∵几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，于是得到规律为a2＝b+c，c＝b+1，∴a2＝b+c，a＝11，∴b+c＝121，∵b＝c﹣1，∴b＝60，c＝61；当直角三角形的最小直角边长是11时，那么较长直角边长是60；当直角三角形的最小直角边长是2n+1时，那么较长直角边长是2n2+2n，故答案为：60，2n2+2n．典例分析例4如图，长方体的长宽高分别为4、2、1，一只蚂蚁沿长方体的外表，从点A爬到点B，最短路程为〔〕D3勾股定理的应用勾股定理与最短距离问题变式训练例5〔2021春•邵阳县期末〕古代数学的“折竹抵地〞问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？〞意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC＝9尺，BC＝3尺，那么AC等于〔〕尺．A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，那么斜边为〔9﹣x〕尺，根据勾股定理得：x2+32＝〔9﹣x〕2．解得：x＝4，答：折断处离地面的高度为4尺．应选：B．勾股定理的实际应用变式训练变式1〔2021春•洛阳期末〕如图，某学校〔A点〕到公路〔直线l〕的距离为30m，到公交站〔D点〕的距离为50m，现在公路边上建一个商店〔C点〕，使商店到学校A及公交站D的距离相等，求商店C与公交站D之间的距离．〔结果保存整数〕【解答】解：作AB⊥L于B，那么AB＝30m，AD＝50m．∴BD＝40m．设CD＝x，那么CB＝40﹣x，x2＝〔40﹣x〕2+302，x2＝1600+x2﹣80x+302，80x＝2500，x≈31，答：商店C与公交站D之间的距离约为31米．变式训练变式2〔2021秋•贵阳期末〕如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？【解答】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，∴BC＝CA．设AC为x，那么OC＝9﹣x，由勾股定理得：OB2+OC2＝BC2，又∵OA＝9，OB＝3，∴32+〔9﹣x〕2＝x2，解方程得出x＝5．∴机器人行走的路程BC是5cm．变式训练例6如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，AB=8，BC=10,求BE的长.解:由折叠可知FC=BC=10，BE=FE.在长方形ABCD中，DC=AB=8，AD=BC=10，∠D=90°.∴DF=6，AF=4.设BE=FE=x，那么AE=8-x.在Rt△AFE中，由勾股定理得∴，解得x=5.∴BE的长为5.勾股定理与折叠问题变式训练例7〔2021春•九江期末〕如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点D在BC上，且CD＝2BD，∠ADC＝60°，CE⊥AD，垂足为E，连接BE．〔1〕求证：EB＝EC；〔2〕求∠ACB的度数．勾股定理与等腰直角三角形问题【解答】〔1〕证明：∵CE⊥AD，∠ADC＝60°，∴∠DCE＝30°，∴CD＝2DE，∵CD＝2BD，∴DE＝BD，∴∠EBD＝∠BED＝30°＝∠DCE，∴EB＝EC．〔2〕解：∵∠ABE＝45°﹣30°＝15°，∴∠BAE＝∠BED﹣∠ABE＝30°﹣15°＝15°，∴EB＝EA，又∵EB＝EC，∴EA＝EC，∴∠ACE＝90°÷2＝45°，∴∠ACD＝30°+45°＝75°．A

4.最短路径问题【例5】如图，有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm(π取3)．在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约(

)变式练习5.如图是某楼梯的示意图，测得楼梯的长为5米，高3米，方案在楼梯外表铺地毯，地毯的长度至少需要米．7

B

1．一直角三角形的木板，三边的平方和为1800平方米，那么斜边长为()A．80米 B．30米C．90米 D．120米课堂练习2．以以下各组数据为三角形的三边，能构成直角三角形的是()A．4cm,8cm,7cm B．2cm,2cm,2cmC．2cm,2cm,4cm D．13cm,12cm,5cmD

D

3．一个直角三角形的两边长分别为3和4，那么第三边长的平方是()A．25 B．14C．7 D．7或254．小华和小红都从同一点O出发，小华向北走了9米到A点，小红向东走了12米到了B点，那么AB＝米．15

4.8

cm

直角

5．直角三角形两直角边的长分别为6cm和8cm，那么斜边上的高长为.6．一个三角形三边满足(a＋b)2－c2＝2ab，那么这个三角形是三角形．7．在△ABC中，假设AC2＋AB2＝BC2，那么∠B＋∠C＝°.90

8．如图，等腰△ABC的底边BC的长为16，底边上的高AD的长为6，那么腰AB的长为.10

9．我方侦察员小王在距离公路400m的A处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，敌方汽车从C处行驶10s后到达B处，测得AB＝500m，假设AC⊥BC，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？10．如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ＝2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱外表爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路程．11．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，且AG平分∠BAF.(1)证明：△ABG≌△AFG；(2)求BG的长．(1)证明：在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠C＝90°.因为将△ADE沿AE对折至△AFE，所以AD＝AF，DE＝FE，∠D＝∠AFE＝90°.所以AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°.