2016朝阳区高三理科数学期末试题及答案

北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类）2016．1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，，则A．B．C．D．2．复数（是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为A．B．C．D．开始m开始m=1,i=1m=m(2-i)+1i=i+1m=0?结束输出i是否3．执行如图所示的程序框图，则输出的值为A．B．C．D．第3题图4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处8090100110120130车速（km/h）EQ\F(频率,组距)0.0050.0100.0200.0300.035A．8090100110120130车速（km/h）EQ\F(频率,组距)0.0050.0100.0200.0300.035C．辆D．辆第4题图5．“”是“函数在上单调递增”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知点及抛物线上一动点，则的最小值是A．B．1C．2D．37．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是3343正视图侧视图俯视图A．27B．30C．32D．36第7题图8．设函数的定义域，如果存在正实数，使得对任意，都有，则称为上的“型增函数”．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（）．若为上的“20型增函数”，则实数的取值范围是A．B．C．D．第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．函数的最小正周期是，最小值是．10．若，满足约束条件则的最大值为．11．在各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值是．12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为．13．已知为圆()上两个不同的点（为圆心），且满足，则．14．已知点在的内部，且有，记的面积分别为．若，则；若，则．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．16．（本小题满分13分）ADBC如图，在中，点在边上，，．ADBC（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若求的面积．17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．点是棱的中点，平面与棱交于点．（Ⅰ）求证：∥；（Ⅱ）若，且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．18．（本小题满分14分）已知函数,其中．（Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范围；（Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：；（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．19．（本小题满分14分）已知圆的切线与椭圆相交于，两点．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求面积的最大值.20．（本小题满分13分）已知有穷数列：的各项均为正数，且满足条件：=1\*GB3①；=2\*GB3②．（Ⅰ）若，求出这个数列；（Ⅱ）若，求的所有取值的集合；（Ⅲ）若是偶数，求的最大值（用表示）．北京市朝阳区2015-2016学年度第一学期期末高三年级统一考试数学答案（理工类）2016．1一、选择题：（满分40分）题号12345678答案ADBDACAB二、填空题：（满分30分）题号91011121314答案，（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分）15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，则所以选出的3名同学来自班级的概率为．……………5分（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，则；；；．所以随机变量X的分布列是X0123P随机变量X的数学期望．…………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为，所以．又因为，所以．所以．………7分（Ⅱ）在中，由，得．所以．…………13分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为底面是菱形，所以∥．又因为面，面，所以∥面．又因为四点共面，且平面平面，所以∥．………5分（Ⅱ）取中点，连接．因为，所以．又因为平面平面，且平面平面，所以平面．所以．在菱形中，因为，，是中点，所以．如图，建立空间直角坐标系．设，则，．又因为∥，点是棱中点，所以点是棱中点．所以，．所以，．设平面的法向量为，则有所以令，则平面的一个法向量为．因为平面，所以是平面的一个法向量．因为，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．……13分18．（本小题满分14分）解：函数定义域，．（Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则………4分（Ⅱ）当时，,．（ⅰ）令，得．得得所以，．所以成立．…………………9分（ⅱ）由（ⅰ）知，，所以．设所以．令，得．令令所以，，即．所以，即．所以，方程没有实数解．……………14分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可知，，所以．所以．所以椭圆的离心率为．…………3分（Ⅱ）若切线的斜率不存在，则．在中令得．不妨设，则．所以．同理，当时，也有．若切线的斜率存在，设，依题意，即．由，得．显然．设，,则，．所以.所以．所以．综上所述，总有成立．………………9分（Ⅲ）因为直线与圆相切，则圆半径即为的高，当的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知．则.当的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，．所以（当且仅当时，等号成立）．所以．此时,.综上所述，当且仅当时，面积的最大值为．…14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为，由=1\*GB3①知；由=2\*GB3②知，，整理得，．解得，或．当时，不满足，舍去；所以，这个数列为．…………………3分（Ⅱ）若，由=1\*GB3①知．因为，所以．所以或．如果由计算没有用到或者恰用了2次，显然不满足条件；所以由计算只能恰好1次或者3次用到，共有下面4种情况：（1）若，，，则，解得；（2）若，，，则，解得；（3）若，，，则，解得；（4）若，，，则，解得；综上，的所有取值的集合为．……