随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征§4.1数学期望2§4.1数学期望布莱士·帕斯卡

两个赌徒甲、乙向他提出了一个问题：甲乙两个人赌博，两人获胜的机率相等，约定谁先赢满5局，谁就获得100法郎。甲赢了4局，乙赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分？

甲的期望所得值就是0×0.25+100×0.75=75乙的期望所得值就是0×0.75+100×0.25=25一、数学期望的由来设X为甲获得的法郎，Y为乙获得的法郎3§4.1数学期望二、离散型随机变量的数学期望定义：设离散型随机变量X的分布律为P(X=xk)=pk,k=1,2,…假设级数绝对收敛，那么称级数为随机变量X的数学期望，记为E(X),即

4§4.1数学期望关于定义的几点说明(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的算术平均值不同,它从本质上表达了随机变量X取可能值的真正的平均值,也称均值.(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.5§4.1数学期望例1：设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器时，从这10个中任取1个，假设是废品，扔掉后重取1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望。解：X的分布律为：6§4.1数学期望例2：某车站每天8:00—9:00,9:00—10:00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立。其规律为一旅客8:20到车站，求他候车时间的数学期望。8:108:308:50到站时刻9:109:309:50

概率7§4.1数学期望例3：8§4.1数学期望三、连续型随机变量的数学期望9§4.1数学期望例4：10例5：设X的概率密度为求解：§4.1数学期望11§4.1数学期望几种重要分布的数学期望12§4.1数学期望四、随机变量函数的数学期望1.离散型随机变量函数的数学期望假设Y=g(X),且那么有13§4.1数学期望例6设X-2020.40.30.3P那么E(X)=-2×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2E(X2)=(-2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8E(3X2+5)=3E(X2)+5=13.4〔思考〕14§4.1数学期望2.连续型随机变量函数的数学期望假设X是连续型r.v,其密度为f(x),那么g(X)的期望为15例7：§4.1数学期望16§4.1数学期望1.设C是常数,则有证明2.设X是一个随机变量,C是常数,那么有证明例如五、数学期望的性质17§4.1数学期望4.设X,Y是相互独立的随机变量,那么有3.设X,Y是两个随机变量,那么有一般地，

E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)18数学期望是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上表达了随机变量X取可能值的真正的平均值.2.数学期望的性质§4.1数学期望六、小结19§4.2方差20§4.2方差

现有两批灯泡，第一批灯泡寿命为:一半约950小时,另一半约1050小时,平均寿命为1000小时;第二批灯泡寿命为一半约1300小时,另一半约700小时,平均寿命为1000小时。

问题：哪批灯泡的质量更好？(质量更稳定)

单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡寿命X与均值1000小时的偏离程度。21§4.2方差

一、

方差的定义1、方差是一个特殊的函数g(X)=[X-E(X)]2的期望；2、方差用来度量随机变量与其数学期望〔即均值〕的偏离程度。22§4.2方差

离散型随机变量的方差连续型随机变量的方差二、方差的计算

(1)

利用定义计算

23§4.2方差

证明(2)利用公式计算24§4.2方差

证明三、方差的性质(1)设C是常数,那么有(2)设X是一个随机变量,C是常数,那么有证明25§4.2方差

(3)设X,Y相互独立,D(X),D(Y)存在,那么证明注：相互独立时，乘积的期望等于期望的乘积。26§4.2方差

综上：设X,Y相互独立,E(X),E(Y),D(X),D(Y)存在,a,b,c是常数,那么

注意：对任意的随机变量X、Y都有

E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)27例1：设随机变量X具有0-1分布，其分布律为：解：§4.2方差

28§4.2方差

例2：解：29§4.2方差

解例3：30§4.2方差

解例4：于是31§4.2方差

解例5：32§4.2方差

33分布参数数学期望方差两点分