第四章拉普拉斯变换1

第4章拉普拉斯变换、连续系统的S域分析4.1引言4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域4.3拉普拉斯变换的基本性质4.4拉普拉斯逆变换4.5用拉普拉斯变换法分析电路、s域的元件模型4.6系统函数H(s)4.7系统函数的零、极点分布决定时域特性4.8系统函数的零、极点分布决定频域特性4.10全通网络和最小相移函数的零极点分布4.11线性系统的稳定性14.1引言傅里叶级数和傅里叶变换：建立了时域与频域之间的联系，将信号由时域分析扩展到频域分析，可以在频域中分析信号与系统的特性。24.1引言可以得到系统的频域函数，方便理解系统的传输特性，易于求取零状态响应。建立了信号与其频谱之间的一一对应关系，可得到信号的频谱分布、带宽等频域特性。如：傅里叶变换的优势：3傅里叶变换的不足：(1)要求信号满足绝对可积条件，使一般周期信号、阶跃函数等只能虽借助于广义函数求得傅氏变换，由于频域中出现冲激函数，使计算带来困难；(2)求傅氏反变换有时比较麻烦；(3)只能求解零状态响应。4拉氏变换的优点：1）求解简化；2）把微分、积分方程转化为代数方程；3）将复杂函数转化为简单的初等函数；4）将卷积转化为乘法运算。下面将介绍拉普拉斯变换（简称拉氏变换）它的定义方法有很多，这里为了强化它的物理意义，可以看作一种广义的傅氏变换。将频域扩展为复频域。54.2拉普拉斯变换的定义、收敛域一、从傅氏变换到拉氏变换二、拉氏变换的收敛域

三、常用信号的拉氏变换64.2拉普拉斯变换的定义、收敛域一、从傅氏变换到拉氏变换信号不满足绝对可积条件的原因是称为衰减因子；称为收敛因子。只要取得合适，很多函数(几乎所有常用的函数)都可以满足绝对可积的条件。若不满足绝对可积条件，为了能获得变换域中的函数，人为地用实指函数

去乘。时，f(t)不趋于零。当71、

求的傅氏变换：显然，可表示成8其反变换，为9拉氏反变换拉氏变换扩大了信号的变换范围。拉氏正变换10傅里叶变换与拉普拉斯变换的区别：FT:时域函数f(t)频域函数变量

t变量LT:时域函数f(t)复频域函数（变量t、

都是实数）变量

t变量s(复频率）t(实数)(复数）即：傅里叶变换建立了时域与频域之间的联系；拉普拉斯变换建立了时域与复频域之间的联系。112、单边拉氏变换由于1.实际信号都是有始信号，即或者只需考虑的部分；2.我们观察问题总有一个起点。此时积分下限用0-，把t=0时出现的冲激包含进去,这样，利用拉氏变换求解微分方程时，可以直接引用已知的初始状态f(0-)，但反变换的积分限并不改变。以后重点讨论单边拉氏变换。12由于重点讨论单边拉氏变换，所以和的拉氏正变换是一样的。反之，已知求拉氏反变换式，也无法求得到

时的表达式。单边拉氏变换的优点：不仅可以求解零状态响应，还可以求解零输入响应或全响应。单边拉氏变换自动将初始条件包含在其中了；只需要了解t=0-时的情况就可以了。13信号f(t)乘以收敛因子后，有可能满足绝对可积的条件。是否一定满足，还要看f(t)的性质与的相对关系。二、拉氏变换的收敛域ROC(单边拉氏变换)

(RegionofConvergence)

通常把使满足绝对可积条件的值的范围称为拉氏变换的收敛域。14

满足上述条件的最低限度的值，记为(收敛坐标)。收敛区收敛轴收敛坐标015如：有始有终的能量信号按指数规律增长的信号，如比指数信号增长的更快的信号，如找不到，则此信号不存在拉氏变换。周期信号是功率信号常用信号的收敛域16单边拉氏变换的收敛域是：复平面(s)内，Re(s)=区域单边拉氏变换的函数一般均满足指数阶的条件，且总存在收敛域，一般非特别说明，不再标注收敛域。凡增长速度不超过指数函数的函数，都有拉氏变换。我们称这类函数为指数阶函数。即指数阶函数均可以用乘以一个的方法将其分散性压下去。凡指数阶函数都有拉氏变换。17由此，可导出一些常用的函数的拉氏变换:1、指数信号(这里无任何限制)三、常用信号的拉氏变换18(b)单边正弦信号19(c)单边余弦信号20(d)单边衰减或增长的正弦信号即:21

2、t

的正幂信号tn(n为正整数)由定义：对上式进行分部积分，

可见：22依次类推：特别是n=1时，有3、冲激函数根据冲激函数作为广义函数的定义一些常用函数的拉氏变换表4-1（1-6）234.3拉普拉斯变换的性质在实际应用中，通常不是利用定义式计算拉氏变换，而是巧妙地利用拉氏变换的一些基本性质来求取。拉氏变换的有些性质与傅氏变换性质极为相似，只要把傅氏变换中的jw

用s替代即可。但是傅氏变换是双边的，而我们这里讨论的拉氏变换是单边的，所以某些性质又有差别。241.线性（linearity）解：例：求的拉氏变换LT252.原函数（时域）微分主要用于研究具有初始条件的微分方程。若f(t)为有始函数，则:26例27由于f(0-)不同，所求导数的拉氏变换不同。28解：(1)列写微分方程例:图示电路，在t=0时开关S闭合,vc(0-)=0,求vc(t)

（2）将微分方程两边取拉氏变换，得（3）求的拉氏逆变换293.原函数(时域)积分(integrationinthetimedomain)则304延时(时域平移)(timedelay)若则3132解:(1)和(2)在t>0时波形相同，所以它们的拉氏变换也相同。333435例：

求图示锯齿波f(t)

的拉氏变换解：根据时移性，有所以：36求(单边)周期信号的拉氏变换：设f1(t)表示第一个周期的函数，则有37抽样信号的拉氏变换抽样序列抽样序列的拉氏变换时域抽样信号抽样信号的拉氏变换385.s域平移特性(shiftingins-domain)与傅氏变换比较：这里，s0

可以是实数，也可以是虚数或复数。39例

406尺度变换特性(scaling)?傅里叶变换的尺度变换特性？41解法二：先尺度：再延迟：例:4-7解法1：427初值定理(initial-valuetheorem)注意：设且存在(F(s)为真分式)则43例.给定求初值初值定理条件:必须存在,时域中意味着本身不能包含冲激。因为

的存在,不影响的值,可把移去后再应用初值定理,即只取真分式。44例：

已知求：解：

如果不用长除法，而直接用则将得到的错误结论。458.终值定理(expiration-valuetheorem)条件是存在，这相当于的极点都在复频域S平面的左半平面，并且如果在虚轴上有极点的话，只能在原点处有单极点。46其极点s=

在s平面的右半平面，不能用终值定理。否则会得到的错误结果。例如47例如：（在虚轴上）所以，f(t)的终值不存在。例：已知，试求的终值。解：因为F(s)的极点为s=0，-1和-2，满足终值定理的条件。所以有求终值首先判断极点位置!489卷积定理（convolutiontheorem

）时域卷积定理复频域卷积定理其中：若(4-40)则LTLTLT若(4-41)则LTLTLT49例

已知求解：

LT5010复频域微分设：则：证明:或5111.复频域积分(integrationinS-domain)证明:设：则：52例：求函数的拉氏变换法一.按定义式求积分t211053法二.利用线性和时移定理t211054t-1211(2)0(1)(1)t法三.利用微分积分性质。t211055求单边拉氏变换564.4拉普拉斯逆变换拉普拉斯反变换的常用方法：查表法部分分式展开法围线积分法——留数法利用拉普拉斯变换的性质

57一、简单的拉普拉斯反变换

直接应用典型信号的拉氏变换对（表4-1）及拉氏变换的性质（表4-2）得到。58例:例:59解：频域微分:例：60常见的拉氏变换式一般形式为:若m≥n，可以用长除法将F(s)化成多项式与真分式之和，例：多项式部分的拉氏反变换是冲激函数及其导数，可以直接求得，例如所以只需讨论真分式部分的拉氏反变换。二、部分分式展开法611、极点为实数，无重根(m<n)系数ai和bi都为实数，m和n是正整数，pi为F(s)

的极点.62例：求下列函数的逆变换解：将F(s)展开成部分分式形式分别求K1、K2、K363对于mn的情况642、包含共轭复数极点设：

则其中：A、B

由待定系数法求出。其中：65例：求下列函数的逆变换解：66