福建省莆田市第三中学高三上学期期中数学试题

莆⽥三中

20232024

学年上学期⾼三数学期中测试卷⼀单选题（每题5分）1.若集合

，集合 ，则 （ ）B. C. 2.若复数

z满⾜，则z的虚部为（ ）B. C. 3.已知成⽴的⼀个充分不必要条件是（ ）且 B. 且 C. 且 且4. 若 满⾜

，则 的最⼩值为（ ）B. C.12 165. 已知等差数列 的前项和为

，则数列 的公差为（ ）A1 B.2 C.3 D.46.纯电动汽⻋是以⻋载电源为动⼒，⽤电机驱动⻋轮⾏驶，符合道路交通、安全法规各项要求的⻋辆，它向研. . 究发现电向研使⽤存储在电池中的电来发动因其对环境影响较⼩1898的容量随放电电流的⼤⼩⽽改变，

Peukert年

提出铅酸电池的容量 和放电电流之间关系的经验公式：，其中 为与蓄电池结构有关的常数（称为euket常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流为 时，放电时间为 ；当放电电流为 时，放电时间为 ，则该蓄电池的eukrt （ （参考数据）常数 约为A. B. C. D.7.已知 ， ， ，则（ ）A B. C. D.8.函数 ，且存在，使得，若对任意 ，恒成⽴，则 的最⼤值为（ ）A.1 B. C.2 D.3⼆ 多选题9.

（每题满分5分，⾄少两个选项，少选2分，错选得0分）个单位⻓度，得到函数 的图象，则下列说法正确若将函数 图象向左平移的是（ ）B.的最⼩正周期为

在区间

上单调递减C.10.

是函数图象的⼀个对称轴 D.的图象关于点 对称若函数 恰有三个零点，则a 值可能为（ ）1 B.6 C.1 2－

丙丁四⼈玩报数游戏：第⼀轮，甲报数字1

2⼄报数字

3 丙报数字4 5

6 丁报数字7甲⼄ ， ，， ，，， ，8910

，甲报数字12

131415

依次循环，直到报出数字10000，，，，，，， ，）A. 10甲在第

轮报了

33个数字2023数字

是丁报的C. 37甲共报了 轮D.

1540甲在前四轮所报数字之和为

“ 上取整函数. ，12.定义

（其中 表示不⼩于的最⼩整数）为向 ”例. 下描述正确的是（ ）以A.若，则若，则若是 上的奇函数若，则三填空题13.

，，，且 .．在等⽐数列 中．14.已知

，且 ，则 15.已知函数 在区间

上单调递增，则的取值范围 .为16.若曲线为正实数，则 的取值范围是为 .四 解答题.17.1

在 中，⻆ 的对边分别为 ，满⾜ ．；（）求⻆2 ，，求 的⾯积．（）若18.1

. .设数列 的前项和为 已知；（）求数列 的通项公式2 ，求数列 的前项和.（19.

）数列 满⾜如图，在四棱柱中，四边形ABCD是⼀个边⻓为2的菱形， ，侧棱⊥平⾯

．，．1 与平⾯的夹⻆的余弦值．（）求平⾯2 E 上是否存在⼀点平⾯PDB值；（是 的中点 ？若不存在，请说明理由．20.200

甲、⼄两位同学进⾏跳绳⽐赛，⽐赛规则如下：进⾏两轮跳绳⽐赛，每⼈每轮⽐赛在规定时间内跳绳次及以上得1200次得0分，两轮结束总得分⾼的为跳绳王，得分相同则进⾏加赛直⾄有. ，已知甲在规定时间内跳绳200次及以上的概率为 ，⼄在规定时间内跳⼀⽅胜出为⽌根据以往成绩分析200绳

次及以上的概率为 ，且每轮⽐赛中甲、⼄两⼈跳绳的成绩互不影 .响1 两轮⽐赛结束⼄得分为1分的概率；响（）求（）求 .2 不进⾏加赛甲就获得跳绳王的概率21.已知 为椭圆

上⼀点，点 与椭圆 两个焦点构成的三⻆形⾯积为．1 ；（）求椭圆 的标准⽅程2不经过点 的直线与椭圆 相交于与 的斜率之和为 必过（）定点，并求出这个定点坐标．22. .已知函数1 ；（）讨论函数 的单调区间（）当 时 .2 ， 恒成⽴，求实数的取值范围莆⽥三中20232024学年上学期⾼三数学期中测试卷⼀单选题（每题5分）1.若集合，集合，则（A.1.若集合，集合，则（A.【答案】C【解析】分析】分别求出集合 ，再求 即可.【详解】由 ，，故 ，故选：C2.若复数z，则z 虚部为（ ）A.D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可根据虚部概念求解.【详解】由可得 ，所以虚部为，故选：A3.已知 ，则下列选项中，使 成⽴的⼀个充分不必要条件是（ ）A. 且 且 且 D. 且【答案】B【解析】【分析】利⽤充分条件与必要条件的定义，结合特例法与不等式的性质求解即可【详解】因为 且 不能推出 ，所以 且 不是 的充分条件，A错；因为 且 不能推出 ，所以 且 不是 的充分条件，C错；因为 且 不能推出 ，所以 且 不是 的充分条件，D错；对于由 且 可得 ，充分性成⽴，若 不能推出 且 ，例如且 且 是 成⽴的⼀个充分不必要条件，B符合题意．4.若 的最⼩值为（ ）A.12 D.16【答案】D【解析】【分析】先利⽤对数的运算性质进⾏运算，再利⽤基本不等式求解即可.【详解】因为 满⾜，所以 ，所以，所以 ，所以，所以，当且仅当即 时取等号，故 的最⼩值为16，故选：D.5.已知等差数列 的前，则数列 的公差为（ ）A.1 2 3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利⽤等差数列前n项和公式求解即得.【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，即有，因此 ，所以数列的公差为2.故选：B6.纯电动汽⻋是以⻋载电源为动⼒，⽤电机驱动⻋轮⾏驶，符合道路交通、安全法规各项要求的⻋辆，它使⽤存储在电池中的电来发动.因其对环境影响较⼩，逐渐成为当今世界的乘⽤⻋的发展⽅向.研究发现电池的容量随放电电流的⼤⼩⽽改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量和放电电流之间关系的经验公式： 其中为与蓄电池结构有关的常（称为eukert常数在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（， ）A.1.15 D.【答案】A【解析】【详解】由题意知 ，所以，两边取以10为底的对数，得，所以，故选：A.7.，，则 （ ）AD.【答案】D【解析】【分析】利⽤⼆倍⻆余弦公式可求得，利⽤两⻆和差余弦公式可依次求得和.【详解】，，， ，，则 ，.， ，.故选：D.8.函数 ，且存在 ，使得 ，若对任意 ，恒成⽴，则的最⼤值为（ ）A.1 2 D.3【答案】B【解析】，恒成⽴，则，由此可以求出 ，由此即可得解.，且存在 ，使得 ，∴ 有解，即为 有解，令 ，则函数为单调递增函数，则 ．， 恒成⽴，∴ ，即，令，则，当 时， ，函数为单调递增函数，当 时，时，取最⼤值3，∴的最⼤值为．⼆ 多选题（每题满分5分，⾄少两个选项，少选2分，错选得0分）9.若将函数 的图象向左平移 个单位⻓度，得到函数 的图象，则下列说法正确的是（ ）A. 最⼩正周期为 在区间 上单调递减是函数 图象的⼀个对称轴 D. 的图象关于点对称【答案】ACD【解析】【分析】由题可得，再利⽤余弦函数的性质即可判断.【详解】将函数的图象向左平移个单位⻓度，得到函数的图象.对于A， ，故A正确；对于，得 ，从⽽即 时， 单调递减，故B不正确；对于，所以是函数 图象的⼀个对称轴，故C正确；对于D，，所以 的图象关于点对称，故D正确．故选：ACD.10.若函数恰有三个零点，则a的值可能为（ ）A.－1 6 1 D.2【解析】【分析】根据函数解析式，在上有两个零点，在上有⼀个零点 ，则有 ，【详解】函数 恰有三个零点，时，，函数有两个零点0和6，则 时，有⼀个零点 ，所以 ，即 ，选项都符合.11.甲⼄丙丁四⼈玩报数游戏第⼀轮甲报数字1⼄报数字23丙报数字456丁报数字7，8，9，10；第⼆轮，甲报数字11，12，13，14，15，依次循环，直到报出数字10000，游戏结束，则（ ）A.甲在第10轮报了33个数字数字2023是丁报的甲共报了37轮D.甲在前四轮所报数字之和为1540【解析】【分析】利⽤等差数列的性质和求和公式，依次判断每个选项得到答案.【详解】甲⼄丙丁第轮的报数个数分别为 ，前轮共报数个数为，对选项A：甲在第10轮报了 个数字，错误；对选项时， ；当 时， ；故 在第 轮报数中， ，故数字2023是丁报的，正确；对选项时， ；当 时， ；故甲报了 轮，错误；对选项D：甲在前四轮所报数字之和为：，正确；故选：BD.【点睛】思路点睛：从数列到数阵，尽管数的排列形式发⽣了变化，但问题的实质仍然是数列问题，只要我们抓住每⾏⾸项，找准每⾏变化规律，从数阵中构造新数列，那么解决问题的思想和⽅法仍然不变，可12.定（其中表示不⼩于的最⼩整数）为向上取整函数.例，.以下描述正确的是（ ）A.若，则，则是 上的奇函数D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】结合对向上取整函数定义的理解，可得AD；B项整体换元求解⽅程；C项取特值即可.【详解】由 表示不⼩于的最⼩整数，则有，A项，，则 ，即 ，，故A正确；B项，令，则，解得 ，⼜为整数，则 ，或 ，当 时，即 ，则 ；当 时，即 ，则 ，故 ，故B正确；C，则 ， ，则不是 上的奇函数，故C错误；D项，，即 ，则 ，⼜，由不等式的性质， ，则，故D正确.故选：ABD.三填空题13.在等⽐数列 ，则 .【答案】64【解析】【分析】根据等⽐数列性质结合题设求得 ，继⽽求出 ，再利⽤，即可求得答案.【详解】等⽐数列中，，故，结合 ，以及 可得 ，设等⽐数列公⽐为q，则，故，故答案为：6414已知 ，且 ，则 ．【答案】【解析】【分析】根据同⻆三⻆函数基本关系和和差公式计算即可.【详解】因为，所以，⼜因为，所以所以 ，即故答案为：15.已知函数 在区间 上单调递增，则的取值范围 .为.【答案】【解析】【分析】利⽤导函数研究函数单调性再结合指数函数的值域计算即可.【详解】因为在区间上单调递增，所以当时，恒成⽴，即在恒成⽴，⼜，所以 .故答案为：.16.若曲线 的⼀条切线为 ，其中 的取值范围是 .【答案】【解析】【分析】先根据已知求出 ，再利⽤基本不等式求解.【详解】设切点为，由所以 ，且过切点的直线为 ，所以有： ，因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，故答案为： .四 解答题.17.在 中，⻆ 的对边分别为 ，满⾜ ．（1）求⻆ ；（2）若 ， ，求 的⾯积．【答案（1）（2）【解析】【分析（1）根据题意，利⽤正弦定理化简得 ，求得，即可求解；（2）根据题意，由余弦定理求得 ，结合三⻆形的⾯积公式，即可求解.【⼩问1详解】因为，由正弦定理，可得 ，即 ，因为 ，可得 ，所以，⼜因为 ，所以.【⼩问2详解】因为 ，，且由余弦定理知 ，即，解得 ，所以 的⾯积为．18.设数列的前项和为.已知 .（1）求数列 的通项公式；（2）数列满⾜，求数列的前项和.【答案（1）（2）【解析】【分析（1根作差得则数列 是以1为⾸项，为公⽐的等⽐数列，从⽽得到其通项公式.（2）由（1）可得，利⽤错位相减法计算可得；由，所以当时得，由，所以当时得，两式相减得，所以，⼜所以时，，，⼜ ，所以 ，所以数列 是以1为⾸项， 为公⽐的等⽐数列，所以 ；【⼩问2详解】由（1）可得，则 ，，两式相减得，所以 .19.如图，在四棱柱 中，四边形是⼀个边⻓为2的菱形， ，侧棱⊥平⾯．（1）求平⾯ 与平⾯ 的夹⻆的余弦值．E是 上是否存在⼀点平⾯值；若不存在，请说明理由．【答案（1）（2）存在，【解析】）设M是AB的中点，以 ，，的⽅向分别为x，y，z轴的正⽅向建⽴空间直⻆坐标系，利⽤法向量求解即可；0列⽅程可解.【⼩问1详解】由题意， 是正三⻆形，设M是AB的中点，连接DM，则 ，所以 ，．由平⾯平⾯得，即 ，DM，DC两两垂直．如图，以 ，，的⽅向分别为x，y，z轴的正⽅向建⽴空间直⻆坐标系．则，．则， ，显然，平⾯的⼀个法向量是．设平⾯的法向量为，则令 ，得平⾯ 的⼀个法向量 ．设平⾯ 与平⾯ 的夹⻆为，则．所以，平⾯ 与平⾯ ．【⼩问2详解】设，当 时，点P与点C重合，显然 与平⾯相交，不满⾜题意；当 时，因为，，设平⾯的法向量为 ，则令 ，得．因为 ，，所以．因为 平⾯，即，解得，所以线段上存在点平⾯20.甲、⼄两位同学进⾏跳绳⽐赛，⽐赛规则如下：进⾏两轮跳绳⽐赛，每⼈每轮⽐赛在规定时间内跳绳200次及以上得1200次得0分，两轮结束总得分⾼的为跳绳王，得分相同则进⾏加赛直⾄有⼀⽅胜出为⽌.根据以往成绩分析，已知甲在规定时间内跳绳200次及以上的概率为跳绳200次及以上的概率为，且每轮⽐赛中甲、⼄两⼈跳绳的成绩互不影响.（1）求两轮⽐赛结束⼄得分为1分的概率；（2）求不进⾏加赛甲就获得跳绳王的概率.【答案（1）（2）【解析】【分析（1）根据题意，由相互独⽴事件的概率计算公式，代⼊计算，即可得到结果；（2）根据题意，由相互独⽴事件的概率计算公式，代⼊计算，即可得到结果；【⼩问1详解】设甲第轮得⼀分，设⼄第i轮得⼀分，设两轮⽐赛甲得分，两轮⽐赛⼄得分，【⼩问2详解】设 不进⾏加赛甲就获得跳绳王.所以不进⾏加赛甲就获得跳绳王的概率为 .21.为椭圆 与椭圆 的两个焦点构成的三⻆形⾯积为．（1）求椭圆 的标准⽅程；的直线与椭圆 相交于 与 的斜率之和为 必过定点，并求出这个定点坐标．【答案（1）（2）证明⻅解析，定点为【解析】【分析（1）根据题意求出 即可得解；过点 的直线⽅程为：，联⽴⽅程，利⽤⻙达定理求出，再根据直线 与 的斜率之和为 求出 的关系，即可得出结论.【⼩问1详解】由点 与椭圆 的两个焦点构成的三⻆形⾯积为 可知，解得：，，椭圆 的标准⽅程：；【⼩问2详解】设，当直线的斜率不存在时，则，由，解得 ，此时 ，故