函数的最大值含解析

第2课时函数的最大(小)值根底过关练题组一求函数的最大(小)值1.函数f(x)在[-2,2]上的图象如下图,那么此函数的最小值,最大值分别是()A.f(-2),0B.0,2C.f(-2),2D.f(2),22.(2021北京房山高一上期中)函数y=2x2-2x-1在区间[-1,1]上的最小值为()13.函数y=x+3,4.(2021北京丰台高一上期中)x>2,函数y=4x-2+5.(2021北京石景山高一上期末)函数f(x)=2x(1)判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性,并用定义证明;(2)求函数f(x)在区间[2,9]上的最大值与最小值.题组二函数最大(小)值在实际问题中的应用6.某商场经营一批进价为每件30元的商品,在市场试销中发现,该商品销售单价x(不低于进价,单位:元)与日销售量y(单位:件)之间有如下关系:x4550y2712(1)确定x与y的一个一次函数关系式y=f(x)(注明函数的定义域);(2)假设日销售利润为P(单位:元),根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式,并指出当销售单价为多少元时,能获得最大的日销售利润.7.(2021山东济南历城二中高一上期末)有一批材料,可以建成长为240m的围墙.如图,如果用这批材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形,怎样围才能使矩形场地的面积最大?最大面积为多少?题组三函数最大(小)值在求参中的应用8.假设函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,那么实数a的值是()或-29.(2021山东淄博高一上期中)假设函数f(x)=x2+(m+1)x+3在区间(3,5)内存在最小值,那么m的取值范围是()A.(5,9)B.(-11,-7)C.[5,9]D.[-11,-7]10.(2021江苏南通如东高一上期中)设f(x)=x2-2ax+1,x∈[0,2],当a=3时,f(x)的最小值是,假设f(x)的最小值为1,那么a的取值范围为.

11.函数f(x)=-x2+2ax+1-a.(1)假设a=2,求函数f(x)在区间[0,3]上的最小值;(2)假设函数f(x)在区间[0,1]上有最大值3,求实数a的值.题组四函数的最大(小)值在方程与不等式中的应用12.假设∀x∈0,12,都有不等式-x+a+1≥0成立,那么513.函数f(x)=-x2+4x+m,假设∃x∈[0,1],f(x)=0,那么m的取值范围是()A.[-4,+∞)B.[-3,+∞)C.[-3,0]D.[-4,0]14.(2021天津南开学校高一上期中)假设对任意x>0,xx2+3x+1≤a恒成立15.函数f(x)=x-1x+2,(1)判断函数f(x)的单调性并证明;(2)假设不等式f(x)>a在[3,5]上恒成立,求实数a的取值范围;(3)假设不等式f(x)>a在[3,5]上有解,求实数a的取值范围.16.(2021安徽合肥八中高一上期中)二次函数f(x)满足f(x)-f(x-1)=2x+1,且f(x)的图象经过点(2,-4).(1)求f(x)的解析式;(2)假设x∈[-3,2],不等式f(x)≤mx恒成立,求实数m的取值范围.能力提升练题组一求函数的最大(小)值1.(2021天津滨海高一上期末,)给定函数f(x)=x2,g(x)=x+2,∀x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者,记为M(x)=max{f(x),g(x)},那么M(x)的最小值为()2.(2021河北承德一中高一上月考,)函数f(x)=2x-x+1的最小值为()173.(多项选择)(2021江苏徐州六县高一上期中,)函数y=11-x-x(x>1),A.最大值为-3B.最小值为1C.没有最小值D.最小值为-34.(2021山西太原高一上期中,)假设函数f(x)=|x-2|-|x+1|的最大值为m,最小值为n,那么m+n=.

5.(2021江西临川一中高一上月考,)函数f(x)=x2+2ax-1,x∈[-1,1].(1)假设a=12,求函数f(x)的最值(2)假设a∈R,记函数f(x)的最小值为g(a),求g(a)关于a的函数解析式.题组二函数最大(小)值的综合应用6.(2021河南洛阳一中高一上月考,)假设函数y=f(x)=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为-254,-4,那么A.(0,4]B.32,4C.7.()函数f(x)=-x3+2,x<0,-x+3,x≥0,g(x)=kx+5-2k(k>0),假设对任意的x1∈[-1,1],总存在x2∈[-1,1]使得f(xA.(0,2]B.0,8.(多项选择)()函数f(x)=-2x+1(x∈[-2,2]),g(x)=x2-2x(x∈[0,3]),那么以下结论正确的选项是()A.∀x∈[-2,2],f(x)>a恒成立,那么a的取值范围是(-∞,-3)B.∃x∈[-2,2],f(x)>a,那么a的取值范围是(-∞,-3)C.∃x∈[0,3],g(x)=a,那么a的取值范围是[-1,3]D.∀x∈[-2,2],∃t∈[0,3],f(x)=g(t)9.(多项选择)(2021山东济南高一上期末,)一般地,假设函数f(x)的定义域为[a,b],值域为[ka,kb],那么称[a,b]为f(x)的“k倍跟随区间〞.特别地,假设函数f(x)的定义域为[a,b],值域也为[a,b],那么称[a,b]为f(x)的“跟随区间〞.以下结论正确的选项是()A.假设[1,b]为f(x)=x2-2x+2的跟随区间,那么b=3B.函数f(x)=2-3xC.假设函数f(x)=m-x+1存在跟随区间,那么m∈D.二次函数f(x)=-12x2+x存在“310.(2021天津河西高一上期末,)设f(x)=(x-a)2,x≤0,x+1x+a11.(2021北京房山高一上期中,)定义在实数集R上的函数f(x),如果存在函数g(x)=Ax+B(A,B为常数),使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立,那么称g(x)为函数f(x)的一个承托函数.(1)判断函数g(x)=x是不是函数f(x)=2x2的一个承托函数,并说明理由;(2)请写出函数f(x)=|x|的一个承托函数;(3)假设函数g(x)=2x-a为函数f(x)=ax2的一个承托函数,求实数a的取值范围.答案全解全析根底过关练1.C由题图可知,此函数的最小值是f(-2),最大值是2.2.C因为y=2x2-2x-1的图象开口向上,对称轴为直线x=12所以在区间[-1,1]上,当x=12时,函数取得最小值-32.应选3.C当x<1时,函数y=x+3单调递增,有y<4,无最大值;当x≥1时,函数y=-x+6单调递减,在x=1处取得最大值5.所以该函数的最大值为5.4.Cx>2,那么x-2>0,y=4x-2+x=4≥24x当且仅当4x-2=x-2,即x∴函数的最小值是6.应选C.5.解析(1)函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数.证明如下:任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,那么f(x1)-f(x2)=2x1=(2x=5(∵x1<x2,∴x1-x2<0,又x1,x2∈[0,+∞),∴(x1+1)(x2+1)>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数.(2)由(1)知函数f(x)在区间[2,9]上是增函数,故函数f(x)在区间[2,9]上的最大值为f(9)=2×9-39+1最小值为f(2)=2×2-32+16.解析(1)因为f(x)是一次函数,所以设f(x)=ax+b(a≠0).由题中表格可得45a+所以y=f(x)=-3x+162.又y≥0,所以30≤x≤54,故所求函数关系式为y=f(x)=-3x+162,x∈[30,54].(2)由题意得,P=(x-30)y=(x-30)(162-3x)=-3x2+252x-4860=-3(x-42)2+432,x∈[30,54].所以当x=42时,Pmax=432,即当销售单价为42元时,能获得最大的日销售利润.7.信息提取①一批材料可以建成长为240米的围墙;②用这批材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地;③中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形.数学建模以建造矩形场地为背景构建函数模型,利用根本不等式求解问题.解析设每个小矩形与墙垂直的一边长为xm,其邻边长为ym,其中x>0,y>0,依题意可知4x+3y=240,那么0<x<60.故矩形场地的面积S=3xy=x(240-4x)=4x·(60-x)≤4×x+60当且仅当x=30时取等号,所以当x=30时,矩形场地的面积最大,为3600m2.8.C由题意知a≠0,当a>0时,函数y=ax+1在[1,2]上单调递增,有(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;当a<0时,函数y=ax+1在[1,2]上单调递减,有(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2.综上知,a=±2.9.B由题意可得3<-m+1解得-11<m<-7.应选B.10.答案-7;(-∞,0]解析当a=3时,f(x)=x2-6x+1在x∈[0,2]上单调递减,∴f(x)min=f(2)=-7.由函数的解析式知f(0)=1,假设f(x)的最小值为1,那么f(x)在x∈[0,2]上单调递增,而f(x)=x2-2ax+1的图象开口向上,对称轴为直线x=a,∴a≤0,即a的取值范围是(-∞,0].11.解析(1)假设a=2,那么f(x)=-x2+4x-1=-(x-2)2+3,该函数的图象开口向下,图象的对称轴为直线x=2,∴函数f(x)在区间[0,2]上单调递增,在区间[2,3]上单调递减,又f(0)=-1,f(3)=2,∴f(x)min=f(0)=-1.(2)易知函数f(x)的图象开口向下,对称轴为直线x=a,①当a≤0时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递减,那么f(x)max=f(0)=1-a=3,解得a=-2;②当0<a<1时,函数f(x)在区间[0,a]上单调递增,在区间[a,1]上单调递减,那么f(x)max=f(a)=a2-a+1=3,解得a=2或a=-1,均不符合，舍去;③当a≥1时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,那么f(x)max=f(1)=-1+2a+1-a=3,解得a=3.综上所述,a=-2或a=3.12.D设f(x)=-x+a+1,由不等式-x+a+1≥0对任意x∈0,12都成立,可得f(x)min≥0.因为f(x)在0,12上是减函数,所以当x∈0,12时,f(x)min=a+12,所以a+12≥0,即a≥-13.C∵函数f(x)=-x2+4x+m的图象开口向下,对称轴方程为x=2,∴函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,∴f(x)max=f(1)=3+m,f(x)min=f(0)=m,即函数f(x)的值域为[m,m+3].由方程f(x)=0有解,知0∈[m,m+3],因此m≤0,且m+3≥0,解得-3≤m≤0.应选C.14.答案1解析∵x>0,∴xx2+3x+1∴x2+3x+1x≥1a,∴1∵x>0,∴x+1x+3≥2x·1x+3=5(当且仅当∴1a≤5,∴a≥115.解析(1)f(x)在[3,5]上为增函数.证明:任取x1,x2∈[3,5],且x1<x2,那么f(x1)-f(x2)=x1-1x1∵3≤x1<x2≤5,∴x1-x2<0,(x1+2)(x2+2)>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在[3,5]上为增函数.(2)由不等式f(x)>a在[3,5]上恒成立,知f(x)min>a.由(1)知f(x)在[3,5]上为增函数,∴f(x)min=f(3)=25,∴25>a,即a<故实数a的取值范围是-∞,2(3)由不等式f(x)>a在[3,5]上有解,知f(x)max>a.由(1)知f(x)在[3,5]上为增函数,∴f(x)max=f(5)=47,∴47>a,即a<故实数a的取值范围是-∞,416.解析(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),那么f(x-1)=a(x-1)2+b(x-1)+c=ax2+(-2a+b)x+a-b+c,所以f(x)-f(x-1)=2ax-a+b,又因为f(x)-f(x-1)=2x+1,所以2a=2所以f(x)=x2+2x+c.因为f(x)的图象过点(2,-4),所以-4=22+2×2+c,解得c=-12,所以f(x)=x2+2x-12.(2)由题意知,x2+2x-12≤mx,x∈[-3,2],所以x2+(2-m)x-12≤0,x∈[-3,2].记g(x)=x2+(2-m)x-12,x∈[-3,2].那么g(x)max≤0,由g(x)的图象开口向上,知函数g(x)的最大值是g(2)或g(-3),所以g(2解得-2≤m≤3,所以m∈[-2,3].能力提升练1.B在同一直角坐标系中,作出函数f(x)=x2,g(x)=x+2的图象,由M(x)的定义知,函数M(x)的图象如图中实线局部所示.由图象知,当x=-1时,M(x)取得最小值1.应选B.2.A设t=x+1(t≥0),那么x=t2-1(t≥0),所以g(t)=2(t2-1)-t=2t2-t-2(t≥0).易知函数g(t)=2t2-t-2在0,14上单调递减,在14,+∞上单调递增,∴f(x)min=g(t)min=3.AC∵x>1,∴y=11-x-x=--21x当且仅当1x-1=x-1,即x∴函数的最大值为-3,无最小值,应选AC.4.答案0解析当x<-1时,f(x)=-x+2+x+1=3,当-1≤x≤2时,f(x)=-x+2-x-1=-2x+1,此时f(x)min=f(2)=-3,f(x)max=f(-1)=3,当x>2时,f(x)=x-2-x-1=-3.综上,f(x)的最大值m=3,最小值n=-3,所以m+n=0,故答案为0.5.解析(1)当a=12时,f(x)=x2+x-1,x∈[-1,1],其图象开口向上,且对称轴方程为x=-1∴函数y=f(x)在-1,-12上单调递减,∴f(x)的最小值为f-12=-又f(-1)=-1,f(1)=1,∴f(x)的最大值为f(1)=1,最小值为f-12=-(2)函数f(x)=x2+2ax-1的图象开口向上,且对称轴方程为x=-a,当-a≤-1,即a≥1时,y=f(x)在[-1,1]上单调递增,∴f(x)min=f(-1)=-2a;当-1<-a<1,即-1<a<1时,y=f(x)在[-1,-a]上单调递减,在[-a,1]上单调递增,∴f(x)min=f(-a)=-a2-1;当-a≥1,即a≤-1时,y=f(x)在[-1,1]上单调递减,∴f(x)min=f(1)=2a.综上可得,g(a)=-6.C∵y=f(x)=x2-3x-4=x-322-254,∴f32=-25由及二次函数的图象可知,m的值最小为32,最大为3,即m的取值范围是32,37.A在函数f(x)中,当x∈[-1,0)时,f(x)是减函数,因此,f(x)∈(2,3];当x∈[0,1]时,f(x)也是减函数,因此,f(x)∈[2,3].∴当x∈[-1,1]时,f(x)∈[2,3],即f(x)max=3.在函数g(x)中,由k>0知,g(x)在[-1,1]上单调递增,∴g(x)max=g(1)=k+5-2k=5-k.假设∀x1∈[-1,1],总存在x2∈[-1,1]使得f(x1)≤g(x2),那么3≤5-k,解得k≤2,又k>0,∴0<k≤2.应选A.8.AC在A中,因为f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])是减函数,所以当x=2时,函数取得最小值,最小值为-3,因此a<-3,A正确;在B中,因为f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])是减函数,所以当x=-2时,函数取得最大值,最大值为5,因此a<5,B错误;在C中,g(x)=x2-2x=(x-1)2-1(x∈[0,3]),∴当x=1时,函数取得最小值,最小值为-1,当x=3时,函数取得最大值,最大值为3,故函数的值域为[-1,3],由g(x)=a有解,知a∈[-1,3],C正确;在D中,∀x∈[-2,2],∃t∈[0,3],f(x)=g(t)等价于f(x)的值域是g(t)的值域的子集,而f(x)的值域是[-3,5],g(t)的值域是[-1,3],故D错误.应选AC.解题模板不等式恒成立(有解)等问题的求解,常将问题转化为最大(小)值问题,记住以下转化有利于解题:①f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a;②f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a;③f(x)>a有解⇔f(x)max>a;④f(x)<a有解⇔f(x)min<a.9.BCD对于A,因为f(x)=x2-2x+2在区间[1,b]上为增函数,故其值域为[1,b2-2b+2],假设[1,b]为f(x)=x2-2x+2的跟随区间,那么b2-2b+2=b,解得b=1或b=2,因为b>1,所以b=2.故A错误.对于B,因为函数f(x)=2-3x在区间(-∞,0)与(0,+∞)上均为增函数,所以假设f(x)=2-3x存在跟随区间[a,b],那么有a=2-3a,b=2-3因为x2-2x+3=0无解,所以函数f(x)=2-3x不存在跟随区间.故B正确对于C,因为f(x)=m-x+1为减函数,所以假设函数f(x)=m-x+1