圆的相关问题（月日）x

解析几何2020年2月北郊高级中学刘天程张弟学习境界分层凭空一跃众山小，天下众生尽掌中千磨万击还坚劲，任尔东西南北风不识庐山真面目，只缘身在此山中初生牛犊不惧虎，牛刀小试谈乾坤高一：基础积累高二：执着内化高三：坚持钻研解几、导数、数列解析几何是进入双一流大学的一道也是最重要的一道门槛解析几何圆圆的方程直线与圆圆与圆六类隐圆圆锥曲线中函数与方程思想一类定点定值一轮：重基础知识，概念理解，一题多解；二轮：重一法解多题重思想方法，化归，数形结合，函数与方程，分类讨论。第一讲圆的相关问题2020年2月北郊中学刘天程张弟考点一

圆的方程考点清单考向基础一、圆的方程1.圆的方程名称方程圆心半径注意事项标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)(a,b)r若没有给出r>0,则圆的半径为|r|,实数r可以取负值一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(*)(D2+E2-4F>0)

-

,

当D2+E2-4F>0时,方程(*)表示圆;当D2+E2-4F=0时,方程(*)表示点

;当D2+E2-4F<0时,方程(*)不表示任何图形【温馨提示】圆的一般方程突出了方程的形式特点:(1)x2和y2的系数相等且大于0,含x2的项和含y2的项用加号连接;(2)没有含xy的二次项;(3)A=C≠0且B=0是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的必

要不充分条件.2.已知P(x1,y1),Q(x2,y2),则以PQ为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.3.确定圆的方程的条件无论是圆的标准方程还是一般方程,都有三个字母(a,b,r或D,E,F)的值需

要确定,因此确定圆的方程需要三个独立的条件.一般可用待定系数法求解,即利用已知条件得到关于a,b,r(或D,E,F)的三个方程组成方程组,

解之得到待定字母系数的值,从而确定圆的方程.二、点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系1.若(x0-a)2+(y0-b)2>r2,则点P在圆外;2.若(x0-a)2+(y0-b)2=r2,则点P在圆上;3.若(x0-a)2+(y0-b)2<r2,则点P在圆内.【温馨提示】平面上定点A与圆P上动点B之间距离的最大值为|PA|+r;最小值为||PA|-r

|(其中r为圆P的半径).变量选择一

求圆的方程的方法1.方程选择的原则(1)已知条件多与圆心、半径有关,或与切线、弦长、弧长、圆心角、

距离等有关,则设圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0);(2)已知圆上的三个点的坐标时,则设圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).方法技巧2.求圆的方程的方法(1)待定系数法:①根据题意,选择方程形式(标准方程或一般方程);②根

据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组;③解出a,b,r或D、E、F,代入所选的方程中即可.(2)几何法:在求圆的方程过程中,常利用圆的一些性质或定理直接求出

圆心和半径,进而可写出标准方程.常用的几何性质有:①圆心在过切点

且与切线垂直的直线上;②圆心在任一弦的中垂线上;③两圆内切或外

切时,切点与两圆圆心在一条直线上.例1

(2018江苏百校联考)经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程为

.解析解法一:由题意知kAB=2,AB的中点为(4,0),设圆心为C(a,b),∵圆过A(5,2),B(3,-2)两点,∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上,则

解得

∴C(2,1),∴r=|CA|=

=

.∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.解法二:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则

解得

故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.解法三:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则

解得

∴所求圆的方程为x2+y2-4x-2y-5=0.答案

x2+y2-4x-2y-5=0(或(x-2)2+(y-1)2=10)二

与圆有关的最值问题的求解方法1.形如μ=

形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.2.形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题,也可

以利用三角代换进行处理,如对于圆(x-a)2+(y-b)2=r2,设x=a+rcosθ,y=b+

rsinθ.3.形如y=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平

方的最值问题.4.到圆上动点的距离问题,可转化为到圆心的距离问题.例2已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求

的最大值和最小值;(2)求y-x的最大值和最小值.(3)求x2+y2的最大值和最小值.解析原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,

为半径的圆.(1)

的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设

=k,即y=kx.当直线y=kx与圆相切时,斜率k取得最大值或最小值(如图1),此时

=

,解得k=±

.所以

的最大值为

,最小值为-

.图1几何画板

图2(2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵

截距b取得最大值或最小值(如图2),此时

=

,解得b=-2±

.所以y-x的最大值为-2+

,最小值为-2-

.(3)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在过原

点和圆心两点的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为

=2,所以x2+y2的最大值是(2+

)2=7+4

,x2+y2的最小值是(2-

)2=7-4

.例3设P为直线3x-4y+11=0上的动点,过点P作圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的

两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB的面积的最小值为

.解析圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为C(1,1),半径为r=1,根据对

称性可知,四边形PACB的面积为2S△APC=2×

|PA|r=|PA|=

,要使四边形PACB的面积最小,只需|PC|最小,最小值为圆心到直线l:3x-4y+11

=0的距离,即d=

=

=2.所以四边形PACB面积的最小值为

=

=

.答案

几何画板考点三

直线与圆的位置关系考向基础1.直线与圆的位置关系的判定设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),d为圆心(a,b)到

直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别

式为Δ.数轴表示位置关系判断方法

公共点个数

代数法几何法

相交Δ>0d<r2相切Δ=0d=r1相离Δ<0d>r0考点清单2.与圆的切线有关的结论(1)过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2;(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)

(y-b)=r2;(3)过圆x2+y2=r2(r>0)外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则过A、

B两点的直线方程为x0x+y0y=r2;(4)过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一点P(x0,y0)引圆的切线,切点

为T,则切线长为|PT|=

.3.与圆的弦长有关的计算直线与圆相交时,若l为弦长,d为弦心距,r为半径,则有r2=d2+

,即l=2

,求弦长或已知弦长求半径或弦心距时,一般用上述公式求解.考向突破考向一

弦长问题例4

(2019届江苏海门中学期初)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相

交于A,B两点,若|AB|=2

,则圆C的面积为

.解析圆C的方程可化为x2+(y-a)2=a2+2,所以圆心的坐标为C(0,a),半径r

=

,所以圆心到直线x-y+2a=0的距离为

=

,所以

+(

)2=(

)2,解得a2=2,所以圆C的半径为2,所以圆C的面积为4π.答案4π例5

(2018江苏常州中学期中)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,

则该圆在点P处的切线方程为

.考向二

切线问题解析设圆的方程为x2+y2=r2,将P的坐标代入圆的方程,得r2=5,故圆的方

程为x2+y2=5.

如图,设该圆在点P处的切线上的任意一点为M(x,y),则

=(x-1,y-2).由

⊥

,得

·

=0,即1×(x-1)+2×(y-2)=0,即x+2y-5=0.答案

x+2y-5=0考点四

圆与圆的位置关系考向基础1.两圆的位置关系的判定设圆O1的方程为(x-a1)2+(y-b1)2=R2(R>0),圆O2的方程为(x-a2)2+(y-b2)2=r2(r>

0),其中R>r.数轴表示位置关系判断方法

公共点个数公切线条数

几何法(判断圆心距|O1O2|与R,r的关系)代数法(联立两圆方程,判断解的个数)

外离|O1O2|>R+r无解04外切|O1O2|=R+r一解13相交R-r<|O1O2|<R+r两解22内切|O1O2|=R-r一解11内含0≤|O1O2|<R-r无解002.圆系方程(1)同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数;(2)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)交点的圆系方

程:x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R);(3)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(

+

-4F1>0)和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(

+

-4F2>0)交点的圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(该圆系不含圆C2,解题时,注意检验圆C2是否满足题意,以防丢解).3.求两圆公共弦所在直线的方程的方法(1)联立两圆方程,通过解方程组求出两交点坐标,再利用两点式求出直线方程;(2)将两圆的方程（二次项系数需相等）相减得到的方程就是所求的直线的方程.注意应用上述两种方法的前提是两圆必须相交.考向突破考向

两圆位置关系的判定例

6

(2018江苏梅村中学周考)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所

得线段的长度是2

,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是

.解析由题意知圆M的圆心为(0,a),半径R=a.因为圆M截直线x+y=0所得

线段的长度为2

,所以圆心M到直线x+y=0的距离d=

=

,解得a=2(负值舍去).又知圆N的圆心为(1,1),半径r=1,所以|MN|=

,又2-1<

<2+1,所以两圆的位置关系为相交.答案相交方法一

解决与圆有关的切线问题、弦长问题1.求过圆上的一点(x0,y0)的切线方程先求切点与圆心连线所在直线的斜率,当斜率不存在时,切线方程为y=y0;当斜率存在时,设为k,①k≠0时由垂直关系知切线斜率为-

,由点斜式方程可求切线方程,②k=0时切线方程为x=x0.方法技巧2.求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程(1)几何法:当切线斜率存在时,设为k,切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y+y0-kx0=0.由圆心到直线的距离等于半径,即可得出切线方程.若切线斜率不存在,则由图形写出切线方程x=x0.(2)代数法