2023届百师联盟高三一轮复习联考（五） 全国卷（1月） 数学（理）

2023届高三一轮复习联考（五）全国卷

理科数学试题

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.已知集合4=｛尤｝2-21一3<0｝,B=｛x\-2<x<1｝,则）

A.[-1,1]B.（-2,1]C.L-l,3]D.（-2,3]

2.已知（2—i）z=2+i,则5的虚部是（）

44.44.

A.-B.-iC.----D.—i

5555

3.设等比数列｛4｝的公比为q,则“4>1”是“｛%｝是单调递增数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.函数/（x）=的图象大致为（）

5.双曲线《一卫=1（。>0/>（））,离心率为@,焦点到渐近线的距离为1,则双曲线

a'b'2

方程为（）

6.中国的计量单位可追溯到4000多年前的氏族社会末期，秦王统一中国后，颁布了统一度

量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器，如图是当时的一种度量工具“斗”（无盖,

不计厚度）的三视图（正视图和侧视图都是等腰梯形），若此“斗”的体积约为2000立方厘

米，则其高约为（）（单位：厘米）

nwm

A.8B.9C.10D.11

7.已知某品牌电视机使用寿命超过15000小时的概率为0.95,而使用寿命超过30000小时

的寿命的概率为0.85,则已经使用了15000小时的这种电视，使用寿命能超过30000小时的

概率为（）

8.某校举办了迎新年知识竞赛，将100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下，则根

据频率分布直方图，下列结论不正确的是（）

A.中位数70B.众数75C.平均数68.5D.平均数70

9.函数/（x）=sin"+?）的图象（0＜口＜4）关于直线x=?■对称，将f（x）的图象向

7T

左平移2个单位长度后与函数尸g（x）图象重合，则关于产g（x）,下列说法正确的是（）

6

A.函数图象关于x=?对称B.函数图象关于对称

C.在（（）,乃）单调递减D.最小正周期为不

2

10.已知过点（0,1）的直线与椭圆尤2+21=1交于A、8两点，三角形OA8面积的最大

2

值是（）

y/2rr1

A.—B.V2C.-D.1

22

101

11.设%是函数/（x）=]x2+z?u+]nx（x＞o）的极值点，若满足不等式万3的实数

X。有且只有一个，则实数机的取值范围是（）

12.y=f（x）的定义域为R,y=f（x+2）为偶函数，/（2）=1且/（x）=g（2x）-g（4-2r）,

则下列说法不正确的是（）

A.y~f（x）的图象关于（1,0）对称B.y=f（x）的图象关于尸2对称

22

C.4为尸/,（X）的周期D.2/（幻=0

k=\

二、填空题：全科免费下载公众号《高中僧课堂》本题共4小题，每小题5分，共20分.

3a

13.己知a为第一象限角，tan6T=—,则tan—=.

42

14.在（2九2一,）的展开式中，所有项的二项式系数的和为64,则常数项为.

1111111

15.己知a、为单位向量，当2。一/?与a夹角最大时，a-b=.

16.如图C是圆台母线AB的中点，8。是底面的直径，上底面半径为1,下底面半径为2,

AB=2,点例是弧8。的中点，则C、M两点在圆台侧面上连线长最小值的平方等于.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一,）必考题：60分.

17.（12分）已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且满足S“=2a“+〃—3,neN'.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

数列｛%｝是否存在最大项，若存在，求出最大项.

18.（12分）2022年9月2日第十三届全国人民代表大会常务委员会第三十六次会议通过《中

华人民共和国反电信网络诈骗法》.某高校为了提高学生防电信网络诈骗的法律意识，举办

了专项知识竞赛，从竞赛成绩中随机抽取了100人的成绩，成绩数据如下表：

性别

[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

成绩

女生S10166

男生7152513

若学生的测试成绩大于等于80分，贝IJ“防电信诈骗意识强”，否则为“防电信诈骗意识弱”.

（1）用100人样本的频率估计概率，求从该校任选5人，恰有2人防骗意识强的概率；

（2）根据上表数据，完成2X2列联表，能否有99%的把握认为“防电信诈骗意识强弱”

有性别差异.

男生女生合•:I-

防诈骗意识强

防诈骗意识弱

合计

n(ad—Z?c)'

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k。)0.0500.0100.005

%3.8416.6357.879

19.（12分）如图，四棱锥P-4BCD,M为棱PB上中点，底面ABCO是边长为2的菱形,

71

PA=PC,PD=2,ZDAC=—.

6

（1）证明：AC1PD；

（2）若PB=2百，求AM与平面PC。所成角的正弦值.

20.（12分）设抛物线。：丁=2*（夕＞0）的焦点为凡过F作斜率为/的直线交抛物线于

AB两点，且A8=8,。为抛物线上一点，过。作两条均不垂直于对称轴的直线分别交抛物

线于除Q之外的M、N两点.

（1）求C的方程；

（2）若。坐标为且QW+WN=。，判断MN斜率是否为定值，若是，求出该值,

若不是，说明理由.

21.（12分）已知函数/（x）=e*T+以.

（1）若/（x）20恒成立，求。的取值范围;

me，

(2)当机时，证明lnx+-----sin;t>l恒成立.

x

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第

一题计分.

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

f—4

X二,

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为<4G为参数)，以坐标原点为极点，x

y=4t,

轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线/的极坐标方程为pcos(-Cm=0.

(1)曲线C与坐标轴交于A,B两点，求直线AB的极坐标方程;

(2)若/与曲线C有公共点，求机的取值范围.

23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)

已知函数/.(%)=|2%-。|+卜+1］,g(x)=2-|x+l|.

(1)当a=2时画出函数/(x)的图象，并求出其值域；

(2)若/(x)Ng(x)恒成立，求〃的取值范围.

2023届高三一轮复习联考(五)全国卷

理科数学参考答案及评分意见

1.D

2.C

3.D

4.D

5.B

6.B

7.B

8.D

9.B

10.A

11.B

12.D

13.-

3

14.60

1

15.一

2

16.25-12桓

17.(1)4=2"-"(2)瓦

【解析】(1)Sn=2an+〃—3①，

当〃=1时，q=2,

当〃之2,Sn_}=2az+〃一1一3,②

①-②得：an=2an_{-1,〃之2即。〃一l=2（a,i-1）,n>2,

由Sn=2an+〃一3知。〃w1即。〃一1w0,

所以｛。〃―1｝是首项为1公比为2的等比数列，得4-l=2'i,

/,,

所以数列｛4｝的通项公式为：6Zn=2-+l.

2

nn2

（2）b

n肃=西'

（九+1）2n2一+2〃+1*

%一2-----------，鹿£N，

2〃

令一〃2+2〃+1>0得力=1或几=2,即4>打>4,

令一〃2+2〃+lvO得〃23,即打

当〃<2时a+i—2>0,

9

当〃23时为+]-2<0，又〃2=2,4=a，

n

所以数列｛a｝最大项为&=彳.

18.(1)士144(2)没有充分证据说明“防电信诈骗意识强弱”与性别有关

625

【解析】(1)100人中成绩不低于80的人数有60人，由频率估计概率的思想可知任选一人

3

防骗意识强的概率p=《.

从学生中任选5人，其中防骗意识强的人数乂〜台[,1

所以恰有2人防骗意识强的概率p(X=2)=C；-

15J(if嘿

(2)2x2列联表如下:

男生女生合计

防诈骗意识强382260

防诈骗意识弱221840

合计6040100

“2(38X18-22X22)2X100

=--»---0---.--6--9--4---4---,-----0--.--6---9--4--4---<--6.635,

60x40x60x40

所给出的调查数据中没有充分证据说明“防电信诈骗意识强弱”与性别有关.

19.(1)证明过程见解析(2)叵

10

【解析】连接AC与交于点0,连接PO.

(1)证明：因为底面为菱形，所以ACL6。，且AO=CO.

因为Q4=PC,所以POJ.AC.

又因为POu平面P8D,平面PBD,BDcPO=O,

所以AC1平面P3O,

因为PDu平面PBO,所以ACLPO.

(2)由题可知PD=8D=2,PB=2也,所以/PDB=@,

3

由(1)可知平面平面A3CQ,

以0为坐标原点，射线Q4方向为x轴正方向，射线OB方向为y轴正方向，建立如图直角

坐标系.

则A(g,0,015(0,1,0),C(-V3,0,0),£)(0,-1,0),P(0,-2,同,

戕/一后一回

22

UUU，设平面PC。的法向量为i=(x,y,z),

DP=(0,-1,A/3),浅=N，l,0)

(uiinr厂

DP-n=-^+V3z=0,

则4uuwr令Z=1,则〃

DC-n=-y/3x+y=0,

百+fX1

uuu'r

/uuurrAM-n_*=_巫

cos(AM.nUUIT|工12

AMM,——2右一10

・41?+(V3)2+12

2J

所以与平面PCD所成角的正弦值为史.

10

20.(1)y2=4x(2)是定值，定值为-1

【解析】(1)设A(XpyJ,3(马,%)，由题可知/点坐标为

2

直线AB的方程为y=x—5,代入y2=2px,得f一3四+?=0,

由一元二次方程根与系数的关系玉+々=30,为々=?

|AB|=|AF|+|BF|=X,+x,+〃=4〃=8,

得〃=2,所以抛物线方程为y2=4x.

（2）由（1）知Q点坐标为（1,2）,设〃（毛,％），^V（x4,y4）.由y；=4七，yl=4x4,

两式相减得（%一%）（%+%）=4（F一为4），输/=丫;.

y2—4JC

设直线QM的方程为y—2=Z（x—l）,由『_

yI/）

消去X整理得62—4y+8—4Z=0,①

4

显然2,凡是方程①的两根得为+2=二②，

k

4

同理可得％+2=-7③，

k

4

②+③得以+%=-4,所以女的=:一=一1.所以MN的斜率为定值—1.

21.（1）-l<a<0（2）证明过程见解析

【解析】（1）/'（x）=ei+a

当。>0时,r（x）>o恒成立，/（X）单调递增，

且不）<一--,使（）〜（所以时不符

3JC0<0,/Xo=e-1+”<e-’+a---|=0,aNO

aeyae）

合题意;

当〃=0时，/(x)=ev-1>0,显然成立；

当a<0时，/'(x)=0解得x=l+ln(—a),

易知xe(-8,l+ln(-a)),/(x)单调递减；xe(l+ln(-a),+oo),/(x)单调递

增./(x)20恒成立，

则/(1+ln(—a))=—a+a[l+ln(-a)]=aln(—a)20,解之得—1<a<Q.

综上可得一lKa40.

(2)由题可知x>0,

令g(/〃)=J・，”+lnx-sinx-l,可看成关于“的一次函数，且单调递增.

当阳时，所以若证原不等式成立，即证一+lnx-sinx-l>0,

因为土=ein，,—+lnx-sinx-l=e^~lnA-x+lnx-1+x-sinx,

xx

由(1)知e-—尤20,把工换成x—lnx+1易得einx—(x—]nx+l)NO,

不妨设/z(x)=x-sinx,^(x)=l-cosx>0,所以/?(x)单调递增，

x>0fh(x)>h(0)=0,所以eig-x+lnx-1+x—sinx>(),即原不等式得证.

1

22.(1)2pcos。一夕sing+2=0(2)——,4-00

2

【解析】(1)令x=0,则与"=0,解得7=4,则y=