2023年湖北省武汉市高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

9

1.函数/（x）=2"-：—a的一个零点在区间（1,2）内，则实数〃的取值范围是（）

A.（1,3）B.（1,2）C.（0,3）D.（0,2）

2.已知三棱锥。-ABC的外接球半径为2,且球心为线段8c的中点，则三棱锥。-A6c的体积的最大值为（）

24816

A.-B.-C.—D.—

3333

3.点。为AABC的三条中线的交点，且。AB=2,则而•比的值为（）

A.4B.8C.6D.12

4.幻方最早起源于我国，由正整数1,2,3.....这〃2个数填入“X”方格中，使得每行、每列、每条对角线上

的数的和相等，这个正方形数阵就叫〃阶幻方.定义/（〃）为〃阶幻方对角线上所有数的和，如/（3）=15,则/（10）=

A.55B.500C.505D.5050

5.网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）

4

A.1B.-C.3D.4

3

22

6.过双曲线C2=1（。>0N>0）的右焦点厂作双曲线C的一条弦43,且丽+丽=0,若以A3为直径的圆经

ab"

过双曲线。的左顶点，则双曲线。的离心率为（）

A.y/2B.V3C.2D.45

7.以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月=100）变化图表，则以下说

图表一图表二

（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是

北京、天津、上海、重庆）

A.3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均

B.4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102

C.四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小

D.仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势

8.已知角。的终边经过点则2sina+cosa的值是（）

2222

A.1或—1B.二或一二C.1或一1D.T或二

9.我国古代数学名著《九章算术》有一问题：“今有鳖膈（加下广五尺，无袤;上袤四尺，无广；高七尺.问积

几何？”该几何体的三视图如图所示，则此几何体外接球的表面积为（）

45

A.90万平方尺B.180万平方尺

C.360"平方尺D.135直立平方尺

10.已知忸+可=2,a-fee[-4,0],则同的取值范围是（）

-1

A.[0,1]B.-4C.[b2]D.[0,2]

11.已知函数〃x）的定义域为（0,+。），且2©）.2小）=4孥，当0<x<l时，/（x）<°.若/（4）=2,则函数/（X）

在［U6］上的最大值为（）

A.4B.6C.3D.8

12.tan570=（）

A.—B.--C.y/3D.—

332

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知机>0,若（l+mx）5的展开式中/的系数比X的系数大30,贝!1加=.

s

14.设S“是公差不为0的等差数列｛4｝的前”项和，且%=-24，贝！=.

35+。4

15.（5分）已知x为实数，向量a=（2,-1）,%=（l,x）,且。，力，贝!||2〃+6=.

16.已知sinl^+cz）=，那么tana-sina=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，已知四棱锥P—A5C。的底面是等腰梯形，AD//BC,4）=2,3C=4,NABC=60。，APAD

为等边三角形，且点尸在底面ABCD上的射影为的中点G,点E在线段BC上，且CE:£B=1:3.

（1）求证：£）EJ_平面PAZ）.

（2）求二面角A—PC—。的余弦值.

18.（12分）中国古代数学经典《数书九章》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，将四

个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖腌”.在如图所示的阳马ABC。中，底面ABCD是矩形.1ft4，平面ABCD,

PA=AD=2,AB=母,以AC的中点。为球心，AC为直径的球面交尸。于M（异于点O）,交PC于N（异于

点C).

p

(1)证明：AM_L平面PC。，并判断四面体MCZM是否是鳖席，若是，写出它每个面的直角(只需写出结论)：若

不是，请说明理由；

(2)求直线ON与平面ACM所成角的正弦值.

19.(12分)在平面直角坐标系X0X中，直线4的倾斜角为30。，且经过点A(2,l).以坐标原点O为极点，x轴正半

轴为极轴建立极坐标系，直线4：2cos8=3,从原点O作射线交4于点M,点N为射线OM上的点，满足

\OM\-\ON\^n,记点N的轨迹为曲线C.

(I)求出直线4的参数方程和曲线C的直角坐标方程；

(II)设直线4与曲线C交于P,Q两点，求的值.

20.(12分)已知三棱锥P-45c(如图一)的平面展开图(如图二)中，四边形A8CZ)为边长等于应的正方形，AABE

和ABCE均为正三角形，在三棱锥P-A5C中：

图一图二

(1)证明：平面P4C_L平面ABC；

(2)若点M在棱以上运动，当直线BM与平面％C所成的角最大时，求直线MA与平面MBC所成角的正弦值.

21.(12分)已知/(%)=卜+[-欣一].

(1)当。=1时，求不等式/(力>1的解集；

(2)若xe(O,l)时不等式/(x)>x成立，求。的取值范围.

22.(10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数/（X）=|x+11+2|x-a|

（1）设。=1,求不等式〃x）W7的解集；

（2）已知a>—1,且/（x）的最小值等于3,求实数。的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

2

显然函数/（X）=2、——a在区间（1,2）内连续，由/（X）的一个零点在区间（1,2）内，则/⑴/⑵<（）,即可求解.

【详解】

2

由题，显然函数“X）=2'——a在区间（L2）内连续，因为“X）的一个零点在区间（1,2）内，所以“1）/（2）<0,即

（2-2-a）（4-1-a）<0,解得Ova<3,

故选:C

【点睛】

本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.

2.C

【解析】

由题可推断出AABC和△88都是直角三角形，设球心为。，要使三棱锥。-A3C的体积最大，则需满足

结合几何关系和图形即可求解

【详解】

先画出图形，由球心到各点距离相等可得，OA^OB^OC,故AABC是直角三角形，设AB=x,AC=y,则有

22

x+/=4>2xy,又邑48c=g孙，所以S^Bc=g孙<4,当且仅当x=>=2加时，SMBC取最大值4,要使三

11Q

棱锥体积最大，则需使高〃=。。=2,此时匕8c==

【点睛】

本题考查由三棱锥外接球半径，半径与球心位置求解锥体体积最值问题，属于基础题

3.B

【解析】

2AC-BC=3AOAC=2A0+W

可画出图形，根据条件可得,从而可解出，然后根据AB=2进

2BC-AC=3BOBC=2BO+AO

行数量积的运算即可求出ACBC=(2AO+BO^(2Bd+X0=8.

【详解】

如图:

点。为AABC的三条中线的交点

.-.AO=1(A6+AC)=1(2AC-BC),BO=1(A4+BC)=1(25C-AC)

\2AC-BC=?>Ad\AC^2AO+BO

二由《一一一可得：〈一一——，

2BC-AC=3BO[BC=2BO+AO

又因。4_LQB,AB=2,

222

:.ACBC=(2Ad+Bd)(2Bd+AO)^2Ad'+2Bd^2AB=8・

故选：B

【点睛】

本题考查三角形重心的定义及性质，向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运

算及向量的数量积的运算，考查运算求解能力，属于中档题.

4.C

【解析】

因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得/(〃)="2+3+…+川，即得解.

n

【详解】

因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，

所以〃阶幻方对角线上数的和/(〃)就等于每行(或每列)的数的和，

又“阶幻方有”行(或〃列)，

田wft\-1+2+34----1-n2

因liis,f(几)=--------------9

n

・

于是7(10)=1--+--2---+--3=―+.伍•+99=+~1—00二505.

故选：C

【点睛】

本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.

5.A

【解析】

采用数形结合，根据三视图可知该几何体为三棱锥，然后根据锥体体积公式，可得结果.

【详解】

根据三视图可知：该几何体为三棱锥

如图

该几何体为三棱锥A-BCD,长度如上图

所以S&WBD=5叱。=；乂卜2=1,5.纸=；*1、1=(

所以SABCO=2X2—S&VBD-S^DEC-S^CN=5

所以匕一88=g%8-4V=1

故选：A

【点睛】

本题考查根据三视图求直观图的体积，熟悉常见图形的三视图：比如圆柱，圆锥，球，三棱锥等；对本题可以利用长

方体，根据三视图删掉没有的点与线，属中档题.

6.C

【解析】

由西+丽=0得/是弦43的中点.进而得A8垂直于X轴，得a=a+c,再结合a,4c关系求解即可

a

【详解】

因为向+丽=0,所以尸是弦AB的中点.且AB垂直于x轴.因为以45为直径的圆经过双曲线C的左顶点，所以

*r2_2「

--a+c,即-------=a+c,贝!!c—a=a,故e=—=2.

aaa

故选：C

【点睛】

本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题.

7.D

【解析】

采用逐一验证法，根据图表，可得结果.

【详解】

A正确，从图表二可知，

3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大

B正确，从图表二可知，

4月份只有北京市居民消费价格指数低于102

C正确，从图表一中可知，

只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大

D错误，从图表一可知

上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势

故选：D

【点睛】

本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题.

8.B

【解析】

根据三角函数的定义求得sina,cos”后可得结论.

【详解】

由题意得点P与原点间的距离r=J（-痴）?+（3加）2=5|向.

①当〃2>0时，r=5m,

.3m3-4m4

・・sina=——=—,cosa=------=——,

5m55m5

.342

：•2sina+cosa=2x------=—.

555

②当机〈（）时，r=-5m,

.3m3-4m4

・・sina=-----=——,cosa=------=—,

—5m5-5m5

」「3、42

:.2sina+cosa-2x——H--=——.

{5）55

22

综上可得2sina+cosa的值是二或一y.

故选B.

【点睛】

利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标”,纵坐标y,

该点到原点的距离，，然后再根据三角函数的定义求解即可.

9.A

【解析】

根据三视图得出原几何体的立体图是一个三棱锥，将三棱锥补充成一个长方体，此长方体的外接球就是该三棱锥的外

接球，由球的表面积公式计算可得选项.

【详解】

由三视图可得，该几何体是一个如图所示的三棱锥尸-A5C,。为三棱锥外接球的球心，此三棱锥的外接球也是此

三棱锥所在的长方体的外接球，所以。为PC的中点，设球半径为R,则

R2=PCJ=；(+BC2+PA2)=l(42+52+72)=y，所以外接球的表面积S=4乃R?=4万x5=90万,

【点睛】

本题考查求几何体的外接球的表面积，关键在于由几何体的三视图得出几何体的立体图，找出外接球的球心位置和半

径，属于中档题.

10.D

【解析】

设丽=2々+日，可得五万=，•玩一222目40],构造，比)242+;病，结合制=2,可得1一：比e

4164_22.

根据向量减法的模长不等式可得解.

【详解】

设方=2^+5,则恸=2,

B=所-2&,a-b=a-m-2a2e[^4,0],

1111

:.(a——m)2=592——a*m+—rri91<2m92

421616

ffr1

|m|2=m2=4,所以可得：—

82

11119

配方可得—二一於9《2(2--m)92<4+-m92=-,

28482

1「13一

所以G,

又网T、仁。］比+t问

则同e[0,2].

故选：D.

【点睛】

本题考查了向量的运算综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

11.A

【解析】

根据所给函数解析式满足的等量关系及指数募运算，可得/（］）+/（"）=/（〃/）；利用定义可证明函数“X）的单调

性，由赋值法即可求得函数“X）在［1,16］上的最大值.

【详解】

函数/（X）的定义域为（0,+8）,且2庶）,2小）=4竽，

则

任取百,9e（0,+oo）,且不＜%，贝

X?

/\

故f工＜0,

/\

令〃z=Xi，n=x2,则/立+/（々）=/（%），

\X27

即〃m）—/（切=/伊］＜0,

\X2J

故函数/（x）在（0,+纥）上单调递增，

故4）皿=/（16），

令根=16,几=4,

故〃4）+/（4）=〃16）=4,

故函数/（x）在［1,16］上的最大值为4.

故选：A.

【点睛】

本题考查了指数幕的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题.

12.A

【解析】

直接利用诱导公式化简求解即可.

【详解】

tan5700=tan(360°+210°)=tan210°=ta/J(180°+30°)=ton30°=-----.

3

故选：A.

【点睛】

本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2

【解析】

利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得，”的值.

【详解】

rr

(1+如)5展开式通项为：Tr+l=C5mx

・・•加＞0且(1+mx)5的展开式中/的系数比1的系数大30

C^m~—C\m—30,即：2m2—m—6=0

3

解得：m=—(舍去)或加=2

2

本题正确结果：2

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.

14.18

【解析】

S

将已知为=-2弓已知转化为的形式，化简后求得％=-24,利用等差数列前〃公式化简不」g，由此求得表

达式的值.

【详解】

因为生=-2a,,所以4=一2乩-^―=9a5=+萼)==18.

S5+a45a3+a46at+13d-i2a+i3a

故填：18.

【点睛】

本题考查等差数列基本量的计算，考查等差数列的性质以及求和，考查运算求解能力，属于基础题.

15.5

【解析】

由。=(2,-1),〃=(l,x),且。J,得ab=2-x=0,解得x=2,则2«+b=2(2,—1)+(1,2)=(5,0),则

|2a+Z>|=V52+02=5.

16.--

20

【解析】

由已知利用诱导公式可求COSa,进而根据同角三角函数基本关系即可求解.

【详解】

.4.__16_9

・・cosa=—9sin2a=1—cos2cc-----=—,

52525

9

.sin2a259

二tana•sina=-------==-----.

cosa_420

-5

9

故答案为：一三.

【点睛】

本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)证明见解析(2)叵

13

【解析】

(1)由等腰梯形的性质可证得。£_L4),由射影可得PG,平面ABCD,进而求证；

(2)取BC的中点居连接GF，以G为原点,G4所在直线为x轴,GE所在直线为y轴,GP所在直线为z轴，建立空间直

角坐标系,分别求得平面APC与平面DPC的法向量，再利用数量积求解即可.

【详解】

(1)在等腰梯形ABCD中，

•••点E在线段BC上，且CE:£B=1:3,

，点E为BC上靠近C点的四等分点，

•/AD=2,BC=4,CE=1,

•••DELAD,

•・•点尸在底面ABC。上的射影为AD的中点G,连接PG,

.•.PG,平面ABCD,

;DEu平面ABCD,：.PG1DE.

又4£＞八1。6=6,4£＞匚平面PAO,PGu平面PAD,

.•.Z)E_L平面2LD.

(2)取BC的中点居连接G/，以G为原点,G4所在直线为x轴,GF所在直线为j轴,GP所在直线为z轴，建立空间直

由(1)易知,DE人CB,CE=1,

又ZABC=NDCB=a)o,：,DE=GF=6

•.・AD=2,△PAD为等边三角形,PG=G,

则G(0,0,0),A(l,0,0),£>(-1,0,0),P(0,0,V3),C(-2,6,0),

AC=(-3,6,0),AP=(-1,0,5，DC=(-1,^,0),DP=(1,0,J3),

设平面APC的法向量为沅=(%,y,Z]),

f/n-AC=0|-3王+6y=0

则｛—，即广,

jn-AP=0[一玉+6z]=0

令X]=G,则弘=3,Z]=l,.-.m=(V3,3,l),

设平面DPC的法向量为五=(/,%，Z2),

il-DC-0-%2+*^3=0

则〈一——八，即一厂一，

元.DP=0[x2+y/3z2=0

令％2=8，则>2=1jn=(V3,l,-l),

设平面APC与平面DPC的夹角为。，则

\m-n\13+3-11765

COS0=1和।币=-.——--f==---

|/w|-|«|屈X小13

••・二面角A-PC—。的余弦值为叵.

13

【点睛】

本题考查线面垂直的证明，考查空间向量法求二面角，考查运算能力与空间想象能力.

18.(1)证明见解析，是，ZAMC,AAMD,ZADC,ZMDC；(2)直

5

【解析】

(D根据AC是球的直径，则AW_LMC,又24,平面ABC。，得到CD_LQ4,再由线面垂直的判定定理得到

。。_1平面24。，，进而得到CDJ_AM,再利用线面垂直的判定定理得到AM，平面PCD.

(2)以4为原点，AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立直角坐标系，设函=力加=卜在1,一242；1),由

AN1CN,解得X,得到函，从而得到丽=反+由，然后求得平面ACM的一个法向量，代入公式

.八ONn4%”

sine=।_求解.

|。叶同

【详解】

(1)因为AC是球的直径，则

又B4_L平面ABCD,

：.CD±PA,CD_LA£).，C。，平面PAD，

...CZ)，AM,/Uf，平面PCD.

根据证明可知，四面体MCD4是鳖膈.

它的每个面的直角分别是NAMC,AAMD,ZADC,NMDC.

(2)如图，

以A为原点，AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立直角坐标系,

则8（行,0,0）,C（V2,2,0）,£＞（0,2,0）,P（0,0,2）,O^-,1,0.

M为PD中点,从而M（O,1,1）.

所以方=（-72,-2,2）,设国=ACP=（-V2A,-2A,22）,

则丽=/+函_（后一仞,2—242/1）.

由4VLOV,

WA7V-CN=V2A（V2A-V2）-2A（2-2A）+422=10A2-6A=0.

由4Ho得力=[,即CN=1_,a,_不,1].

所以。犷=。6+函=（一①，一.

（1055J

设平面ACW的一个法向量为4=（x,〉,z）.

AM-n=y+z=0

由〈___.

[AC-n=V2x+2y=0*

取x=0,y=T,Z=1,得到”=（夜,-1,1）.

记ON与平面AMC所成角为。，

A/6

贝（jsin0=55

+--V2+1+1V

25

所以直线ON与平面AMC所成的角的正弦值为—•

5

【点睛】

本题主要考查线面垂直的判定定理和线面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.

―+乌

19.(I)<2(t为参数)，x2-4x+y2=0(x^0).；(II)1.

y=i+L

I2

【解析】

pp、=12

(I)直接由已知写出直线人的参数方程，设N(p,0),M(p„0.),(p>0,pi>0),由题意可得,即p

=4cos0,然后化为普通方程；

(II)将/i的参数方程代入C的直角坐标方程中，得到关于，的一元二次方程，再由参数，的几何意义可得IAPWAQI

的值.

【详解】

x=2+rcos30°,皿

(I)直线h的参数方程为<..八，(t为参数)

y=l+fsin30

x=2+回t

即｛2(t为参数).设N(p,0),M(pi,01),(p>0,pi>0),

y-\+—t

I2

\pp.-123

则〈八八，即夕-----=12,即p=4cos0,

cos0

工曲线C的直角坐标方程为x2・4x+y2=0(x#)).

(II)将h的参数方程代入C的直角坐标方程中，

得(2+3t)2_4(2+g]+(l+』t)2=0,

222

即t?+t-3=0,ti,t2为方程的两个根,

，ht2=-l,|AP|»|AQ|=|tit2|=|-l|=1.

【点睛】

本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化，训练了直线参数方程中参数f的几何意

义的应用，是中档题.

2722

20.(1)见解析(2)

11

【解析】

(1)设AC的中点为。，连接8。/。.由展开图可知PA=P3=PC=&,PO=1，A0=30=C0=l.。为AC的

中点，则有POJ_AC,根据勾股定理可证得POJ_03,

则PO_L平面A8C,即可证得平面PAC，平面ABC.

(2)由线面成角的定义可知ZBMO是直线BM与平面PAC所成的角，

且tanNBMO=型=—,NBMO最大即为OM最短时，即〃是F4的中点

OMOM

IAM-m\

建立空间直角坐标系，求出AM与平面MBC的法向量m利用公式sin0=』~即可求得结果.

\AM\\m\

【详解】

(1)设AC的中点为O,连接BO,PO.

由题意，得PA=PB=PC=BPO=\,AO=BO=CO=I.

•.•在AQ4c中，PA=PC,O为AC的中点，」.POJ.AC,

,.在APOB中，PO=1,QB=1,PB=y/2>PO2+OB2=PB~»/.POLOB.

vACV\OB=O,4。,。3:=平面，二。0，平面人1?(：,

•.•POu平面PAC,平面PACJ_平面ABC.

(2)由(1)知，BOLPO,B01AC,30_L平面PAC,

ZBMO是直线BM与平面PAC所成的角,

且tanN8M0=型=—,

OMOM

・••当OM最短时，即M是PA的中点时，最大.

由PO_L平面ABC,OBVAC,

:.PO上OB,P010C,

于是以OC,OB,OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图示空间直角坐标系,

z

比=(1,T,O),定=(1,0,-1),碇=1|,0,-£|,戒=

设平面MBC的法向量为谣=(不，y,zj,直线MA与平面MBC所成角为。,

m受=。得：=。

则由，1f

m"MC=0—Z]=0

令』=1,得.》=