2023年甘肃省天水市清水县中考数学一模试卷

2023年甘肃省天水市清水县中考数学一模试卷

1.-2的相反数是（）

A.2B.-2C.|D.±2

2.从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（）

A.30°B.60°C.90°D,120°

3.不等式3%-2>4的解集是（）

A.x>—2B.x<—2C.x>2D.%<2

4.解方程-2（2x+1）=心以下去括号正确的是（）

A.—4%+1=—xB.-4x+2=-xC.-4x—1=xD.-4%—2=%

5.若AABCSADEF,BC=6,EF=4,则含=()

A.JB.1C.1D.1

9432

6.高尔基说：“书，是人类进步的阶梯”,阅读可以丰富知识，拓展视野，充实生活，给我

们带来愉快.英才中学计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱

的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（4科普，B.文学，C.体

育，。.其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，则下列说法错误的是（）

A.样本容量为400B.类型。所对应的扇形的圆心角为36。

C.类型C所占百分比为30%D.类型8的人数为120人

7.大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1,蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且

节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形.如图2,一个巢

房的横截面为正六边形ABCDEF,若对角线AD的长约为8nun,则正六边形4BCDEF的边长为

()

图I图2

A.2mmB.2yT~2mmC.2y/~3mmD.4mm

8.船在静水中的速度为36千米/时，水流速度为4千米/时，从甲码头到乙码头再返回甲码头,

共用了9小时（中途不停留），设甲、乙两码头的距离为%千米，则下面所列方程正确的是（）

A.(36+4)%+(36-4)(9-%)=1B.(36+4)%=9

*泊9D-高+急=9

9.如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧

（Q），点。是这段弧所在圆的圆心，半径04=90m,圆心角

^AOB=80°,则这段弯路（余）的长度为（）

A.207nH

B.307nH

C.40nm

D.50nm

10.如图，在矩形4BCD中，P是边AD上的一个动点，连接BP,CP,过点B作射线，交线段

CP的延长线于点E,交边4D于点M,且使得=乙CBP,如果AB=2,BC=5,AP=%,

PM=y,其中2V%45.则下列结论中，正确的个数为（）

(l)y与％的关系式为y=l-g；

(2)当AP=4时，2ABPFDPC；

(3)当AP=4时，tan/EBP=

A.。个B.1个C.2个D.3个

11.计算：a3-i-a=.

12.因式分解：3a2_9ab=.

13.若一次函数y=2x+2的图象经过点(3,m),则m.

14.如图，矩形4BCD中，4B=5,BC=4,点E是4B边上一点，AE=3,连接DE,点F是

15.如图，已知48是O。的直径，4c是。。的切线，连接0C交O。

于点D,连接若NC=40。，贝IJ/B的度数是

16.如图，在四边形ABCC中，AB//DC,AD//BC,在不添

加任何辅助线的前提下，要想四边形4BCD成为一个矩形，

只需添加的一个条件是.

B

17.如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y=-0.2/+x+2.25运行，然后准确落入篮

筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m,则他距篮筐中心的水平距离。”是m.

18.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=9cm,点E,F分别在边48,BC上，AE=2cm,

BD,EF交于点G,若G是EF匚的中点，则BG的长为_____am.

D

]

BFC

19.计算：4+

2°・化简：品.会+篇二——・

21.如图，已知线段MN=a,ARLAK,垂足为4.

⑴求作四边形4BCD,使得点B,。分别在射线4K,AR±,,且4B=BC=a,/.ABC=60°,

CD〃4B；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)设P,Q分别为(1)中四边形4BCD的边4B,CD的中点，求证：直线4D,BC,PQ相交于同

-*点.

RAf

22.随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广

场B,C两点之间的距离.如图所示，小星站在广场的B处遥控无人机，无人机在4处距离地面

的飞行高度是41.66，此时从无人机测得广场C处的俯角为63。，他抬头仰视无人机时，仰角

为a,若小星的身高BE=1.6m,E4=50m(点4,E,B,C在同一平面内).

(1)求仰角a的正弦值；

(2)求B,C两点之间的距离(结果精确到1m).

(sin63°®0.89,cos63°®0.45,tan63°«1.96,sin27°®0.45,cos27°a0.89,tan27°«0.51)

23.一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全

相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量

重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右.

(1)请你估计箱子里白色小球的个数；

(2)现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸

出的小球颜色恰好不同的概率(用画树状图或列表的方法).

24.受疫情影响，某初中学校进行在线教学的同时，要求学生积极参与“增强免疫力、丰富

学习生活”为主题的居家体育锻炼活动，并实施锻炼时间目标管理.为确定一个合理的学生

居家锻炼时间的完成目标，学校随机抽取了30名学生周累计居家锻炼时间(单位：向的数据作

为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：

【数据收集】

786591046751112876

4636891010136783510

【数据整理】

将收集的30个数据按4,B,C,D,E五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数

分布直方图(说明：A.3<t<5,B.5<t<7,C.7<t<9,D.9<t<11,E.U<t<13,

其中t表示锻炼时间)；

【数据分析】

统计量平均数众数中位数

锻炼时间(八)7.3m7

请根据以上信息解答下列问题：

(1)填空：m=；

(2)补全频数分布直方图；

(3)如果学校将管理目标确定为每周不少于7九，该校有600名学生，那么估计有多少名学生能

完成目标？你认为这个目标合理吗？说明理由.

频数分布直方图

25.如图，在平面直角坐标系中，RtaABC的斜边BC在%轴上，坐标原点是8c的中点,

Z.ABC=30°,BC=4,双曲线y经过点4.

(1)求k;

(2)直线AC与双曲线y=一号在第四象限交于点。，求^的面积.

26.如图，是。。的直径，点C是。。上异于4、B的点，连接4C、BC,点。在B4的延长

线上，且/DCA=NABC,点E在DC的延长线上，B.BE1DC.

(1)求证：DC是。。的切线；

(2)若需=[BE=3,求的长.

27.己知正方形4BCD,E为对角线力C上一点.

【建立模型】

(1)如图1,连接BE,DE.求证：BE=DE；

【模型应用】

(2)如图2,尸是DE延长线上一点,FB1BE,EF交4B于点G.

①判断AFBG的形状，并说明理由；

②若G为的中点，且A8=4,求4F的长.

【模型迁移】

(3)如图3,F是CE延长线上一点，FB1BE,EF交于点G,BE=BF.求证:GE=(-7-1)DE.

28.如图，在平面直角坐标系中，四边形4BCD为正方形，点4,B在x轴上，抛物线y=/+

bx+c经过点B,。(一4,5)两点，且与直线DC交于另一点E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q,F,E,B为顶

点的四边形是以BE为边的菱形.若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M,连接ME,BP,探究EM+MP+

PB是否存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：一2的相反数是：一(一2)=2.

故选：A.

根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数.

本题考查了相反数，关键是在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.

2.【答案】C

【解析】解：从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是(6-3)x30。=90。，故选C.

时针1小时走1大格，1大格为30。.

解决本题的关键是得到时针1小时旋转的度数.

3.【答案】C

【解析】解：3x—2>4,

移项得：3x>4+2,

合并同类项得：3%>6,

系数化为1得：x>2.

故选：C.

按照解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1即

可得出答案.

本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项;

④合并同类项；⑤化系数为1是解题的关键.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了解一元一次方程，去括号法则，解题的关键是：括号前面是负号，把负号和括号去掉，

括号的各项都要变号.

可以根据乘法分配律先将2乘进去，再去括号.

【解答】

解：根据乘法分配律得：-(4x4-2)=%,

去括号得：一4工一2=%，

故选：D.

5.【答案】D

【解析】解：•・•△ABC~ADEF,

.BC_AC

‘9=而'

vBC=6,EF=4,

.—AC_=-6=_一3,

DF42

故选：D.

根据△4BCyDEF,可以得到黑=噂，然后根据BC=6,EF=4,即可得到黑的值.

EFDFDF

本题考查相似三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用相似三角形的性质解答.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查统计图的知识，熟练掌握条形统计图和扇形统计图的知识是解题的关键.

根据力类100人占25%可计算样本容量，根据。占10%可计算其所对扇形的圆心角度数，根据C类

140人+总样本容量即可得所占百分比，总样本容量减去A,C,。三类人数即可得B类人数.

【解答】

解：100+25%=400(人)，

样本容量为400人，

故A正确.

360°x10%=36°,

类型。所对应的扇形的圆心角为36。，

故B正确.

1404-400x100%=35%,

类型C所占百分比为35%,

故C错误.

400-100-140-400x10%=120（人）,

二类型B的人数为120人，

故。正确，

故选：C.

7.【答案】D

【解析】解：连接4D,CF,AD.CF交于点。，如右图所示，

;六边形48coEF是正六边形，力。的长约为

•••^AOF=60°,OA=OD=OF,04和。。约为47nm,

:'4F约为4mm,

故选：D.

图2

根据正六边形的性质和题目中的数据，可以求得正六边形28C0EF的边长.

本题考查多边形的对角线，解答本题的关键是明确正六边形的特点.

8.【答案】D

【解析】解：设甲、乙两码头的距离为x千米，根据题意可得：

+=9

36+436-4

故选：D.

直接利用从甲码头到乙码头再返回甲码头，共用了9小时，进而得出等式即可.

此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出往返所用时间是解题关键.

9.【答案】C

【解析】解：•:半径。4=9（hn,圆心角4AOB=80。，

二这段弯路（泥）的长度为：皿蓝9。=407r（m）,

故选：C.

根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出这段弯路（卷）的长度.

本题考查圆心角、弧、弦的关系，解答本题的关键是明确弧长计算公式2=黑.

10.【答案】C

【解析】解：（1）过点P作PF1BC于点F,如图,

•••四边形ABCD是矩形，PFLBC,

・•・四边形4B”是矩形，

.・.PF=AB=2,BF=AP=%,

・•・AM=AP=PM=x—y,

vZ.ABE=乙CBP,Z-A=Z-PFB=90°,

・••△48Ms△EBP,

tAM_AB

’标=丽’

.%_y_2

••------—.

2x

:.x2-xy=4.

4

・.,y=r

・・.(D的结论正确；

(2)当AP=4时，DP=AD-AP=5-4=lf

AB21DB1

---------....-.--------1.

AP42CD2

ABDP

・•・——=——.

APDC

vZ.A=Z.D=90°,

ABP△DPC.

・・・(2)的结论正确;

(3)由(2)知：当4P=4时，AABPFDPC,

・••Z.ABP=Z.DPC.

v乙BPA+Z.ABP=90°,

・・・N4P8+4DPC=90。.

・♦・乙CPB=90°.

・・・Z.BPE=90°.

由(1)知：PM=AP--^=3,

BP=VAP2+AB2=2A/-5.CP=VCD2+DP2=y/~5.

■■AD//BC,

_PM_PE

"'BC~Ic'

3_PE

A5=PE+口'

解得：PE=浮，

PF斐之

.■.tan^EBP=-=^==-'

•・.(3)的结论错误，

综上，正确的结论为：(1)(2),

故选：C.

利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，平行线分

线段成比例定理对每个选项的结论进行判断即可：(1)过点P作PF1BC于点凡利用矩形的判定与

性质和相似三角形的判定与性质解答即可；(2)利用相似三角形的判定定理解答即可；(3)利用(1),

(2)的结论利用勾股定理和平行线分线段成比例定理求得PB,PE,再利用直角三角形的边角关系

定理即可求得结论.

本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，

平行线分线段成比例定理，灵活应用相似三角形的判定与性质是解题的关键.

11.【答案】a2

【解析】解：a3-i-a=a2.

故答案为：a2.

直接利用同底数基的除法运算法则计算得出答案.

此题主要考查了同底数基的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键.

12.【答案】3a(a—3b)

【解析】解：3a2一9ab

=3a(a—3b),

故答案为：3a(a-3b).

提取公因式，即可得出答案.

本题考查了因式分解，掌握因式分解的各种方法的特点是解此题的关键.

13.【答案】8

【解析】解：•・,一次函数y=2%+2的图象经过点(3,6)，

Am=2x34-2=8.

故答案为：8.

利用一次函数图象上点的坐标特征可求出山的值，此题得解.

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=

依+b是解题的关键.

14.【答案】6

【解析】解：如图，连接EC,过点。作OHLEC于H.

・•・2LBAD=乙BCD=90°,AD=BC=4,AB=CD=5,

-AE=3,

DE—VAD24-AE2-V424-32=5，

.・.DE=DC,

•・・DH1EC,

・・・乙CDH=乙EDH,

vZF=乙CDH=34EDC,

・•・乙CDHZF,

•・•乙BCE+乙DCH=90°,乙DCH+Z.CDH=90°,

:.乙BCE=乙CDH,

・•・（BCE=ZF,

・•・EC//AF,

・B•・E一=CB一,

AECF

.2_4

—=—«

3CF

:,CF—6,

故答案为：6.

如图，连接EC,过点。作DHLEC于H.证明CE〃/IF,利用平行线分线段成比例定理，解决问题即

可.

本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键

是证明EC〃71C.

15.【答案】25

【解析】解：・・・4C是O。的切线，

・・・OA1AC,

・•・Z.OAC=90°,

・•・Z.AOC=90°-ZC=90°-40°=50°,

:.乙OBD=^AOC=25°,

即4ZBD的度数为25。，

故答案为：25.

先根据切线的性质得NO4c=90。，再利用互余计算出N40C=90。-NC=50。，由圆周角定理得

出408。=^Z.AOC=25°,即可得解.

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理.

16.【答案】乙4=90。（答案不唯一）

【解析】解：需添加的一个条件是乙4=90。，理由如下：

•­•AB//DC,AD//BC,

.••四边形4BCD是平行四边形，

又乙4=90°,

二平行四边形4BC0是矩形，

故答案为：44=90。(答案不唯一).

先证四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论.

本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的

判定与性质是解题的关键.

17.【答案】4

【解析】

【分析】

此题考查二次函数的运用，根据所建坐标系确定水平距离的求法是此题关键.

根据所建坐标系，水平距离。”就是y=3.05时离他最远的距离.

【解答】

解：当y=3.05时，3.05=-0.2/+x+2.25,

x2-5x+4=0,

(x—1)(%—4)=0,

解得：Xj=1,x2=4,

故他距篮筐中心的水平距离。”是4m.

故答案为：4.

18.【答案】F

【解析】解：•••四边形ZBCD是矩形，

•••AB=CD=6cm,^ABC=zC=90°,AB//CD,

■■Z.ABD=Z.BDC,

AE=2cm,

BE—AB—AE-6—2=4(cm),

•••G是EF的中点，

EG=BG=\EF,

・•・乙BEG=乙ABD,

・•・乙BEG=乙BDC,

EBF~ADCB,

,•总=吗

DCCB

4BF

'6=~，

・•・BF=6,

•••EF=VBE2+BF2=742+62=2^Tn（cm）,

BG=^EF=

故答案为：＜13.

根据矩形的性质可得/B=CD=6cm,/.ABC=zC=90°,2B〃CD,从而可得乙4BD=NBDC,

然后利用直角三角形斜边上的中线可得EG=BG,从而可得NBEG=L4BD,进而可得NBEG=

乙BDC,再证明△EBFS^OCB,利用相似三角形的性质可求出BF的长，最后在Rt^BEF中，利

用勾股定理求出EF的长，即可解答.

本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练

掌握直角三角形斜边上的中线，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键.

19.【答案】解：原式=4x殍一3，9+2c

=2V-2-3V-2+2/^

=V-2.

【解析】直接化简二次根式，进而合并求出即可.

此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键.

20.【答案】总

2

【解析】解:a—3a—42

a2+4a+4a—3a+2

a-3(a-2)(a+2)2

(a+2)2a-3a+2

a-22

a+2a+2

a+2,

故答案为：^

先把能分解的分子或分母进行分解，再约分，最后进行分式的加法运算即可.

本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

21.【答案】(1)解：如图，四边形4BCD为所作;

(2)证明：设PQ交4。于G,BC交AD于GI

•・•DQ//AP,

tGD__DQ_

-Q'

DC//AB,

GfD_DC

・.・西=而'

•：P,Q分别为边48,CD的中点，

:・DC=2DQ,AB=2AP,

tG'D_DC_2DQ_DQ

=而=2AP=而

.G'D_GD

•‘0=次

・••点G与点G'重合，

・•・直线BC,PQ相交于同一点.

【解析】(1)先截取=Q,再分别以小B为圆心，Q为半径画弧，两弧交于点C,然后过C点作AR

的垂线得到CD;

(2)证明：设PQ交4D于G,BC交AD于G',利用平行线分线段成比例定理得到普=器，髭=北=

bAArGAAD

驾=咯,则尊="，于是可判断点G与点G'重合.

本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的

基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了平行线分线段成比例定理.

22.【答案】解：(1)如图，过4点作4。1BC于D,过E点作EF14。于

F.

vZ-EBD=Z-FDB=乙DFE=90°,

・•・四边形8DFE为矩形，

・•.EF=BD,DF=BE=1.6m,

/.AF=AD-DF=41.6-1.6=40(m),

在&ZMEF中,sinzA£F=^=1=|,

即sina=看.

答：仰角a的正弦值为土

(2)在Rt△4EF中，EF=VAE2-AF2=V502-402=30(m)，

在RtA/lCO中，AACD=63°,AD=41.6,

tanZ-ACD=缶,

416416

•••8=嬴而=砺"21.22g),

BC=BD+CD=30+21.22®51(m).

答：B,C两点之间的距离约为51m.

【解析】(1)如图，过4点作4。1BHD,过E点作EF1AD于F,利用四边形BDFE为矩形得到EF=

BD,DF=BE=1.6m,则4F=40m,然后根据正切的定义求解；

(2)先利用勾股定理计算出EF=30m,再在Rt△4CO中利用正切的定义计算出CD,然后计算8。+

CD即可.

本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三

角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以

解决.

23.【答案】解：(1)•.・通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右,

.•・估计摸到红球的概率为0.75,

设白球有％个，

根据题意，得：2=0.75,

3+x

解得x=l，

经检验x=1是分式方程的解，

估计箱子里白色小球的个数为1；

(2)画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6,

・••两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为2=

1DO

【解析】(1)设白球有x个，根据多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右可估计摸

到红球的概率为0.75,据此利用概率公式列出关于x的方程，解之即可；

(2)画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合

事件4或B的结果数目小，然后利用概率公式求事件4或8的概率.

24.【答案】6

【解析】解：(1)由数据可知，6出现的次数最多，

・•・m=6.

故答案为：6.

(2)补全频数分布直方图如下：

频数分布直方图

答：估计有340名学生能完成目标.

目标合理.

理由：过半的学生都能完成目标.

(1)由众数的定义可得出答案.

(2)结合收集的数据，求出C组的人数，即可补全频数分布直方图.

(3)用总人数乘以样本中每周不少于7九的人数占比，即可得出答案；过半的学生都能完成目标，即

目标合理.

本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，从收集的数据中获取必要的信息是解决问题的关键.

25.【答案】解：(1)如图，作于H,

•••/?£△ABC的斜边BC在%轴上，坐标原点是8c的中点，^ABC=30°,BC=4,

:.OC—；BC=2,AC=BCxsin300=2,

v乙HAC+Z.ACO=90°,Z-ABC+Z-ACO=90°,

・・・Z.HAC=Z.ABC=30°,

/.CH=ACxsin300=1,AH=ACxcos300=C，

：,OH=OC-CH=2—1=1,

・・・4(1,C)，

,・,双曲线y=g经过点4

dk

••・1=7T

即攵=V-3;

(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,

C(2,0),

(0=2k+b

解得『=-<3

lb=2C

・・・直线4c的解析式为y=+2「,

•・•直线AC与双曲线y=一手在第四象限交于点D,

y——y/~3x+2V~~3

・'"3XT3，

解得仁:「喏二名,

•・•。在第四象限，

•••£)(3,-C),

S^ABD=S^ABC+S&BCD=^BC,AH+^BC-(—YD)=£X4XV-3+，X4Xy/~3=4V~3.

【解析】(1)作4H，BC于〃，求出/H的长和。，的长确定4点坐标即可；

(2)求出直线4D的解析式，确定。点坐标，再根据三角形ABD的面积等于三角形4BC面积加三角形

BCD面积即可求出.

本题主要考查反比例函数和一次函数的性质，三角形的面积等知识点，熟练掌握反比例函数的性

质和求解三角形面积的方法是解题的关键.

26.【答案】（1）证明：连接0C,

•・•0C=0B,

:.Z.OCB=乙OBC,

•••Z-ABC=乙DCA,

:.Z-OCB=乙DCA,

又・・,48是。。的直径，

・・・乙4cB=90°,

・・・44。。+4。。8=90。,

・・・Z.DCA+乙ACO=90°,

GRzDCO=90°,

・•・DC1OC,

・・•。。是半径，

••・。。是。。的切线；

(2)解：•器=|,且。4=0B,

设04=OB=2x,0D=3%,

・•・DB=0D4-OB=5x,

・O•・D——=3

DB5

又・：BE工DC,DC1OC,

・・•OC//BE,

*'•△DCO~ADEB,

.OC_OD_3

BEDB5

•・•BE=3,

9

・•.OC=I，

AX——，

10

9

・•・AD=OD-OA=x=—,

即4。的长为卷.

【解析】(1)连接OC,由等腰三角形的性质得出4OCB=NOBC,由圆周角定理得出4ACB=90。,

证出WC0=90。，则可得出结论；

(2)设。4=OB=2x,OD=3x,证明ADCOSADEB,由相似三角形的性质得出言=瞿=|,求

DCL)Db

出OC的长，则可求出答案.

本题考查了圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与

性质等知识；熟练掌握切线的判定与相似三角形的判定和性质是解题的关键.

27.【答案】(1)证明：•・・AC是正方形/BCD的对角线，

：.AB=AD,Z,BAE=Z.DAE=45°,

vAE—AE,

：.AABEW2ADE(SAS),

:.BE=DE；

(2)解：①△FBG为等腰三角形，理由：

・・•四边形ABC。是正方形，

・・・/.GAD=90°,

/.Z/lGD+Z/lDG=90o,

由(1)知，2ABENAADE,

・•・Z.ADG=乙EBG,

・・・4AGD+4EBG=90。，

vPB1BE,

・・・Z,FBG+乙EBG=90°,

:.Z.AGD=乙FBG,

,:Z-AGD=乙FGB,

：•Z-FBG=(FGB,

•••FG=FB,

.•.△FBG是等腰三角形；

②如图，过点尸作FH于"，

•••四边形力BCD为正方形，点G为4B的中点，AB=4,

:.AG=BG=2,AD=4,

由①知，FG=FB,

・・.GH=BH=1,

：.AH=AG+GH=3f

^.Rt△FHG^Rt△DAG^,•:乙FGH=(DGA,

・•・tan乙FGH=tanz.DG/1,

FHADc

:.—=—=2,

GHAG

•••FH=2GH=2,

在Rt△4HF中，AF=VAH2+FH2=V32+22=V^3：

(3)•••FB1BE,

4FBG=90°,

在RtAEBF中，BE=BF,

•••EF=yJ_2BE,

由(1)知，BE=DE,

由(2)知，FG=BF,

GE=EF-FG=UBE-BF=y/~2DE-DE=(V-2-1)DE.

【解析】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理,

锐角三角函数，作出辅助线构造出直角三角形是解(2)的关键.

(1)(1)先判断出4B=4D,/.BAE=/.DAE