角平分线的性质和判定课件

角平分线的性质和判定角平分线的性质和判定什么叫角平分线？2.画∠AOB平分线OC，在OC上任取一点P，过P向角的两边作垂线段PD、PE，你能得出什么结论？思考题AOBPED角平分线的性质和判定开启智慧定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.如图,已知:OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE(平分线上的点到这个角的两角边距离相等).COB1A2PDE角平分线的性质和判定证明:

因为PD⊥OA，PE⊥OB（已知），所以∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）．OCB1A2PDE在△PDO和△PEO中，因为∠DOP＝∠EOP（已知），∠PDO＝∠PEO（已证），PO＝PO（公共边），｛∴△PDO≌△PEO(A.A.S)∴PD=PE于是就有定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．角平分线的性质和判定四问答：1、如图，在Rt△ABC中，做完本题后，你对角平分线,又增加了什么认识?

思考

角平分线的性质，为我们证明两线段相等又提供了新的方法与途径。ABCBD是∠B的平分线，DE⊥AB，垂足为E，EDE与DC

相等吗？D答：DE=DC。∵BD是∠ABC的平分线（D在∠ABC的平分线上）

又∵DE⊥BA，垂足为E，∴DE=DC。为什么？DC⊥BC，垂足为C，角平分线的性质和判定

反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．OCB1A2PDE证明：

PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，在Rt

△PDO与Rt

△PEO中∴∠PDO=∠PEO=Rt∠PD=PE（已知）｛OP=OP（公共边）∴Rt△PDO≌△PDO∴∠1=∠2即点P在∠AOB的平分线上角平分线的性质和判定于是就有定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上角平分线的性质和判定思考分析命题:三角形三个角的平分线相交于一点.如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是E,F,D.∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,∴△ABC的三条角平分线相交于一点P.基本想法是这样的:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学习的内容.ABCPMNDEF∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF.∴PD=PF.∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).角平分线的性质和判定1、∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________(________________________________)ACDEB12DC=DE角平分线上的点到角的两边的距离相等2、判断题（）∵如图，AD平分∠BAC（已知）

∴BD=DC，

()角的平分线上的点到角的两边的距离相等。×课时训练随练习堂角平分线的性质和判定练习1．如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．提示：作∠AOB的平分线，交直线l于P就是所求的点角平分线的性质和判定2、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。

求证：AD是△ABC的角平分线。ABCEFD变式训练：若已知AD是△ABC的角平分线。求证：BE＝CF。角平分线的性质和判定3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.AAAAAAADNEBFMCA角平分线的性质和判定4如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．GHP证明：作FG⊥AE于G.FH⊥AD于HFP⊥CB于P,作射线OF∵CF平分∠ECB