基于最小二乘法的螺旋桨刻画方法

基于最小二乘法的螺旋桨刻画方法

0差动控制模型的数控机床测量为了提高螺钉的加工效率和质量，螺母的加工方法已从传统的手工研磨转变为数值加工。传统的人工测量及余量估算的方式,常常引起加工余量分配不当,或导致加工参数的选择过于保守,使数控加工效率降低,或导致错误地选择加工参数,使其加工质量难以保证,引发螺旋桨毛坯的报废,加工装备的安全也受到威胁。作为自动测量的方式之一,借助加工用数控机床,利用机床上的坐标轴测量装置,配置测头和计算机软件,构成简易的三坐标测量仪,对工件进行的借机测量,适用于螺旋桨这种体积大、测量环境难以保证的工件的测量。相对于传统的手工测量,这种方式不仅提高了测量的效率和精度,同时,由于测量、加工都在同一机床上进行,缩短了装夹时间,避免了二次装夹带来的误差。测量目的是为了获取被测曲面的整体信息。由测头所测得的数据并不能直接反映测点的加工余量或制造误差。为解决余量估算的需求,本文提出了基于最小二乘法的毛坯寻位模型,利用改进的遗传算法,对测量的毛坯数据进行处理,计算螺旋桨的整体最佳加工余量。1算法的基本思想1.1模型叶的距离如图1所示,工作面的加工余量定义为毛坯叶面上点Pi和其在对应CAD模型叶面上的正交投影点Qi间的距离PiQi,非工作面的加工余量定义为毛坯叶背上的点Si到对应的CAD模型叶背上的正交投影点Di的距离DiSi。图1所示螺旋桨桨叶径向剖面图中,阴影部分为螺旋桨的CAD模型。(1)加工余量的分配一般而言,毛坯是按设计叶片等距放大制造的。根据螺旋桨铸造的工艺特点,工艺要求毛坯桨叶所留的加工余量尽量分配在桨叶的非工作面(下表面),桨叶的工作面(上表面)的加工余量尽可能小。如果定位摆放位置不当,可能造成加工余量过大或不足。加工余量过大导致多次加工,使加工效率降低。而欠切的现象则会使叶片毛坯报废。(2)桨叶的角度分布螺旋桨是多桨叶曲面零件,铸造时各桨叶间难免会出现一些偏差。由于两桨叶中心线不在同一高度,所引起的偏差称为螺旋桨的z向偏差,如图2中的高度差z。螺旋桨桨叶的理论后倾角θ和毛坯叶片的实际后倾角θ′之间的夹角Δθ称为桨叶的后倾角偏差。理论桨叶和实际桨叶的中心线不重合所成的夹角称为桨叶间的夹角偏差。图3中,虚线为螺旋桨桨叶的理论分布,实线为毛坯桨叶的实际分布,δ为桨叶间的夹角偏差。余量估算问题就是要合理分配加工余量,使叶片加工余量的分配既满足加工工艺要求,达到余量均化的目的,又满足对毛坯铸件可能产生的偏差的纠偏。1.2cad模型与空间位置的转化螺旋桨余量估算问题中有几个相关的坐标系,即与CAD模型相关的设计坐标系,与毛坯加工和测量相关的机床坐标系和测量坐标系。借机测量时,由于测量机就是数控机床,因此测量坐标系与机床坐标系是统一的。设计坐标系则是以CAD模型的旋转轴的中心轴线为z轴、轴端中心为原点的独立坐标系。在桨叶的铣削加工前,螺旋桨整体的部分端面已实现了粗加工,毛坯叶片外表面都是待加工表面。依靠传统的定位方式,已加工的端面不足以完全确定毛坯桨叶和设计模型的相对空间位置。对于安装在机床工作台上的螺旋桨毛坯,CAD模型与毛坯之间的关系可用欧氏变换矩阵表示:式中,sα=sinα;cα=cosα;C为描述毛坯相对于CAD模型的姿态矩阵;α、β、γ分别为测量坐标系中的毛坯绕设计坐标系各坐标轴的旋转角;T为描述毛坯相对于CAD模型的位移矩阵;px、py、pz分别为测量坐标系中的毛坯相对于设计坐标系在x、y、z方向的位移量。因此余量估算问题转化为寻找一个从测量坐标系到设计坐标系的变换,使毛坯的空间位置在经过上述变换后,设计叶片处于毛坯内的一个合适位置,能够最大范围地包含CAD模型,满足余量均布和毛坯纠偏的要求。根据最小二乘法寻优准则可知,当毛坯上的所有点到CAD模型曲面的最近距离(余量)的平方和最小时,毛坯和CAD模型匹配达到最优。2算法的实现2.1目标函数的约束条件将图中的点作为矢量点来考虑,则测量所得到的毛坯点的数据为Pi(图1)。根据最小二乘法的准则建立目标函数:f(tz)=min∑i=0mM2if(tz)=min∑i=0mΜi2(4)P′i=PiA式中,m为螺旋桨毛坯叶片上所有测量点数目;Mi为P′i到CAD模型面的距离,Mi=|P′i-Q′i|;Q′i为P′i点对应的螺旋桨CAD模型面上最近点。由于螺旋桨加工工艺对上表面的加工余量有最小限定值dmin的要求,因此目标函数的约束条件是Mi>dmin。求解该数学模型,寻找使毛坯各桨叶能够同时充分包容CAD模型的定位矩阵。2.2螺旋加工定位模型由上述讨论可知,寻位问题就是求解毛坯的6个定位变量(α、β、γ、px、py、pz),但根据螺旋桨加工的特点,若进行适当的预处理和选择合理的加工定位方案,可大大简化上述模型。(1)心线时实现桨叶间夹角的纠偏划标记线(找圆线、找平线、桨叶中心线),其中划桨叶中心线时实现桨叶间夹角的纠偏,即测算桨叶的宽度,根据桨叶宽度余量和公差要求,调整桨叶中心线的位置。在装夹前按照划线加工出毛坯桨毂的大端,作为数控加工精定位基准。(2)建立旋转角度矩阵将加工好的螺旋桨桨毂的大端作为定位精基准,建立如图4所示的测量坐标系,即工作台回转中心为测量坐标系x轴零点,工作台的端面为测量坐标系z轴零点,1号桨叶的中线为测量坐标系C1轴零点。通过找圆找平,使测量坐标系和设计坐标系建立联系,测量坐标系与设计坐标系的x、y轴的零点重合(即px、py为零),同时设定毛坯桨毂的大端与CAD模型的大端平行(即α=0,β=0),如图5所示。经过上述步骤,毛坯相对于CAD模型只有z向和绕z轴小范围旋转的自由度γ,旋转矩阵简化为该定位矩阵中变量pz影响桨叶上表面和背面的余量分配,pz、γ则共同对叶片间的z向偏差和桨叶的后倾角偏差的纠偏起作用。因此选择适当的值不仅能够解决螺旋桨余量均布的问题,同时还能解决螺旋桨毛坯纠偏的问题。3局部最优值利用遗传算法求解定位矩阵中的变量时,在选择因子的作用下,遗传群体的多样性逐渐减小,可能会出现收敛于局部极值而找不到全局最优值的情况。因此在算法的具体实现时,对传统的遗传算法作了相应的改进。(1)螺旋精度改进方法适应度函数是个体优劣度的体现,也是进行选择操作的依据。适应度大的个体遗传到下一代的概率也大。本问题选择目标函数式(4)的函数值作为个体的适应度。式中Mi的求解方法很多,为了尽量缩短寻位计算的时间,在满足螺旋桨精度要求的情况下,本文采用了较为实用的方法,即将点到曲面的距离用点到小平面的距离近似取代。具体步骤如下:①曲面模型上的点离散化。按照一定的规律选取相邻的三点组成三角曲面片,当面片足够小的时候该三点构成三角平面。②依次求解各三角面片的法向矢量,建立以三角曲面的两矢量边及法向矢量所构成的局部坐标系。③依次选取各三角平面,计算P′i在该三角曲面片所建立的局部坐标系T′中的坐标值,如果投影落在该三角片中,则该三角面片为P′i点在CAD模型上对应最近的三角面片。反之继续选取下一个三角面片,直至遍历所有的三角面片,寻找到P′i对应的最近三角面片为止。投影点与P′i的连线即为毛坯到CAD模型上表面的近似最近距离。(2)初始群体传统的群体初始化直接在变量的取值范围内按照随机方式产生遗传群体。由于该方式不能保证群体在取值范围内充分取值,使得算法在群体初始时就有早熟的隐患。本文采用局部最优值和随机变量组成初始遗传群体的方式,尽量使遗传群体在初始取值时就能遍及整个取值范围,同时又不失一般性。具体的方法是将变量的取值范围均匀分为n个相同间隔的局部区域,在每个局部区域内用原始的随机方式进行初始化,每个区域都单独组成一个遗传群体,对这些遗传群体分别使用遗传算法,找到该间隔区域内的最优值。所有这些局部最优值再加入随机生成的m个个体,组成一个规模为m+n的全局的初始群体的集合。该集合中的局部最优值保证了在整个变量区域内充分取值,随机生成的个体又保证个体的多样性和一般性。这样在不大量增加遗传群体规模的基础上,既提高了计算的效率,又消除了早熟的隐患。(3)影响现象的影响遗传算法中的变异算子pm用来控制单个个体通过某些基因段的突变来产生新的个体,对产生新个体的能力和抑制早熟现象有一定影响。如果变异算子太小,容易导致遗传早熟,如果变异算子太大,又容易在遗传的后期对已经遗传的较好的模式产生破坏。本文在实际应用中根据变异算子的特点和作用,将pm设定为动态改变,在遗传的初期和中期采用较大的变异概率,提高新个体产生的速度和能力。在遗传的中后期采用适中的变异概率,在遗传的后期采用较小的变异概率。4实验结果和分析为验证该算法的实用性,将该算法用于加工大型螺旋桨的七轴五联动车铣复合数控机床上。通过安装在机床主轴的测头,测量各测点的坐标值,通过PMAC的高速PLC的位置捕捉功能来获取测量的数据。测点的测量精度取决于机床的精度、测头测量精度以及PLC的位置捕捉精度,经测算,系统测量精度可达到0.001mm。以测量的一组实际数据为例对余量进行估算。毛坯叶面测点Pi共计14×10×4=560个,CAD模型细分程度K=5,遗传群体为40,交叉概率pc=0.55,变异概率初始值pm为0.1,进化中期的pm为0.033,进化后期的pm为0.00625。在赛扬2.5G、内存256M的计算机上运行10min左右后收敛,遗传次数为396。搜索到定位矩阵变量γ=0.9998,pz=-4.66。在该定位矩阵下,计算出各毛坯点到桨叶工作面的加工余量。该计算的结果以可视化的方式显示(图6),图中余量不同的区域用深浅不同的色块显示,颜色越深余量越小。为提高余量估算的效率,采用以三角面片逼近曲面的方式寻找最近距离的算法,经该实例验证,与理论最近距离点的最大综合误差为1.6593mm,与实际最近距离的误