第02讲 一定是直角三角形吗（解析版）

第02讲一定是直角三角形吗1.熟练掌握勾股定理逆定理判断直角三角形，能够运用勾股定理逆定理解决简单的实际问题.2.理解勾股数的概念，并能准确判断一组数是不是勾股数.3.熟练掌握分类讨论的数学思想.知识点01勾股定理的逆定理1）勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形.2）勾股定理逆定理的证明：如图，AB=c，AC=b，CB=a，当a2+b2=c2，证明：△ABC是直角三角形.证明：过点A作AD垂直于CB交CB于点D，设CD=x.根据勾股定理b2－x2=c2－（a±x）2将a2+b2=c2代入得±2ax=0∴x=0∴点D与点C重合∴AC⊥CB∴△ABC为直角三角形注：勾股定理的逆定理主要用于证明三角形是直角三角形.【微点拨】1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.3）当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形.知识点02勾股数1）勾股数：能构成直角三角形三条边的三个正整数2）常见的勾股数有：=1\*GB3①3，4，5；=2\*GB3②5，12，13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……【微点拨】这两组勾股数的整倍数也是勾股数，如：3、4、5是勾股数，则6、8、10也必是勾股数.在考察勾股数时，若出现不熟悉数组，可利用勾股定理逆定理判断，即：a2+b2=c2.题型01勾股树(数)问题【典例1】（2022秋·广东清远·八年级期末）下列各组数据中，不是勾股数的是（

）A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．10，12，14【答案】D【分析】分别求出两小边的平方和和最长边的平方，看看是否相等即可．【详解】解：A．，，，即3，4，5是勾股数，故本选项不符合题意；B．，，，即7，24，25是勾股数，故本选项不符合题意；C．，，，即8，15，17是勾股数，故本选项不符合题意；D．，，，即10，12，14不是勾股数，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了勾股数，如果两数的平方和等于第三个数的平方，那么这三个数叫勾股数．【变式1】（2023春·广东中山·八年级校联考期中）以下四组数中，是勾股数的是（）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】C【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【详解】解：A.，不是勾股数，故本选项不符合题意；B.，不是勾股数，故本选项不符合题意；C.，是勾股数，故本选项符合题意；D.，不是勾股数，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】考查了勾股数，理解勾股数的定义：满足的三个正整数称为勾股数．【变式2】（2023春·广东河源·八年级统考开学考试）下列是勾股数的一组数是（）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、【答案】B【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数逐一判断即可．【详解】解：A．、、不是整数，此数组不是勾股数，不合题意；B．，此数组是勾股数，符合题意；C．，此数组不是勾股数，不合题意；D．，此数组不是勾股数，不合题意．故选：B．【点睛】本题考查了勾股数的知识，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．题型02判断三边能否构成直角三角形【典例1】（2023春·广东汕头·八年级统考期末）满足下列条件的是直角三角形的是（

）A．8，10，7 B．2，3，4 C．5，12，14 D．1，，2【答案】D【分析】验证选项中每组数据，看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若等于则为直角三角形，否则就不是直角三角形．【详解】解：选项A：两条较短边平方和为：，不是直角三角形，故选项A不合题意；选项B：两条较短边平方和为：，不是直角三角形，故选项B不合题意；选项C：两条较短边平方和为：，不是直角三角形，故选项C不合题意选项D：两条较短边平方和为：，是直角三角形，故选项D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，如果两条较短边的平方和等于最长边的平方，则此三角形为直角三角形．【变式1】（2023春·广东广州·八年级校考期中）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A．6，8，10 B．5，12，13 C．1，， D．13，14，15【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定即可；如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可；【详解】A、，此三角形是直角三角形，不符合题意；B、，此三角形是直角三角形，不符合题意；C、，此三角形是直角三角形，不符合题意；D、，此三角形是直角三角形，符合题意；故选D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．【变式2】（2023春·广东珠海·八年级珠海市前山中学校考期中）下列各组数中，不能构成直角三角形三边的一组是（

）A．1，1， B．1，2， C．3，5，7 D．3，4，5【答案】C【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A、∵，∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；B、∵，∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；C、∵，∴不能构成直角三角形，故此选项符合题意；D、∵，∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．题型03图形上与已知两点构成直角三角形的点【典例1】（2023秋·八年级单元测试）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可．【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个，故选D．【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键．【变式1】（2023春·八年级单元测试）如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成_________个直角三角形．【答案】2【分析】由勾股定理求出线段AD、AC、AB、BC、BD、CD的平方，由勾股定理的逆定理即可得出结果．【详解】解：由勾股定理得：AD2=BD2=12+32=10，AC2=12+22=5，AB2=22+42=20，BC2=CD2=25，∴AD2+BD2=AB2，AC2+AB2=BC2，∴能够组成2个直角三角形，故答案为：2．【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理得出直角三角形．【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）同一平面内有，，三点，，两点之间的距离为，点到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点有______个．【答案】8【分析】该题存在两种情况；（1）AB为斜边，则；（2）AB为直角边，或；【详解】（1）当AB为斜边时，点到直线的距离为，即AB边上的高为，符合要求的C点有4个，如图：（2）当AB为直角边时，或，符合条件的点有4个，如图；符合要求的C点有8个；故答案是8．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析判断是解题的关键．题型04在网格中判断直角三角形【典例1】（2023春·广东湛江·八年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为_________．

【答案】【分析】根据勾股定理得到，，的长度，再判断是等腰直角三角形，进而得出结论．【详解】解：如图，连接，

由题意，，，，∴，，∴是等腰直角三角形，且，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出是等腰直角三角形是解决本题的关键．【变式1】（2021秋·福建三明·八年级统考期中）如图，正方形网格中小方格边长为1，A，B，C都是小正方形的顶点，请你根据所学的知识解决下面问题．（1）求的周长；（2）判断是不是直角三角形，并说明理由.【答案】（1）△ABC的周长为；（2）△ABC不是直角三角形，理由见解析．【分析】（1）利用勾股定理求出AB，BC的长，然后可求周长；（2）利用勾股定理的逆定理判断即可．【详解】解：（1）如图，根据题意由勾股定理，得，，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=，（2）△ABC不是直角三角形，理由是：∵在△ABC中，AB2+BC2=13+45=58，AC2=64，即AB2+BC2≠AC2，∴△ABC不是直角三角形.【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式2】（2019秋·广东梅州·八年级期末）如图，方格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，求：(1)的周长；(2)请判断是否是直角三角形，并说明理由．【答案】(1)(2)不是直角三角形．见解析【分析】（1）根据勾股定理求得的三条边长后，再求该三角形的周长；（2）根据勾股定理的逆定理进行判断即可．【详解】（1）解：根据勾股定理知，，，，故的周长；（2）不是直角三角形．理由：由（1）可知，，，，，，即，∴不是直角三角形．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．题型05利用勾股定理的逆定理求解【典例1】（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）已知，如图，AB=3，AD=4，BC=13，CD=12，且∠A=90°．(1)求BD的长．(2)判断△BCD是什么三角形，并说明理由？【答案】(1)5(2)直角三角形，理由见解析【分析】（1）根据勾股定理求解即可；（2）根据勾股定理的逆定理求解即可．【详解】（1）如图，在△ABD中，AB=3，AD=4，∠A=90°，∴由勾股定理得，即BD=5（2）△BCD是直角三角形．理由如下：在△BCD中，BC=13，CD=12，BD=5，∴，，∴，∴△BCD是直角三角形．【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．【变式1】（2023春·四川绵阳·八年级统考期中）如图，在中，于点D，，，．

(1)求证：是直角三角形；(2)求点D到的距离之和．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据己知数据利用勾股定理的逆定理即可证明．（2）根据（1）中求得的长度，再利用等面积法求出点D到的距离，即可得到答案．【详解】（1）证明：∵，∴，在中，，即，∴；在中，，即，∴，∵∴，∴是直角三角形；（2）解：过点D作，，垂足分别为点E、F，

，，即，∴，，即，∴，∴．【点睛】本题考查了勾股定理和三角形高的问题，熟练运用勾股定理逆定理和等面积法求高是解题的关键．【变式2】（2023春·安徽六安·八年级校联考阶段练习）已知：如图，四边形中，，，，且．试求：

(1)四边形的面积．（结果保留根号）(2)的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）连接，由勾股定理求出的值，结合勾股定理逆定理可推出，然后根据进行求解，即可得到答案；（2）根据等腰直角三角形的性质可得，然后根据进行计算即可得到答案．【详解】（1）解：连接，

，，，，，，即，，；（2）解：，

，．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．题型06勾股定理逆定理的实际应用【典例1】（2023春·广西钦州·八年级浦北中学校考阶段练习）为弘扬劳动精神，让同学们在实践中体验劳动、认识劳动，从而培养尊重劳动、热爱劳动、尊重劳动人民的品质，学校准备在校园的一角开垦一块如图所示的四边形土地．经测量，，，，，，请计算该四边形土地的面积．【答案】该四边形土地的面积为【分析】连接，则为直角三角形，为斜边，通过勾股定理求，根据判定为直角三角形，根据直角三角形面积计算可以计算该菜地的面积．【详解】解：连接∵∴在中∴∵，

∴∴是直角三角形，且答：该四边形土地的面积为.【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积计算，本题中正确的根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形是解题的关键．【变式1】（2023春·福建莆田·八年级统考期中）为响应政府“公园城市建设”的号召，某小区进行小范围绿化，要在一块如图所示的四边形空地进行绿化改造，测得，，，，．

(1)若要在B，D两点间铺一条鹅卵石路，铺设成本为120元/m，求铺设这条鹅卵石路的最低花费．(2)如果种植草皮的费用是200元，那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元？【答案】(1)铺设这条鹅卵石路的最低花费为元．(2)整块空地上种植草皮共需投入元．【分析】（1）如图，连接，再利用勾股定理先求解，从而可得答案；（2）先利用勾股定理的逆定理证明，可得整块空地的面积为：，再计算总费用即可．【详解】（1）解：如图，连接，

∵，，，∴，∵铺设成本为120元/m，∴铺设这条鹅卵石路的最低花费为（元）．（2）∵，，．∴，∴，∴整块空地的面积为：，∵种植草皮的费用是200元，∴整块空地上种植草皮共需投入（元）．【点睛】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的实际应用，理解题意，确定勾股定理与勾股定理的逆定理是使用情境是解本题的关键．【变式2】（2023春·广东汕头·八年级校考期中）如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路．测得千米，千米，千米．

(1)问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．(2)求原来的路线的长．【答案】(1)是，见解析(2)千米【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答；（2）设，则AH=x-3，在中，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）∵，∴∴∴是从村庄C到河边的最近路（2），则在中∴解得：∴原来的路线的长为千米【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，点到直线的最短距离，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解题的关键．一、选择题1．（2023春·黑龙江大庆·七年级统考阶段练习）满足下列条件的，不是直角三角形的为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据勾股定理的逆定理以及角的度数对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A、，设，，，，不是直角三角形，符合题意；B、，则设，，，，，，是直角三角形，不符合题意；C、由得，是直角三角形，不符合题意；D、，且，，是直角三角形，不符合题意；故选：A．【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定方法，灵活运用直角三角形的定义及勾股定理的逆定理是解决问题的关键．2．（2023春·广东汕头·八年级校联考阶段练习）一块三角形木板，测得，，，则三角形木板的面积为（

）A．60 B．30 C．65 D．45【答案】B【分析】根据勾股定理的逆定理，得为直角三角形，故可求出面积．【详解】解：，，，即是直角三角形，，故选：B．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解本题要熟练掌握勾股定理的逆定理这个知识点．3．（2023春·福建莆田·八年级统考期中）如图，小肖同学有4根长度不一的木棍，取其中三根木棍可以拼成一个直角三角形的是（

）

A．4cm，5cm，8cm B．3cm，4cm，5cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，5cm，8cm【答案】B【分析】由勾股定理的逆定理可判断A，B，由三角形的三边关系可判断C，D不能组成三角形，从而可得答案．【详解】解：∵，故A不符合题意；∵，故B符合题意；∵，不能组成三角形，故C不符合题意；∵，不能组成三角形，故D不符合题意；故选B【点睛】本题考查的是三角形三边的关系，勾股定理的逆定理的应用，熟记三角形的三边关系与勾股定理的逆定理是解本题的关键．4．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定【答案】B【分析】将原式整理为，即可判断.【详解】解：∵，∴，∴，∴这个三角形是直角三角形；故选：B.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和平方差公式，熟练掌握勾股定理逆定理、得出是解题的关键.5．（2023春·广东珠海·八年级珠海市第九中学校考期中）下列由三条线段、、构成的三角形：①，，；②，，；③；④，，（为大于1的整数）；其中能构成直角三角形的是（

）A．①④ B．①②④ C．②③④ D．①②③【答案】B【分析】判断一组数能否成为直角三角形，就是看是否满足两较小边的平方和等于最大边的平方，将题目中的各题一一作出判断即可．【详解】解：①，，故能构成直角三角形，符合题意；②，，故能构成直角三角形，符合题意；③，令，，，，、、不能构成直角三角形，不符合题意；④，，，，故能构成直角三角形，符合题意；综上所述：①②④正确，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，在应用时注意是两较短边的平方和等于最长边的平方．二、填空题6．（2023春·陕西西安·七年级高新一中校考阶段练习）有四个三角形，分别满足以下条件：①；②三个角之比为3：4：5；③三边长分别为、、；④三边之比为5：12：13．其中是直角三角形有______个．【答案】2【分析】根据三角形内角和定理判断①，②，根据勾股定理的逆定理判断③，④．【详解】解：①，则，，∴，解得：，故不是直角三角形；②三个角之比为3：4：5，则最大角为，故不是直角三角形；③三边长分别为、、，则，故是直角三角形；④三边之比为5：12：13，设三边为，，，则，故是直角三角形；∴是直角三角形有2个，故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及勾股定理逆定理的应用，灵活求解，只要与进行比较即可，技巧性较强．7．（2023春·广东惠州·八年级阶段练习）若a、b、c是的三边长，且满足关系式，则的形状为__________．【答案】直角三角形【分析】根据题意及三角形的边长为正数，得出，再移项即可得出答案．【详解】，a、b、c是的三边长，的形状为直角三角形．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．8．（2023春·福建南平·八年级统考阶段练习）如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上则边上的高为___________．

【答案】2【分析】根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，再根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：根据题意得，∴，∴是直角三角形，且；过点A作于点D，如图，

∴，∴，即边上的高为2．故答案为：2．【点睛】此题考查了勾股定理以及逆定理，熟记勾股定理及逆定理是解题的关键．9．（2023春·全国·八年级期末）如图，在中，是内一点，连接、，且．已知，，，．则图中阴影部分的面积为________．

【答案】【分析】先根据勾股定理求出，然后根据勾股定理的逆定理，得是直角三角形，根据阴影部分的面积等于，即可．【详解】∵，∴，∵，，∴，∵，，∴，，，∴，∴是直角三角形，设阴影部分的面积，∴，∴，∴设阴影部分的面积为：．故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用和勾股定理的逆定理．10．（2023春·河北沧州·八年级校考期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上．

（1）线段的长为______；（2）若，则三条线段首尾顺次相接______（填“能”或“不能”）构成直角三角形．【答案】能【分析】（1）直接利用勾股定理得出的长；（2）直接利用勾股定理以及勾股定理逆定理分析得出答案．【详解】解：（1）线段的长是：；故答案为：；（2）三条线段首尾顺次相接能构成直角三角形．理由：∵，∴，∴三条线段首尾顺次相接能构成直角三角形．故答案为：能．【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．三、解答题11．（2023春·湖北十堰·八年级校联考期中）已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c满足，试判断的形状，并说明理由．【答案】直角三角形，见解析【分析】利用绝对值以及偶次方的性质和二次根式的性质得出a，b，c的值进而求出即可．【详解】解：是直角三角形，理由：∵，∴，∴，∴是直角三角形．【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理及非负数的性质，根据题意得出a，b，c的值是解题关键．12．（2023春·黑龙江大庆·七年级校联考期中）在中，是上一点，，，，，求的的周长．

【答案】48【分析】先根据，，，利用勾股定理的逆定理求证是直角三角形，再利用勾股定理求出的长，然后计算三角形周长即可得出答案．【详解】解：，是直角三角形，，在中，，，的的周长．【点睛】此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键．13．（2023春·黑龙江绥化·八年级统考期中）如图，四边形中，，，，，且，求四边形的面积．

【答案】【分析】如图所示，连接，先利用勾股定理求出，进而利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即，由此根据四边形的面积进行求解即可．【详解】解：如图所示，连接，

∵，，，∴根据勾股定理得又∵，，∴，，∴∴是直角三角形，即．∴四边形的面积．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．14．（2023春·广东广州·八年级期中）如图，已知等腰的底边，是腰上一点，连接，且．

(1)求证：是直角三角形；(2)求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断即可得到答案；（2）设，根据等腰三角形的性质可得，在直角三角形中，由勾股定理可得，解方程即可得到答案．【详解】（1）证明：，，，即为直角三角形；（2）解：设，是等腰三角形，．为直角三角形，为直角三角形，，即，解得：，故的长为：．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．15．（2023春·河北沧州·八年级校考期