考点15 正多边形与圆的6大考点方法归类-解析版

考点15正多边形与圆的6大考点方法归类1正多边形和圆正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．正多边形的相关概念：正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．半径、边心距，边长之间的关系：任意的一个多边形（边数大于3）不一定有外接圆和内切圆，但正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且这两个圆是同心圆.2正多边形的对称性所有的正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心.当n为偶数时，它还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。3正多边形的有关计算的公式和方法(1)正n边形的每个内角为(n-2)180°/n=180°-360°n(2)正n边形的每个中心角为360°n(3)正n边形的每个外角为360°n.(4)正n边形的半径R、边心距r、边长a之间的关系为(12a(5)正n边形的半径R、边心距r、则正n边形的周长l＝na，面积s＝12arn＝1在进行与正多边形有关的计算时，通常作正n边形的半径和边心距，把正n边形分成2n个直角三角形，再利用勾股定理即可.4构造特殊三角形解正多边形在解决有关正六边形或正方形的计算可以作相邻两条半径使其与边分别构成等边三角形或等腰直角三角形，然后与前面学过的勾股定理、垂径定理及切线的性质等知识联系起来综合求解。5正多边形的外接圆的有关计算方法半径、边心距与边长的一半构成一个直角三角形，有关正多边形的计算问题都可以转化为直角三角形问题.因此在解决与正多边形有关的线段问题时，常作出半径、边心距构造直角三角形。6画圆内接正多边形方法量角器（作法操作复杂，但作图较准确）量角器+圆规（作法操作简单，但作图受取值影响误差较大）圆规+直尺（适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..）考点1正多边形和圆考点2正多边形的对称性考点3正多边形的有关计算的公式和方法考点4构造特殊三角形解正多边形在解决有关正六边形或正方形的计算考点5正多边形的外接圆的有关计算方法考点6画圆内接正多边形方法考点1正多边形和圆1．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，正八边形内接于，为弧上的一点（点不与点，重合），则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】连接、、，根据正多边形和圆的知识求出正八边形的中心角的度数，根据圆周角定理求出的度数．【详解】解：连接、、，如图，

∵八边形是正八边形，∴，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查的是正多边形和圆、圆周角定理的应用；熟练掌握中心角公式，由圆周角定理求出结果是解决问题的关键．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，五边形是的内接正五边形，过点作的切线交的延长线于点，交的延长线于点．则下列结论中正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，，根据正五边形的性质得到，，，故B错误；求得，根据三角形的三边关系得到，故A错误；根据切线的性质得到，求得，故D错误；根据三角形的内角和定理得到，故C正确．【详解】解：连接，，五边形是的内接正五边形，，，，故B错误；，，，，故A错误；，，，是的切线，，，故D错误；，故C正确；故选：C．

【点睛】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，切线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）正六边形的半径为4，则它的边心距是（）A．2 B．4 C． D．【答案】C【分析】根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合勾股定理的有关知识解决．【详解】解：如图，连接；过点O作于点G．

在中，，∴，∴.故选：C．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为S，则纸片的剩余部分的面积为（

）

A． B． C． D．S【答案】C【分析】如图所示可将正六边形分为6个全等的三角形，拼成的四边形由两个三角形组成，剩余部分由4个三角形组成，故此可求得剩余部分的面积．【详解】解：如图所示：

将正六边形可分为6个全等的三角形，∵拼成的四边形的面积为S，∴每一个三角形的面积为，∵剩余部分可分割为4个三角形，∴剩余部分的面积为．故选C．【点睛】本题考查的是正多边形与圆的含义，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键．5．（2023春·全国·九年级专题练习）已知正六边形的边长为4，则这个正六边形外接圆的半径为（）A．2 B．3 C．4 D．【答案】C【分析】如图，求出圆心角，得到为等边三角形，即可解决问题．【详解】解：如图，为内接正六边形的一边；则，，为等边三角形，．这个正六边形外接圆的半径为4，故选：C．【点睛】该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用正多边形和圆的性质来分析、判断、解答．考点2正多边形的对称性6．（2023春·云南昆明·九年级专题练习）下列命题错误的是（

）A．各边相等的圆内接多边形是正多边形 B．三角形的内心到它三边的距离相等C．任何一条直径所在直线都是圆的对称轴 D．同弦所对的圆周角相等【答案】D【分析】根据正多边形的概念、三角形内心的性质、圆的对称轴及圆周角定理逐项判断，即可求解．【详解】A.各边相等的圆内接多边形是正多边形，该选项正确，不符合题意；B.三角形的内心到它三边的距离相等，该选项正确，不符合题意；C.任何一条直径所在直线都是圆的对称轴，该选项正确，不符合题意；D.同弦所对的圆周角可能在劣弧也可能在优弧上，所以圆周角不一定相等，该选项不正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了正多边形的概念、三角形内心的性质、圆的对称轴及圆周角定理，熟练掌握知识点是解题的关键．7．（2018春·九年级课时练习）顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点，得到如图的图形，下列说法错误的是（）A．△ACE是等边三角形B．既是轴对称图形也是中心对称图形C．连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDCD．图中一共能画出3条对称轴【答案】B【详解】试题解析：A.∵多边形ABCDEF是正六边形，∴△ACE是等边三角形，故本选项正确；B.∵△ACE是等边三角形，∴是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C.∵△ACE是等边三角形，∴连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDC，故本选项正确；D.∵△ACE是等边三角形，∴图中一共能画3条对称轴，故本选项正确．故选B．8．（2023·江苏无锡·统考中考真题）下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根据正多边形的性质以及正多边形与圆的关系逐一进行判断即可．【详解】解：各边相等各角相等的多边形是正多边形，只有各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形，故①是假命题；正三角形和正五边形就不是中心对称图形，故②为假命题；正六边形中由外接圆半径与边长可构成等边三角形，所以外接圆半径与边长相等，故③为真命题；根据轴对称图形的定义和正多边形的特点，可知正n边形共有n条对称轴，故④为真命题.故选：C．【点睛】本题考查的是正多边形的概念以及正多边形与圆的关系，属于基础题型．9．（2023春·九年级课时练习）如图是一个正八边形，则它（）A．只是轴对称图形 B．只是中心对称图形C．既是轴对称图形，也是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形【答案】C【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：正八边形既是轴对称图形，也是中心对称图形．故选：C．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．熟练掌握定义是解答本题的关键．10．（2023·江苏·九年级专题练习）下列关于正多边形的叙述，正确的是（

）A．正七边形既是轴对称图形又是中心对称图形B．存在一个正多边形，它的外角和为C．任何正多边形都有一个外接圆D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形【答案】C【分析】根据中心对称图形、轴对称图形的定义、多边形外角和定理、正多边形的性质对各选项逐一判断即可得答案．【详解】A.正七边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误，B.任意多边形的外角和都等于360°，故该选项错误，C.任何正多边形都有一个外接圆，故该选项正确，D.∵正三角形的每个外角为120°，对应的每个内角为60°，∴存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形，故该选项错误，故选：C．【点睛】本题考查正多边形的性质、中心对称图形、轴对称图形的定义及多边形外角和定理，熟练掌握相关性质及定理是解题关键．考点3正多边形的有关计算的公式和方法11．（2023秋·全国·九年级专题练习）正八边形的中心角的度数是（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】B【分析】根据正多边形的中心角的公式，即可求解．【详解】正多边形的中心角的公式：正八边形的中心角的度数为故选B．【点睛】本题主要考查了正多边形的知识，牢记中心角的求法解题的关键．12．（2022秋·广西河池·九年级统考期末）如图，已知正五边形内接于，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正边形的中心角的计算公式（为正整数，）解答即可．【详解】解：∵正五边形内接于，∴正五边形的中心角．故选：C．【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正边形的中心角的计算公式（为正整数，）是解题的关键．13．（2023·四川成都·模拟预测）如图，多边形是的内接正n边形，已知的半径为r，的度数为，点O到的距离为d，的面积为S．下面三个推断中．①当n变化时，随n的变化而变化，与n满足的函数关系是反比例函数关系；②若为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系；③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系．其中正确的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】（1）正n边形每条边对应的圆心角度数为，因此为反比例函数关系；（2）d与r是的邻边和斜边，因此是化简后即正比例函数关系；（3）三角形面积为×底×高，底为，高为，直接代入即可．【详解】①，所以与n满足的函数关系是反比例函数关系，正确；②，所以，所以d与r满足的函数关系是正比例函数关系，正确；③，所以S与r满足的函数关系是二次函数关系，正确．故选D【点睛】本题考查正多边形、圆心角的度数、弦心距、三角形的面积之间的函数关系，解题的关键是读懂题意，求出其中的函数关系式．14．（2023秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第七中学校考期末）在圆内接正六边形中，正六边形的边长为，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】根据中心角的定义可得这个正六边形的中心角，如图（见解析），过圆心作于点，先根据等边三角形的判定可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再利用勾股定理即可得．【详解】解：这个正六边形的中心角为，如图，过圆心作于点，，是等边三角形，，，即这个正六边形的边心距为，故选：D．【点睛】本题考查了正多边形的中心角和边心距、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正多边形的中心角和边心距的概念是解题关键．15．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（

）A．5 B．10 C．12 D．20【答案】B【分析】作正多边形的外接圆，连接AO，BO，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解．【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，连接AO，BO，∴，∴这个正多边形的边数为=10．故选：B．【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．考点4构造特殊三角形解正多边形在解决有关正六边形或正方形的计算16．（2023春·天津和平·九年级专题练习）如图，六边形是正六边形，点是边的中点，，分别与交于点，，则的值为（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】设正六边形的边长为a，MN是△PCD的中位线，求出△PBM和△PCD的面积即可．【详解】解：设正六边形的边长为a，连接AC交BE于H点，如下图所示：正六边形六边均相等，且每个内角为120°，∴△ABC为30°，30°，120°等腰三角形，∴BE⊥AC，且，且，∵AF∥CD，P为AF上一点，∴，MN为△PCD的中位线，∴，由正六边形的对称性可知：，∴，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查正多边形与圆，三角形的面积，三角形的中位线定理，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．17．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，有一张菱形纸片，分别把沿着两条平行于的直线进行对折，得到一个六边形，如果这个六边形是正六边形，则菱形的对角线长的比（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设AC与BD相于O，EF与AC相较于Q，根据正六边形的性质，可得，，根据菱形的性质可得，，根据直角三角形的性质可得，，可求得OE=2EQ，可得，根据对折的性质得，AC=4OQ，据此即可解答．【详解】解：如图：设AC与BD相交于O，EF与AC相交于Q，∵六边形BGHDFE是正六边形，∴，，∵四边形ABCD是菱形，∴，，∵，∴，∴，，∴OE=2EQ，在中，，∴，由对折的性质得，AC=4OQ，，故选：C．【点睛】本题考查了正六边形的性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键．18．（2023·河北·模拟预测）周长相等的正方形与正六边形的面积分别为、，和的关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设正六边形的边长为a，根据周长相等，计算正方形的边长，后计算面积即可．【详解】解：设正六边形的边长为a，如图1所示：四边形是正方形，∴，∴．如图2，过O作，G为垂足．∵六边形是正六边形，∴，∵，∴是等边三角形，∴，，∴，∴∴．故选D．【点睛】本题考查了正多边形和圆的性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，再根据正方形、正六边形的周长都相等设出其边长，求出其边长之间的关系，最后再分别求出其面积进行求解即可．19．（2023秋·湖北十堰·九年级统考期末）如图，和分别为内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（

）．A．六 B．八 C．十 D．十二【答案】D【分析】分别求出∠AOB和∠COB，从而得到∠AOC，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接OA，OC，OB，∵AB和BC分别是正方形和正六边形的一边，∴,，∴，∴，故选D．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形边数与中心角的关系是解题的关键．20．（2022春·九年级课时练习）如图，点，，在上，若，，分别是内接正三角形．正方形，正边形的一边，则（）A．9 B．10 C．12 D．15【答案】C【分析】分别连接OB、OA、OC，根据正多边形的中心角=，可分别求得∠BOC、∠AOB的度数，从而可得∠AOC的度数，再根据正多边形的中心角=，可求得边数n．【详解】分别连接OB、OA、OC，如图所示∵是内接正三角形的一边∴∠BOC=同理，可得：∠AOB=90°∴∠AOC=∠BOC−∠AOB=30°∵是正边形的一边∴∴n=12故选：C．【点睛】本题考查了正多边形与圆，正多边形的中心角=，掌握这一知识是解决本题的关键．考点5正多边形的外接圆的有关计算方法21．（2023秋·江苏·九年级专题练习）若一个正六边形的边长为2，则其外接圆与内切圆的半径分别为（

）A．2，1 B．2， C．，2 D．，3【答案】B【分析】从内切圆的圆心和外接圆的圆心向三角形的边引垂线，构建直角三角形，解直角三角形即可．【详解】解：设内切圆的圆心为，连接，，过作于．∵正六边形的边长为，∴正六边形的半径是，则外接圆的半径，∵内切圆的半径是正六边形的边心距，∵，，则是等边三角形，，∴∴∴，故选B．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．22．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是正方形的外接圆，若的半径为2，则正方形的边长为（）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】连接、，先求得，再根据勾股定理求出的长，即得到正方形的边长，得到问题的答案．【详解】解：连接、，是正方形的外接圆，，的半径为2，，，正方形的边长为．故选：D．【点睛】本题主要考查正多边形和圆、正多边形的中心角、勾股定理，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．23．（2021秋·浙江衢州·九年级校考期中）如图，边长为4的正三角形外接圆，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分面积为（）A．12+2π B．4+π C．24+2π D．12+14π【答案】A【分析】正三角形的面积加上三个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果．【详解】解：正三角形的面积为：，三个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：，所以阴影部分的面积为：，故选：【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．24．（2020秋·福建厦门·九年级校考阶段练习）如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，⊙O的半径长为a，下列说法中不正确的是（）A．正六边形ABCDEF的中心角等于60°B．正六边形ABCDEF的周长等于6aC．正六边形ABCDEF的边心距等于D．正六边形ABCDEF的面积等于3【答案】D【分析】正多边形每一边对应的圆心角等于中心角，判断出△OAB为正三角形，即可求得周长为6a，边心距即为正△OAB的高，正六边形的面积为6个正三角形的面积之和，计算出结果依次判断即可．【详解】∵⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，∴正六边形ABCDEF的中心角等于，故A正确；∵⊙O的半径长为a，正六边形ABCDEF的中心角等于60°，∴△OAB为正三角形，∴正六边形的边长为a，∴正六边形ABCDEF的周长等于6a，故B正确；∵正六边形ABCDEF的边心距等于，故C正确，∵正六边形ABCDEF的面积等于六个正三角形OAB的面积，∴，故D错误；故选：D．【点睛】本题主要考查的是正多边形外接圆的性质，熟练掌握圆心角的计算，以及正三角形的性质是解答本题的关键．25．（2022·天津和平·统考一模）如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为（

）A．∶3 B．∶1 C．∶ D．1∶【答案】A【分析】计算出在半径为R的圆中，内接正方形和内接正六边形的边长即可求出．【详解】解：设此圆的半径为R，则它的内接正方形的边长为R，它的内接正六边形的边长为R，内接正方形和内接正六边形的周长比为：4R：6R＝∶3．故选：A．【点睛】本题考查了正多边形和圆，找出内接正方形与内接正六边形的边长关系，是解决问题的关键．考点6画圆内接正多边形方法26．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法）【答案】见解析【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形．【详解】解：如图，正方形ABCD为所作．∵BD垂直平分AC，AC为的直径，∴BD为的直径，∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC，∴四边形ABCD是的内接正方形．【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定．27．（2023·江苏·九年级假期作业）请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：⊙O，点A在圆上．求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD．【答案】见解析【分析】作直径AC，过点O作BD⊥AC交⊙O于B，D，连接AB，BC，CD，AD即可．【详解】如图，四边形ABCD即为所求作．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．28．（2022·广东深圳·统考一模）如图，已知，点在圆上，请以为一顶点作圆内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见详解【分析】先作直径AC，再过O点作AC的垂线交⊙O于B、D，则四边形ABCD为正方形．【详解】解：如图，正方形ABCD为所作．【点睛】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．29．（2021秋·全国