2022-2023学年高三数学新高考一轮复习专题数列的综合应用强化训练强化训练含解析

Page1数列的综合应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）已知数列{an}满足an=n+，则数列{an}的最小值为（）A. B. C.8 D.122022年北京冬奥会开幕式精彩纷呈，其中雪花造型惊艳全球。有一种雪花的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边。反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线。设原正三角形（图①）的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，则（

）A. B. C. D.已知数列的前n项和为，，设，，则的最小值为（

）A. B. C. D.数列满足，若对，都有成立，则最小的整数是（）A. B. C. D.二、多选题（本大题共1小题，共5.0分。在每小题有多项符合题目要求）设为数列的前项和，若等于一个非零常数，则称数列为“和等比数列”.下列命题正确的是（

）A.等差数列可能为“和等比数列”

B.等比数列可能为“和等比数列”

C.既不是等差也不是等比的数列不可能为“和等比数列”

D.若正项数列是公比为的等比数列，且数列是“和等比数列”，则三、填空题（本大题共5小题，共25.0分）数列的前n项和为，，且满足，若对于任意，都有成立，则实数的最小值是

．数列{an}的前n项和为Sn，定义{an}的“优值”为Hn=，现已知{an}的“优值”Hn=2n，则an=

，Sn=

．等差数列{an}的前n项和为对一切恒成立，则的取值范围为

．定义向量列，，，…，从第二项开始，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量（即坐标都是常数的向量）即=+（n≥2，且n∈N*），其中为常向量，则称这个向量列{}为等差向量列．这个常向量叫做等差向量列的公差向量，且向量列{}的前n项和Sn=++…+．已知等差向量列{}满足=（1，1），+=（6，10），则向量列{}的前n项和Sn=

．已知数列的前项和为，则不等式成立的正整数的最大值为

．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(本小题12.0分)已知公差大于1的等差数列{an}中，a2＝3，且a1+1，a3-1，a6-3成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为Sn，求证：．(本小题12.0分)已知数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为．若对恒成立，求正整数的最大值．(本小题12.0分)

已知等差数列{an}，等比数列{bn}，a4=b1=2，a5=3（a4-a3），b4=4（b3-b2）.

（1）求{an}，{bn}的通项公式；

（2）记Sn为数列{an}的前n项和，试比较an+1•an与2Sn+1的大小；

（3）∀n∈，cn=，求数列{cn}的前2n项和.(本小题12.0分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，，设bn=an-2．

（Ⅰ）证明：数列{bn}是等比数列；

（Ⅱ）设，求{cn}的前n项和Tn，若对于任意n∈N*，λ≥Tn恒成立，求λ的取值范围．(本小题12.0分)设公差不为零的等差数列{an}满足a3＝-4，且a2，a1，a3成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}的前n项和为Sn，且满足，求使得成立的最小正整数n．(本小题12.0分)

在①a3+a5=14，②S4=28，③a8是a5与a13的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.

问题：已知{an}为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，{bn}为等比数列，其前n项和Tn=2n+λ，λ为常数，a1=b1，___.

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）令cn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，求c1+c2+c3+…+c100的值.

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】ABD

6.【答案】2

7.【答案】n+1

​​​​​​​

8.【答案】

9.【答案】（，n2）

10.【答案】9

11.【答案】解:（Ⅰ）设{an}的公差为d(d>1),

​​​​​​​由题可得=(+1)(-3),=3,

得=(-d+1)(+4d-3)即=(4-d)4d,

解得d=2或d=,

d>1,d=2,=+(n-2)d=2n-1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得==(-),

Sn=(1-+-+-)=(1-),

n,>0,1-<1,=(1-)<.

n,2n+13,0<≤,≤1-<1,≤​​​​​​​(1-)<,

≤Sn<.

12.【答案】解：(1)因为数列满足：an＋1－2an＝0，且，

所以an＋1＝2an，所以{an}是公比为q＝2的等比数列，

又a3＝8，即4a1＝8，解得a1＝2，

所以an＝2n.

(2)bn＝＝，

Tn＝＋＋＋…＋，

Tn＝＋＋＋…＋，

上面两式相减可得：

Tn＝＋＋＋…＋－＝－，

化简可得Tn＝2－，

因为Tn＋1－Tn＝2－－2＋＝>0，

所以递增，T1最小，且T1=，所以2×＞m－2021，

解得m＜2022，

​​​​​​​则m的最大值为2021.

13.【答案】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，

由题意可得，解得a1=-1，d=1，

故an=n-2；

由b1q3=4b1（q2-q），则q2-4q+4=0，

所以q=2，故bn=2n；

（2）由（1）可得an+1•an=（n-2）（n-1）=n2-3n+2，

又2Sn+1=（n+1）（n-2）=n2-n-2，

an+1•an-2Sn+1=4-2n，

当n≤2时，an+1•an≥2Sn+1；

当n≥3时，an+1•an＜2Sn+1．

（3）当n为奇数时，cn=；

设=++…+，①

=++…++，②

①-②可得=++…+-=-

=--,

所以=-，

当n为偶数时，cn=-==-，

设=-+-+…+==．

因此=-+．

所以，数列{cn}的前2n项和为-+．

14.【答案】解：（Ⅰ）证明：，

当n=1时，a1=S1=a2-6，a2=14，

当n≥2，n∈N*时，Sn=an+1+2n-8，Sn-1=an+2n-10，

相减可得an+1=2an-2，即an+1-2=2（an-2），即，

又，可得数列{bn}是首项b1=6，公比为2的等比数列；

（Ⅱ）由（1）知，即，

所以=，，

∴，

当n为偶数时，是单调递减的，

此时当n=2时，Tn取最大值，则．

当n为奇数时，是单调递增的，此时，则．

综上，λ的取值范围是．

15.【答案】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，

因为a2，a1，a3成等比数列，

所以，

即，

整理得3a1+2d＝0，①

又因为a3＝a1+2d＝-4，②

所以联立①②，

​​​​​​​解得a1＝2，d＝-3，

所以an＝2-3(n-1)＝-3n+5；

（2）由（1）可得an+1＝5-3(n+1)＝-3n+2，an+2＝5-3(n+2)＝-3n-1，

，

所以，

令，得3n2-20n-6≥0，解得（舍负），

由且n∈N*，得能使得成立的最小正整数为7．

16.【答案】解：选①a3+a5=14，

（1）设{an}的公差为d，d不为零，{bn}的公比为q，

由已知可得b2=T2-T1=2，b3=T3-T2=4，

所以q==2，

则bn=b2qn-2=2×2n-2=2n-1，

故a1=b1=1，

则1+2d+1+4d=14，解得d=2，

所以an=1+2（n-1）=2n-1；

（2）由cn=[lgan]，

则c1=c2=c3=c4=c5=0，

c6=c7=…=c50=1，

c51=c52=…=c100=2，

所以c1+c2+c3+…+c100=1×45+2×50=145．

选②S4=28．

（1）设{an}的公差为d，d不为零，{bn}的公比为q，

由已知可得b2=T2-T1=2，b3=T3-T2=4，

所以q==2，

则bn=b2qn-2=2×2n-2=2n-1，

故a1=b1=1，

由S4=28，可得4×1+×d=28，

解得d=4，

所以an=4n-3；

（2）由cn=[lgan]，

则c1=c2=c3=0，c4=c5=…=c25=1，

c26=c27=…=c100=2，

所以c1+c2+c3+…+c100=1×22+2×75=172．

选③a8是a5与a13的等比中项，

（1）设{an}的公差为d，d不为零，{bn}的公比为q，

由已知可得b2=T2-T1=2，b3=T3-T2=4，

所以q==2，

则bn=b2qn-2=2×2n-2=2n-1，