2023-2024学年人教A版必修第二册 7-1-2复数的几何意义 学案

7.1.2复数的几何意义【学习目标】(1)理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．(2)掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念．(3)掌握用向量的模来表示复数的模的方法．题型1复数与复平面内点的关系【问题探究1】根据复数相等的定义，任何一个复数z＝a＋bi都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定；反之也对，由此你能想到复数的几何表示方法吗？例1已知复数z＝(m2－7m＋10)＋(m2－5m＋6)i，i为虚数单位，m∈R.(1)若在复平面上表示复数z的点位于第二象限，求m的取值范围；(2)若在复平面上表示复数z的点位于直线2x－y－14＝0上，求m的值．题后师说利用复数与点的对应解题的一般步骤跟踪训练1已知复数z＝(m＋2)＋(m＋1)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是()A．(－2，－1)B．(－∞，－2)∪C．(－1，＋∞)D．(－∞，－2)题型2复数与复平面内向量的关系【问题探究2】平面向量可以用有序数对来表示，借助有序数对能建立复数与平面向量的联系吗？例2在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数．学霸笔记：(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．跟踪训练2已知复平面内的点A，B分别对应的复数为z1＝2＋i和z2＝－1－2i，则向量BA对应的复数为()A．1－iB．－1－iC．－3－3iD．3＋3i题型3复数的模【问题探究3】我们知道向量的长度叫向量的模，z＝a＋bi(a，b∈R)与向量OZ一一对应，那么|z|如何表示？例3已知复数z1＝3＋i，z2＝－12(1)求|z1|及|z2|并比较大小；(2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？题后师说解决与复数的模有关问题的策略跟踪训练3已知复数z满足2≤|z|≤22，则在复平面中z对应的点所构成的图形的面积为________．题型4共轭复数例4已知复数z满足z＝3＋4i，则共轭复数z在复平面内对应的点在()A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限学霸笔记：与共轭复数有关问题的解决方法(1)若复数z的代数形式已知，根据共轭复数的定义表示出z，再进行复数的四则运算；(2)若复数z的代数形式未知，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，代入所给等式或方程，利用复数相等的充要条件，转化为解方程(组)问题．跟踪训练4已知a，b∈R，若a＋4i与3－bi互为共轭复数，则|a＋bi|＝()A．8B．7C．6D．5随堂练习1．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数为－1－2i，若点A关于实轴的对称点为B，则向量OB对应的复数为()A．－2－iB．2＋iC．1＋2iD．－1＋2i3．已知a∈R，若有|a－i|＝5(i为虚数单位)，则a＝()A．1B．－2C．±2D．±14．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________．课堂小结1.复数与复平面内的点、向量之间的一一对应关系．2．复数的模及其几何意义．3．共轭复数．7．1.2复数的几何意义问题探究1提示：所以复数集可以与平面直角坐标系中的点集建立一一对应关系，因此可以用点表示复数．例1解析：(1)复数z的点位于第二象限则m2-5m+6>0(2)表示复数z的点位于直线2x－y－14＝0上，则2(m2－7m＋10)－(m2－5m＋6)－14＝0，解得m＝0或m＝9.跟踪训练1解析：因为复数z＝(m＋2)＋(m＋1)i在复平面内对应的点在第三象限，所以m+2<0，m+1<0，解得所以实数m的取值范围为(－∞，－2)．故选D.答案：D问题探究2提示：能．例2解析：由题意得OA＝(2，3)，OB＝(3，2)，OC＝(－2，－3)．设OD＝(x，y)，则AD＝(x－2，y－3)，BC＝(－5，－5)．由题意知，AD＝BC，所以x-2=故点D对应的复数为－3－2i.跟踪训练2解析：由题可得A(2，1)，B(－1，－2)，故BA＝(3，3)，则向量BA对应的复数为3＋3i.故选D.答案：D问题探究3提示：|z|＝|OZ|＝|a＋bi|＝a2例3解析：(1)∵z1＝3＋i，z2＝－12+∴|z1|＝32+12＝2，|z2|＝∴z1>z(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2，根据复数模的几何意义可知|z|表示复数z对应的点到原点的距离，所以|z|≥1表示|z|＝1所表示的圆及外部所有点组成的集合，|z|≤2表示|z|＝2所表示的圆及内部所有点组成的集合，所以复数z对应的点Z的轨迹是以原点O为圆心，以1和2为半径的圆之间的部分(包括两边界)．跟踪训练3解析：根据题意可知复数z满足2≤|z|≤22，则由复数模的几何意义知z对应的点所构成的图形为半径为2和22的两个同心圆所围成的圆环，则其面积为π[(22)2－22]＝4π.答案：4π例4解析：由z＝3＋4i得z＝3－4i，其在复平面内对应的点为(3，－4)，在第四象限，故选A.答案：A跟踪训练4解析：a＋4i与3－bi互为共轭复数，∴a＝3，b＝4，则有|a＋bi|＝|3＋4i|＝32+42答案：D[随堂练习]1．解析：z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限．故选C.答案：C2．解析：由题意可知，点A的坐