2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册第4章数列4.3等比数列4.3.2等比数列的前n项和公式第1课时等比数列的前n项和公式课件

4.3等比数列4.3.2等比数列的前n项和公式第1课时等比数列的前n项和公式1．借助教材实例了解等比数列前n项和公式的推导过程．2．借助教材掌握a1，an，q，n，Sn的关系．3．掌握等比数列的前n项和公式、性质及其应用．1．掌握等比数列的前n项和公式与应用．(逻辑推理、数学运算)2．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题．(逻辑推理、数学运算)等比数列的前n项和公式

知识点

1na1想一想：在运用等比数列前n项和公式求和时，要注意什么？提示：当公比未知时，一定要对公比进行分类讨论．练一练：已知数列{an}是等比数列，若a1＝1，q＝2，Sn＝31，则n等于(

)A．4 B．5C．6 D．7B等比数列前n项和公式与其公比q的关系

知识点

2则数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是函数y＝－Aqx＋A图象上的一群孤立的点．由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．(2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，则数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上的一群孤立的点．练一练：等比数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数y＝3x＋1＋m的图象上，则m＝_______.[解析]

∵点(n，Sn)在函数y＝3x＋1＋m的图象上，∴Sn＝3n＋1＋m＝3×3n＋m.又Sn＝－Aqn＋A，比较可知m＝－3.－3等比数列前n项和的性质

知识点

3(1)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm.(3){an}是公比不为－1的等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.练一练：已知等比数列{an}的前n项和Sn满足S5＝10，S10＝40，则S20＝(

)A．130 B．160C．390 D．400[解析]

因为等比数列{an}的前n项和Sn满足S5＝10，S10＝40，所以S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15依然成等比数列，则S5(S15－S10)＝(S10－S5)2，即10(S15－40)＝(40－10)2，解得S15＝130，则S5(S20－S15)＝(S10－S5)(S15－S10)，即10(S20－130)＝30×90，解得S20＝400，故选D.D

在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn.题型探究题型一与等比数列前n项和有关的基本运算典例1[规律方法]

等比数列前n项和运算的技巧(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换．提醒：两式相除是解决等比数列基本量运算常用的运算技巧．对点训练❶B题型二等比数列的前n项和的性质的应用

(1)(2023·云南昆明高三模拟)已知等比数列{an}的各项都是正数，Sn为其前n项和，若S4＝8，S8＝24，则S16＝(

)A．40 B．56C．72 D．120(2)等比数列{an}共有2n项，所有项数的和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，求公比q的值．典例2D[解析]

(1)因为S4＝8，S8－S4＝16，S12－S8，S16－S12成等比数列，所以S12－S8＝32，S16－S12＝64，S16＝S4＋(S8－S4)＋(S12－S8)＋(S16－S12)＝8＋16＋32＋64＝120.(2)由题意知[规律方法]

等比数列前n项和的性质(1){an}是公比不为－1的等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.

(1)已知等比数列{an}，an>0，S3＝6，a7＋a8＋a9＝24，求S99的值．(2)一个等比数列的首项为1，项数为偶数，其中奇数项的和为85，偶数项的和为170，求该数列的公比和项数．对点训练❷(2)设该数列有2n项，则即22n＝256＝28，∴2n＝8，即该数列的公比为2，项数为8.题型三应用问题

某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于_____.[解析]

由题可知，每天植树棵数构成首项为2，公比为2的等比数列，所以有an＝2n，Sn＝2n＋1－2，令Sn≥100，满足条件的最小的整数n＝6.[规律方法]

解决实际问题，关键是从题中抽象出数学模型，必须写清等比数列{an}的由来．典例36

(2023·汕尾高二检测)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”．马主曰：“我马食半牛”．今欲衰偿之，问各出几何