高中数学解题八个思维模式和十个思维策略

高中数学思维讲义，蒋老师培训班专用4/6高中数学解题八种思维模式和十种思维策略引言“数学是思维的体操”“数学教学是数学(思维)活动的教学。”学习数学应该看成是学习数学思维过程以及数学思维结果这二者的综合，因而可以说数学思维是动的数学，而数学知识本身是静的数学，这二者是辩证的统一。作为思维载体的数学语言简练准确和数学形式具有符号化、抽象化、结构化倾向。高中数学思维中的重要向题它可以包括:高中数学思维的基本形式高中数学思维的一般方法高中数学中的重要思维模式高中数学解题常用的数学思维策略高中数学非逻辑思维(包括形象思维、直觉思维)问题研究;高中数学思维的指向性(如定向思维、逆向思维、集中思维和发散思维等)研究;高中数学思维能力评估：广阔性、深刻性、灵活性、敏捷性、批判性、创造性高中数学思维的基本形式从思维科学的角度分析，作为理性认识的人的个体思维题可以分成三种：逻辑思维、形象思维、直觉思维一数学逻辑思维的基本形式1、概念是逻辑思维的最基本的思维形式，数学概念间的逻辑关系，a同一关系b从属关系c交叉关系以及d对立关系e矛盾关系PAGEXXX2、判断是逻辑思维在概念基础上的发展，它表现为对概念的性质或关系有所肯定或否定，是认识概念间联系的思维形式。3、推理是从一个或几个已知判断推出另一个新判断的思维形式，是对判断间的逻辑关系的认识。二数学形象思维的基本形式1图形表象是与外部几何图形的形状相一致的脑中示意图，2图式表象是与外部数学式子的结初关系相一致的模式形象。3形象识别直感是用数学表象这个类象（普遍形象）的特征去比较数学对象的个象，根据形象特征整合的相似性来判别个象是否与类象同质的思维形式。4模式补形直感是利用主体已在头脑中建构的数学表象模式PAGEXXX，对具有部分特征相同的数学对象进行表象补形，实施整合的思维形式。5形象相似直感是以形象识别直感和模式补形直感为基础基础的复合直感。6象质转换直感是利用数学表象的变化或差异来判别数学在对象的质变或质异的形象特征判断。7图形想象是以空间形象直感为基础的对数学图形表象的加工与改造。8图式想象是以数学直感为基础的对数学图式表象的加工与改造。9关于联想和猜想，它们既是数学形象思维中想象推理不同表现形式，也是数学形象思维的重要方法。三数学直觉思维的基本形式1、直觉是运用有关知识组块和形象直感对当前问题进敏锐的分析、推理，并能迅速发现解决向题的方向或途径的思维形式。2。灵感（或顿悟）是直觉思维的另一种形式。直觉思维是一种敏锐、快速的综合思维，既需要知识组块和逻辑推理的支持，也需形象、经验和似真推理的推动。意识又可分为显意识与潜意识。直感是显意识，而灵感是潜意识。思维的基本规律一反映同一律：等值变形，等价变换二思维相似律：同中辨异，异中求同数学思维的特性一数学思维的概括性数学思维能揭示事物之间抽象的形式结构和数量关系这些本质特征和规律，能够把握一类事物共有的数学属性。数学思维的概括性与数学知识的抽象性是互为表里、互为因果的。二数学思维的问题性数学思维的问题性是与数学知识的问题性相联结的，定理、证明、概念、定义、理论、公式、方法中的队任何一个都不是数学的心脏，只有问题是数学的心脏。数学解题的思维过程是数学问题的变换过程，数学问题的推广、引申和应用过程，是新的数学问题发现和解决的过程，也是数学思维的深化过程和数学知识的发展过程。三数学思维的相似性数学思维的相似性是思维相似律在数学思维活动中的反映。解决数学问题的根本思想在于寻求客观事物的数学关系和结构的样式，从已解决的问题中概括出思维模式，再用模式去处理类似问题。并进而形成新模式，构成相似系列，即各种概念、命题与方法的相似链。数学思维的材料与结果数学思维的材料就有外部材料与内部材料的区分外部材料是指数学思维的对象，即现实世界中存在的数量关系、空间形式以及由此引申发展的各种结构关系。例如各种具体的思维目标：数学的概念、命题、定理、公式、法则，数学问题初始状态中的图形、符号和语言文字等。内部材料是指思维主体已有的数学知识和经验，是储存于人脑的认知结构中的信息块。其中数学知识信息块由一些明晰的数学概念和关系结构组成，而数学经验信息块是一种带有模糊性质的思维“相似块”。数学思维能力的评价标准广阔性：发散思维深刻性：收敛思维—集中思维和分析思维灵活性：辨证思维，进退互用，正难则反，倒顺相通敏捷性：直觉思维，转化化归，识别模式，反应速度，熟练程度独创性：创新思维—直觉思维和发散思维中，解题方法新颖独特。 批判性：独立思考，善于提问，总结回顾，调控思维进程等六个方面，是高中数学思维能力的评价标准以简驭繁。数学知识的发展是由简单到复杂，繁衍发展以至推演成为各门数学学科的。解题时的思维反应主要是学会浓缩观察数学形式结构，从总体的粗线条上把握题目的数学图式；或者将题中有关的概念或方法转化为较简的情形入手解决。数学中的换元法、代换法、变换法、递推法、母函数法及解方程中的消元、降次方法等就是体现这个策略的解题方法进退互用。‘先足够地退到我们所容易看清楚的地方，认透了钻深了，然后再上去（华罗庚语）。主要方式有：从一般向特殊后退；从抽象向具体后退，从高维向低维后退和从较强命题向较弱命题后退。数学归纳法、经验归纳法、类比法、递推法、降维法、放缩法等数学方法或解题方法就是进退互用的辩证思维在具体方法中的一些总结。数形迁移。在解决数学问题时，若把一个命题的条件或结论给出的数量关系式称为式结构，而把它在几何形态上的表现（图像或图形等）称为形结构，数（或式）和形之间的相互迁移、转化的表现形态主要有：A、PAGEXXX由形结构迁移至式结构，解析几何是体现这种研究的典范。B、由式结构迁移至形结构，这就是通常所说的数形联想或几何方法，可使求解过程显得简洁直观。C、式结构或部分式结构之间的迁移，这是等价的式结构间的相互转换，常能发现隐含条件和认识各种变式间的本质联系与统一性，或者通过局部类比或相似联想的诱发解题线索以解决问题。D、形结构或部分形结构之间的迁移，几何变换就是利用了某种不变性来实现形与形之间的沟通。如类比接法、关系映射反演原则、模拟法、坐标法、交集法、抽屉原则、几何变换法、构造法、待定系数法等数学方法和解题方法均在一定意义上属于这个思想范畴。化生为熟。人们认识事物的过程是一个渐进的逐步深化的过程，往往会呈现相对的阶段性，在数学中就是所研究的问题总会有较为熟悉和比较生疏之分。这样，在认识一个新事物或解决一个新问题时，往往会用已认识的事物性质和问题特征去比较对照新事物和新问题，设法将新问题的分析研究纳入到已有的认识结构或模式中来。化生为熟的目的是遇新思陈，推陈出新，起到用同求异，化难为易的作用。数学解题方法中的变更问题法或化归法、模式法、放缩法、构造法、类比法等都含有化生为熟的指导思想。正难则反。解决数学间题时，一般总是先从正面入手按照习惯的思维途径去进行思考，这就是正向思维。如果这种思维方式对于特定的数学问题形成了一种较为强烈的意识，则就是一种定向思维。人们常常借助于一些具体的模式和方法先加强这种思维定势，而使许多数学问题得到解决。但是往往也会遇到从正面入手较繁或较难的情况，或出现一题些逻辑上的困境。这时，就要从辩证思维的观点出发，克服思维定势的消极面，从问题或其中的某个方面的反面入手去进行思考，采取顺繁则逆、正难则反的思维策略。就是说，当用顺证不易解决时就考虑用反证法或逆推法；当正向思维不能奏效时就采用逆向思维去探索；当推理中出现逻辑矛盾或缺陷时，就尝试从反面提出假设，通过背向思维进行论证。倒顺相通。解数学题往往会用顺推，从条件出发之推出某些关系或性质去逼近结论，或者用逆求，由结论去寻找使它成立的充分条件，直至追溯到已知事项，但是最有效和简捷的解题途径是这两者的有机结合。倒顺相通策略的运用有两种表现形式。一种是侧重于整体性的思考，即抓住两头，盯着目标，寻求压缩中间环节的解题捷径；一种是侧重于联通性的思考，即两头夹击，沟通中间，达到目标的总体思路，也可以在解题过程中的局部加以使用。分析综合法就在此列。动静转换。动和静（数学中常表述为定）是事物状态表现的两个侧面。在数学中，一方面动和静在一个参照系统中是相对的，可以转化的。另一方面，对于同一事物可以追寻形成静止状态以前的运动过程；或者反过来，从运动表现中推出事物将会达到的相对静止局面。因此，在解决数学问题时，可用动的观点来处理静的数量和形态，即以动求静，也可以用静的方法来处理运动过程和事物，即以静求动，数学中的变换法，局部固定法，几何作图中的轨迹相交法等就是动静转换策略的具体运用。分合相辅。从辩证思维的角度观察，任何事物的构成都具有“一中有多、多中有一”的性质，从而任何事物都是可以分割或分解的·反映在数学思维策略上，就是在解题过程中可以将求解问题进行分割或分解，转化成一些较小的且易于解决的小问题，再通过相加或合成，使原问题在整体上得到解决，这就是化一为多，以分求合的思想方法。有时也可以反过来，把求解问题纳入到较大的合成问题中，寓分于合，以合求分，使原问题迎刃而解。因此，分与合相辅相成、互寓互用、转化统一，是辩证思维的重要策略之一。分合相辅的主要表现形式是：综合与单一间的分合；整体与部分间的分合；无限与有限间的分合等。数学中微积分方法的思想就是思维中的一与多、分与合、有限与无限及离散与连续间的辩证关系的体现。数学解题方法中的枚举法、叠加法、中途点法，几何中的形体割补法，代数与三角中的拆项、添项法等都是分合相辅策略的具体运用。引参求变。数学中的常量和变量是相互依存，并在一定条件下可以相互转化的。而参数（或参变量）是介于常量和变量之间的具有中间性质的量。二参变量的本质虽然属于变量，但又可把它看成常数。正是由于参数的这种二重性和灵活性，在解决数学问题时，引进了参数就能表现出较大的能动作用和活力。引参求变的思维策略是将求解问题转化为参数问题加以解决，它是解决各种数学向题的有力武器（通常提到参数就局限于解析几何中的参数方程的理解是非常片面的）。而数学中的待定系数法、参数过渡法与参数方程法等都是体现引参求变思想的具体解题方法。以美启真。教学美的含义是丰富的，数学概念的简单性、统一性，结构系统的协调性、对称性，数学命题和数学模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学中的奇异性等都是美的具体内容，上面的论述归结起来，可以认为数学美的主要内容有五个方面，即简单性、对称性、相似性、和谐性（或统一性）与奇异性。‘以美启真“是指用美的思想去开启数学真理，用美的方法去发现数学规律、解决数学问题。追求简单性，探求解题捷径。“多数学问题，虽然其表现形式地可能较为复杂，但其本质总是存在简单的一面。因此，如果能用简区单的观点、简化的方法对间题进行整体处理或实施分解、变换、降性维、减元等转化的策略，则往往能找到解题的简易途径。造成对称性，简化解题方法。有些问题用对称的眼光去观察，通过形象的补形造成对称，或者用对称变换调整元素关系，则这样问题就可得到简化。运用相似性，引申发散问题。由于相似的因素、相似的条件统能够产生相似的关系或相似的结果。因此，在数学解题中常可利工程用相似性的启示，找到正确的解题思路，并能运用联想、类比、猜想等方法推广原命题，发现新知识，形成问题链。利用和谐性，变更化归问题。解数学问题的关键在于问题形式的变换与化归，而变换化归的依据在于各种形式间在其本质上的和谐与统一。因此，利用和