电工电子学第2章：正弦交流电路

Chapter21第2章正弦交流电路Chapter22主要内容正弦交流电的基本概念正弦交流电路的相量模型简单正弦交流电路的分析功率与功率因数的提高电路的谐振三相正弦交流电路Chapter232.1正弦交流电的基本概念

随时间按正弦规律变化的电压、电流称为正弦交流电。表达式为：

正弦交流电路：是指含有正弦电源（激励）而且电路中各部分所产生的电压和电流（响应）均按正弦规律变化的电路。

正弦电压、电流是在通讯、无线电技术以及电力系统中最基本、最常见的激励信号。Chapter24

tIm：电流幅值（最大值）特征量:Im

T2.1.1正弦量ω：角频率

：初相角（或初相位）Chapter25频率f：正弦量在单位时间内变化的周数。单位：赫兹（Hz）。角频率ω：正弦量单位时间内变化的弧度数。单位：弧度/秒（rad/s）。周期与频率的关系：角频率与周期及频率的关系：

t

TIm周期T：正弦量完整变化一周所需要的时间。单位：秒（s）。1.频率与周期Chapter26*电网频率：中国50Hz

美国、日本60Hz小常识*有线通讯频率：300-5000Hz*无线通讯频率：

30kHz-3×104MHzChapter27相位：正弦量的角度

(ωt+

)初相：t=0时的相位相位差：两个同频率正弦量的相位之差，其值等于它们的初相之差。如相位差为：

t

TImiu

t2.相位、初相和相位差Chapter28两种正弦信号的相位关系

=

u

i=，

u与i反相位。

=

u

i=0，

u与i同相位；

=

u

i0，

u超前i

，或i滞后于u；

=

u

i=/2，

u与i

同相位正交；Chapter29

为确切反映正弦电量在电路转换能量方面的效应，在工程应用中常用有效值表示幅度。常用交流电表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效值。标准电压220V，是指供电电压的有效值。瞬时值，小写字母表示最大值，大写字母表示,下标加m。3.幅值与有效值Chapter210则有（有效值，均方根值）对正弦电量热效应相当有效值概念IRi(t)0≤t≤T＝有效值用大写字母表示。Chapter2112.1.2正弦量的相量表示法

一个正弦量由它的幅值、角频率和初相位三个要素所决定的。

在线性稳态交流电路中，激励与响应都是同频率的正弦量。

电路中待求的电压、电流只有幅值与初相位是未知的。分析正弦稳态电路的几个重要概念：Chapter212分析交流电路，要解决一系列相同频率的正弦量的计算问题。

已知，，求总电压u=？Chapter213

e

m01关于复数的概念a1a2|F|

F（1）复数表示①极坐标式②指数式③代数式④三角函数式满足关系：，j是虚数单位Chapter214（2）复数的四则运算；设：则：共轭复数：，乘法：模相乘，角相加。加减运算——采用代数形式除法：模相除，角相减。Chapter215例2.1解例2.2解Chapter216两个正弦量的相加2.正弦量的相量表示因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此，正弦量复数实际是变换的思想相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位Chapter217在复平面上画出相量的有向线段，称为相量图。相量只包含正弦量的有效值（或幅值）和初相位，因此相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。用相量表示正弦量前，一般要把正弦量化成标准形式，再用相量表示。标准形式：注意：+1+jChapter218再次强调在交流电路中，不同符号的含义u，iUm，ImU，I相量瞬时值最大值（幅值）有效值实数复数Chapter219例2.3判断下列各式是否正确？

Chapter220例2.4求：i=i1+i2解：ii2i130

60

相量图：已知：23.1

Chapter221求下列正弦量的相量，并作相量图。(1)对应的相量为660对应的相量为8-135(2)解：例2.5(3)对应的相量为6120Chapter2222.2正弦交流电路的相量模型复习电阻、电感和电容元件的伏安关系u=iR在直流电路中，电感短路，电容开路。在正弦交流电路中，电感、电容？Chapter2231.电阻元件+

u(t)i(t)R瞬时值表示相量表示+

Ru(t)=Ri(t)

u＝

i——VAR相量形式电压和电流频率相同，相位相同。Chapter2242.电感元件瞬时值表示相量表示Li+

ujωL+

设则——VAR相量形式电压和电流频率相同，电压比电流相位超前90°Chapter225

u＝

i+90ωXLω=0时XL=0直流短路

u＝

i+90电压超前电流90

通低频，阻高频感抗单位：Ω频率函数uLiLChapter2263.电容元件瞬时值表示相量表示设则——VAR相量形式电压和电流频率相同，电压比电流相位滞后90°Cui+

−

+

−

Chapter227

u＝

i90ω=0时XC→

直流开路

u＝

i90电压滞后电流90

通高频，阻低频容抗单位：Ω频率函数ωuCiCChapter2284电路的相量模型电路的相量模型就是将正弦稳态电路中的所有正弦量转换为相应的相量，R、L、C分别用其相量模型表示所得到的电路模型。+

RjωL+

+−+

+

RL+

+−+

CuiuRuLuC在电路的相量模型中，KCL、KVL还满足吗？Chapter229基尔霍夫定律的相量形式KCL：

正弦交流电路中，各支路电流、电压都是同频率的正弦量，所以可以用相量法将基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律转换为相量形式。

在正弦交流电路中，对任一结点，流出（或流入）该结点的各支路电流相量的代数和恒为零。KVL：

在正弦交流电路中，沿任一回路各支路电压相量的代数和恒等于零。Chapter230iAiBiCiA+iB+iC=0√√××Chapter231电路如图。已知电压表读数为：V1：30V；V2：60V。求：Us=？由电路可得相量模型例2.6解：为参考相量画相量图以Chapter232求：i。用相量模型分析。相量模型如图所示。例2.7在图示电路中，已知R=1

，L=1/2H，C=2/3F，解：Chapter233KVL方程为代入元件的VAR，得可解出：+1+j0Chapter234已知电路如图所示，正弦交流电路中电流表的读数分别为A1为5A，A2为20A，A3为25A。求（1）图中电流表A的读数；（2）如果维持A1的读数不变，而把电源的频率提高一倍，再求电流表A的读数。例2.8LRC1C2＋－usAA1A2A3Chapter235（1）图中电流表A的读数参考相量A1A2A3ALRC1C1C2＋－Chapter236（2)如果维持A1的读数不变，而把电源的频率提高一倍，再求电流表A的读数。分析：A1的读数不变，说明U不变；电源频率提高一倍，感抗增加一倍，容抗减少一半。A2的读数变为10A，A3的读数变为50A。A1A2A3ALRC1C1C2＋－Chapter2372.3简单正弦交流电路的分析一、阻抗+

RjXL+

+−-jXC+

Z在电源频率一定的情况下，由电路的参数决定。阻抗Chapter238阻抗的定义单位：Ω|Z|－阻抗模，表示电压和电流之间的大小关系

－阻抗角，表示电压和电流的相位关系阻抗Z是复数，但不表示正弦量，Z上不能加“•”。根据阻抗的定义，我们可以得到单一电阻、电感、电容元件对应的阻抗分别为熟记Chapter239RjXL+

求以下电路的阻抗Z。Rj

L+–Chapter240+

RjXL+

+−+

设

参考相量由KVL得Chapter241Rj

L+–由KCL得Chapter242

0

电压超前电流

，称为感性电路设以电流为参考相量

<0

电压滞后电流

，称为容性电路

=0

电压与电流同相，称为阻性电路Z＋－容性电路感性电路电路的性质？Chapter243Rj

LZ1Z2R=R1+R2R2R1复数运算实数运算Chapter244RR2R1Z1Z2Chapter245阻抗的串、并联等效计算同电阻的串、并联等效计算相似，不同的是阻抗的等效计算是复数运算。＋Z－Z1Z2＋－Z1Z2＋－结论Chapter246例2.9已知Z1=4+j10

，Z2=8-j6

，Z3=j8.33

，U=60V。求I1、I2、I3。Z1Z2＋－Z3解：Chapter247Z1Z2＋－Z3设电压为参考相量，则如何求I2、I3？Chapter248Z1Z2＋－Z3I1=3AI2=3AI3=3.6AChapter249已知电路电压、电流，求阻抗已知：求：Z、R、L或CRLC电路+

ui等效的R＝1Ω，XL＝1.73Ω解：感性例2.10Chapter250已知R、L、C值求阻抗1mH300Ω11μFZ设f＝500kHz，求Z。ω＝2

f＝3140×103rad/s例2.11解：

感性阻抗Chapter251指出下列结果是否正确,若有错,试将其改正。1.222j

||例2.12Rj

L+–++––Chapter252若则2.

uZi+–Chapter253二、正弦交流电路的分析1、据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图3、运用复数运算法则求解或相量图求解4、将结果变换成要求的形式解题步骤：Chapter254例2.13已知

求

解：(1)US单独作用。US是直流电源，L相当于短路，C相当于开路。画出等效电路Chapter255(2)iS单独作用，画出电路的相量模型电路。根据分流公式可得：(3)求Chapter256例2.14已知I1=I2=10A,U=100V与同相求：I、R、XC、XL为参考相量45°解ABR-jXCjXL+_+__+Chapter257例2.15R2+_Li1i2i3R1CuZ1Z2R2+_R1画出电路的相量模型求:各支路电流。已知：解Chapter258Z1Z2R2+_R1Chapter259方法一：电源变换解例2.16Z2Z1ZZ3Z2Z1

Z3Z+-Chapter260方法二：戴维南等效变换Z2Z1Z3求开路电压：求等效电阻：ZeqZ+-Chapter2612.4功率与功率因数的提高2.4.1正弦交流电路的功率１、瞬时功率No+

ui无源二端网络已知Chapter262２、有功功率P有功功率，又称为平均功率，是电路一个周期内消耗电能的平均速率。单位：瓦；W称为功率因数。No+

ui

实质上是阻抗角，由电路参数决定。Chapter263当No只含一个电阻元件时当No只含一个电感元件或一个电容元件时

=±90º结论：电阻元件消耗有功功率，电感元件和电容元件不消耗有功功率。若No中有若干电阻元件时，求总的有功功率,可将各个电阻消耗的有功功率相加求得。No+

Chapter264３、无功功率Q无功功率Q定义:Q=UIsin

单位：乏(Var)一个电阻电路：

＝0Q＝0一个电感电路：

＝90Q＝UI＝I2XL=U2/XL一个电容电路：

＝－90

Q＝－UI=－I2XC=－U2/XC无功功率Q反映的是储能元件L、C

与电源进行能量交换的规模。电阻元件不消耗无功功率。电感的无功功率为正，电容的无功功率为负。Chapter265ZRXLXC

=

u

i

=0

=90

=90P=UIcos

PR=UI=RI2

=GU2P=0P=0Q=UIsin

Q=0QL=UI=

LI2

=U2/LQC=UI

=

CU2

=1/C•I2平均储能WWR=0元件性质耗能储能有能量交换储能有能量交换当二端网络为无源网络时Chapter266实际意义：反映电源设备允许提供的最大有功功率。实际输出有功功率的大小取决于负载。４、视在功率S单位：伏安(VA)定义：视在功率S=UINo+

SPQ功率三角形Q=UIsin

Chapter267例2.17电路如图所示，测得有功功率P=40W，电阻上电压UR=110V。求电路的电流、功率因数和L。RL+–+–uiuR解：+–uLChapter268

已知有100只额定功率为40W功率因数为0.5（感性）的日光灯与40只额定功率为100W的白炽灯并联在220V的交流电源上，试求该电路的总电流I及功率因数cos

。解：日光灯中的电流40只白炽灯中的电流∵cos

RL＝0.5∴

RL=arccos0.5=60例2.18Chapter269cos

=cos40.9＝0.76∴总电流I＝48.1A总功率因数为日光灯接线图Chapter2702.4.2

功率因数的提高

设备(容量S)向负载送多少有功功率要由负载的阻抗角

z决定。P=Scos

zS75kVA负载cos

z

=1,P=S=75kWcos

z

=0.7,P=0.7S=52.5kW异步电机：空载cos

z=0.2~0.3满载cos

z

=0.7~0.85日光灯：cos

z

=0.45~0.6功率因数低带来的问题：(1)

设备容量不能充分利用，电流到了额定值，但功率容量还未达到额定值；(2)当输出相同的有功功率时，线路上电流大I=P/(Ucos

)，线路压降损耗大。

Chapter271LRC+

解决办法：并联电容，提高功率因数。分析:j1j2

并联电容后，原感性负载取用的电流不变，吸收的有功功率不变，即负载工作状态没有发生任何变化。

并联电容后，线路总电流减小，且电流与电源电压的夹角变小，功率因数提高。Chapter272由相量图可知ILsin

1

IC=

Isin

2Chapter273感性负载并联电容器后①提高了负载的功率因数，还是整个电路的功率因数？②电路的有功功率有无改变？③负载中的电流和线路上电流有无改变？负载的功率因数不变，提高整个电路的功率因数。电路的有功功率没有改变。电容不消耗有功功率。负载中的电流不变，线路上电流减小。Chapter274设有一220V，50Hz，50kW的电动机(感性负载)，

=0.5。解：例2.19求

电源提供的电流是多少？

若使

=0.9，应采取何种措施？此时电源提供的电流是多少？

电源提供的电流

并联电容提高功率因数。Chapter275并联电容后电源电流为并联电容前电源电流为并联电容后电源电流大大减小。Chapter276例2.20设：I1=10A，超前90°

45°落后于I=10AUo=141V求：A、Uo的读数已知：I1=10A，

UAB=100V，UC1=IXC1=100V，UoAAB5

C1C245°由图得：解：90°落后于用相量图求解Chapter277例2.21已知:要使R0上获最大功率，则C0为何值？用戴维南等效电路解：2.5H5

5

1

R0C0uS(t)+–2.5

1

C0+–j5

1

C0+–ZoChapter278要使R0上功率最大，只需使电流I最大即可。若使I最大，须使|Zo+

Ro

–j1/(C)|最小。若使其最小，只须使1–1/(C)=0。即：1

C0+–ZoChapter2792.5电路的谐振

在正弦稳态电路中，当电压恰与电流同相位时，称电路发生谐振。产生谐振现象的电路称为谐振电路。谐振电路广泛应用于无线电工程和其他电子技术领域中，以达到有选择地传递信号的目的。串联谐振并联谐振Chapter2802.5.1串联谐振1、串联谐振在RLC串联电路中+++Rj

L1/j

C

+

2、谐振频率发生谐振时的角频率称谐振角频率，用

0表示。时，阻抗角

=0，电流与电压同相位，当电路出现谐振现象——串联谐振。谐振频率Chapter2813、串联谐振的特点

电流与外施电压同相位，电路呈电阻性。

电路阻抗Z=R，外加电压一定时，电流具有最大值Io。+Rj

L1/j

C

串联谐振电流

谐振时感抗电压UL0与容抗电压UC0大小相等，方向相反，二者互相抵消，电源电压全部降落在电阻上，故串联谐振又称电压谐振。Chapter282品质因数---Q

值

定义：电路处于串联谐振时，电感或电容上的电压和总电压之比。谐振时:

Chapter283收音机接收电路L1：接收天线L2与C

：组成谐振电路L3：将选择的信号送接收电路例2.22串联谐振应用Chapter284已知：解：如果要收听us1节目，C应配多大？即：当C调到150pF

时，可收听到us1的节目。1.us1

、us2为来自2个不同电台（不同频率）的信号L2CChapter2852.

us1信号在电路中产生的电流有多大？在C

上产生的电压是多少？已知：解：L2C所希望的信号被放大了64倍Chapter2862.6.1并联谐振∵ωL>>R+RLC

谐振时，阻抗虚部为零，则Chapter287

在ωL>>R的情况下，并联谐振电路与串联谐振电路的谐振频率相同。并联谐振时，

=0，电压与电流同相位，阻抗为：谐振角频率为：谐振频率为：阻抗的模最大。在外加电压一定时，电路的总电流最小。

Chapter2882.7三相正弦交流电路三相电路实际上是一种特殊的交流电路。正弦交流电路的分析方法对三相电路完全适用。由于三相电路的对称性，可采用一相电路分析，以简化计算。2.7.1三相电源2.7.2三相电路的分析与计算2.7.3三相电路的功率Chapter289

目前世界上电力系统所采用的供电方式，几乎都属于三相制。三相制：由三个频率、幅值相同而初相位不同的电动势供电的体系。三相制所以获得广泛应用，主要是它在发电、输电和用电等方面都有许多优点。如：在单相电路中的瞬时功率是随时间交变的，但对称三相电路的总瞬时功率却是恒定的，因而三相电动机能产生恒定的转矩。在发电机尺寸相同下，三相发电机比单相发电机的输出功率高。日常生活用电是取自三相制中的一相。Chapter2902.7.1三相电源通常由三相同步发电机产生。三相绕组在空间互差120°，当转子以

的速度转动时，在三相绕组中产生感应电压，从而形成对称三相电源。+uAAx

+uBBy

+uCZz

NSºIwAzBCyx（1）瞬时值表达式1.三相电源Chapter291（2）波形图t0uAuBuC相序：三相电源到达正最大值的先后次序。相序为A-B-C，称为正序或顺序。反序或逆序？C-B-A（3）相量表示（4）对称三相电源的特点uA+uB+uC

=0或Chapter2922.三相电源供电方式三相四线制+++NABC

中点或零点火(端)线中线线电压：端线间的电压相电压：端线与中点的电压有效值一般用Ul表示。有效值一般用Up表示。Chapter293线、相电压间相量关系式+++NABC

线、相电压之间的关系30°由相量运算可得Chapter2942.7.2三相电路的分析与计算1.三相负载与连接方式三相负载三相负载：三相电动机、三相变压器由单相负载（如电灯、电视）组成三相负载。若3个负载都相等，即则称对称负载，否则称不对称负载。Chapter295三相四线制NABCZCZBZAM3~三角形连接星形连接三相负载采用何种连接方式由负载的额定电压决定。当负载额定电压等于电源线电压时采用三角形连接；当负载额定电压等于电源相电压时采用星形连接。Chapter296设n点为参考点，用结点电压法：n-N点相当于短路，则三相电路可拆成一相电路来计算。2.

负载星型连接的三相电路若负载对称Chapter297根据电路的对称性，可推出其余2相的电流。中线电流为可将中线去掉三相三线制Chapter298

在中线的作用下，

各相负载的端电压与电源电压一致，保持对称与独立的关系。各相仍可分别独立计算由于相电流不对称，中线电流一般不为零，即负载不对称且有中线的情况Chapter299负载中点电压中点偏移负载端电压不对称中线的作用：强迫负载中点电位为零。负载不对称且无中线的情况Chapter2100关于中线的结论

负载不对称而又没有中线时，负载上可能得到大小不等的电压，有的超过用电设备的额定电压，有的达不到额定电压，都不能正常工作。

照明电路中各相负载不能保证完全对称，所以绝对不能采用三相三相制供电，而且必须保证中线可靠。

中线的作用在于，使星形连接的不对称负载得到相等的相电压。为了确保中线在运行中不断开，其上不允许接保险丝也不允许接刀闸。Chapter21013.

负载△连接的三相电路30

由相量图得Chapter2102结论：在三相对称电路中，当负载Y连接时△连接时Chapter2103例2.23三相四线制电源，相电压220V三相照明负载：RA=5ΩRB=10Ω，RC=20Ω求:（1）负载电压、电流及中线电流。解：因为有中线，则UAN'=UBN'=UCN'=UP=220V已知：RCRARBABCNN′Chapter2104RCRARBABCNN′（2）A相短路时负载电压、电流。UAN'=0UBN'=UCN'=UP=220VIA很大，A相熔断器熔断。IB、IC不变。（3）A相开路时负载电压、电流。IA＝