2023年河南省郑州市巩义第二高级中学高三数学理联考试卷含解析

2023年河南省郑州市巩义第二高级中学高三数学理联

考试卷含解析

一、选择题：本大题共1（）小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.（5分）已知圆锥曲线mx2+y2=l的离心率为y，则实数m的值为（）

A.-1B.-2C.-3D.1

参考答案：

A

【考点】：双曲线的简单性质.

【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】：由双曲线mx，y2=l,化为标准方程，利用离心率e=后，即可求出m的值，

2_X?

v71

解：圆锥曲线mx，y2=l为双曲线，即：昨1,

•••圆锥曲线mx2+y2=l的离心率为

-1

•♦e=1+m—2,・・m--1.

故选：A.

【点评】：本题考查双曲线的性质和标准方程，将方程化为标准方程是关键.

（2ten当@Ine.1g100®曾

2.定义某种运算S=4®b,运算原理如右图所示，则式413）的

值为（）

A.13B.11[OMC.8D.

4

入a,b/.

/fe出a(b+l)Z出b'a+ljZ

结束

参考答案：

A

略

3.定义域为R上的奇函数/Q)满足/Gx+D=/(x，D,且，(—D=L则/Qon)=

()

A.2B.1C.-lD.-2

参考答案：

C

4,若定义在R上的函数〃x)满足/(一*)31〃")J(2一*)=/(*)，且当*e［0,l］时,

/(*)=7b7,则函数"(x)=W卜/(X)在区间［-5』上的零点个数为()

A.4B.8C.6D.10

参考答案：

C

略

a)=［内(0)

5.函数I1(*<D,则JUUQ)))=()

A.0B.1C.2D.及

参考答案：

答案：B

6.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的

对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为8,则在此圆柱侧面上，从M到N

的路径中，最短路径的长度为

匕口

A.2而B.26C.3D.2

参考答案：

B

解答：

三视图还原几何体为一圆柱，将侧面展开，最短路径为M,N连线的距离，所以

3=所以选B.

7.已知三角形ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB,AC于E、F

两点，若AB=入AE(X>0),AC=pAF(|i>0)则为W的最小值是（)

A..9B.7C.5D.9

22

参考答案:

D

考基本不等式.

点:

专计算题.

题：

分由已知可得

析：x-「1一X~*

AC+

AD=AE+ED=AE+xEF=AE+x（AF-AE）=XAF+（Lx）AE=~jl

"In=-1（TDI-77）

2,从而可得3日的关系，利用基本不等式可求

解解：由D,E,F三点共线可设而二x而

答：

*/AB=入AE（入＞0）,AF（以＞0）

AD=AE+ED=AE+xEF=AE+x（AF-AE）=XAF+（1-x）AE

x—1-x—

jrACF^

：D为BC的中点

.AD^|（AB+AC）

nr^2

11-X1

入-2

fh2x

...［入=2-2x即入+产2

则/温［（14）（入+M"代干冶+2《

JL卫H-2X-J

当且仅当2入一H即心r-3时取等号

故选D

点本题主要考查了基本不等式在求解函数的最值中的应用，解题的关键是根据已知向

评：量的知识寻求基本不等式的条件.

8=(心，<5)

8.设集合＜=*工＜@,

I।3则ACI8=()

A(4B(x[i<x<l)c(x|x>01D.

参考答案：

B

9.在一次运动员的选拔中，测得7名选手身高（单位：cm）分布的茎叶图如图.已知记录

的平均身高为177cm，但有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为无那

么x的值为（）

A.5B.6C.7D.8

1S01

1703x89

参考答案：

D

略

10.如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》向题的统计

图（每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个），以下结论错误的是（）

什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类

①公益广告

②学校要求

③学校团委会宣传

④垃圾分类运输环节得到改善

⑤设置分类明确的垃圾桶

A.回答该问卷的总人数不可能是100个

B.回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多

C.回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少

D.回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个

参考答案:

D

【分析】

先对图表数据分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解.

【详解】对于选项A,若回答该问卷的总人数不可能是100个，则选择③④⑤的同学人数

不为整数，故A正确，

对于选项8,由统计图可知，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多，故B正确，

对于选项C,由统计图可知，选择“学校团委会宣传”的人数最少，故C正确，

对于选项。，由统计图可知，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8%,故。错

误，

故选：D.

【点睛】本题考查了对图表数据的分析处理能力及简单的合情推理，属中档题.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

x+y<^7

,y》x

11.已知点P(x,y)满足x>2,过点P的直线与圆(+丫2=50相交于A,B两点，则

AB|的最小值为.

参考答案：

2721

【考点】简单线性规划；直线与圆的位置关系.

【专题】计算题；方程思想；数形结合法；直线与圆；不等式.

【分析】由约束条件作出可行域，求出可行域内到原点距离最远的点，然后结合弦心距、

圆的半径及弦长间的关系得答案.

x+y^7

【解答】解：由约束条件x>2作出可行域如图，

y

由图可知，可行域内的点中，A.到原点的距离最大，为晒,

：.|AB的最小值为2450-29=24五.

故答案为：2J元.

【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了直线与圆位

置关系的应用，是中档题.

12.已知数列｛%）为等比数列，且％%3+2＞「=知，贝尸。$（町。口）的值为

参考答案:

2

2_5”

在等比数列中年B+2a/=%，+如=5叱所以,7,所以

)=cos3,，)=COS,■=COS-=­,

J''.

-2x-4.x<0

/(x)=«x>0

13.已知函数/VO的定义域是大，IQ，”.设玉<5且/(玉)=代1),则

。天的最小值是.

参考答案：

5

ffffr

14.已知AABC外接圆。的半径为2,且4Hze=2ZO,|AB|=|A《，则

CACB=

参考答案：

12

【分析】

由可知，点°是线段BC的中点，°是&OC外接圆的圆心，可以判断

ff

是以AC为斜边的直角三角形，又|AB|=|AQ|,可得/心=婚,4二4

ZC=2>A,利用向量数量积的定义求出&&的值.

【详解】因为五+*;=26，所以点O是线段AC的中点，。是AWC外接圆的圆

f->

心，因此A4C是以为斜边的直角三角形，又因为|AB|=|AO（,所以

〃=2."=4

因此Zi«»=3d/C=2>5,

厂、昌-&="[3=2』x4x乎=12

【点睛】本题考查了平面向量的加法几何意义、考查了平面向量数量积运用，解题的关键

是对A13C形状的判断.

15.观察各式：a+b=[d+〃=3,,+/=4,/+64=7,/=】】/••，则依次类推

可彳斯+护=；

参考答案：

123

略

16.数列1%｝的通项公式一""八2,其前"项和为*,则$）B=.

参考答案：

1006

略

17.设有一组圆Ck：(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(kSN*).下列四个命题：

①存在一条定直线与所有的圆均相切；

②存在一条定直线与所有的圆均相交；

③存在一条定直线与所有的圆均不相交；

④所有的圆均不经过原点.

其中真命题的代号是—(写出所有真命题的代号).

参考答案：

②④

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】综合题；压轴题.

【分析】根据圆的方程找出圆心坐标，发现满足条件的所有圆的圆心在一条直线上，所以

这条直线与所有的圆都相交，②正确；根据图象可知这些圆互相内含，不存在一条定直线

与所有的圆均相切，不存在一条定直线与所有的圆均不相交，所以①③错；利用反证法，

假设经过原点，将(0,0)代入圆的方程，因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使

上式成立，假设错误，则圆不经过原点，④正确.

【解答】解：根据题意得：圆心(k-1,3k),

圆心在直线y=3(x+1)上，故存在直线y=3(x+1)与所有圆都相交，选项②正确；

考虑两圆的位置关系，

圆k：圆心(k-1,3k),半径为A/^妙，

圆k+1：圆心(k-1+1,3(k+1)),即(k,3k+3),半径为&(k+1)S

两圆的圆心距d=Y(k-k+1)2+(3k-3k-3)2=V10,

两圆的半径之差R-r=V2(k+1)2-V2k2=2V2k+V2,

任取k=l或2时，(R-r>d),Ck含于G”之中，选项①错误；

若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；

将(0,0)带入圆的方程，则有(-k+1)2+9k2=2k',即10k2-2k+l=2k4(keN*),

因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正

确.

则真命题的代号是②④.

故答案为：②④

【点评】本题是一道综合题，要求学生会将直线的参数方程化为普通方程，会利用反证法

进行证明，会利用数形结合解决实际问题.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.如图，已知椭圆C：尹,言的一个焦点是0，。)，两个焦点与短轴的一个端

点构成等边三角形.

(I)求椭圆C的方程；

(II)过点且不与坐标轴垂直的直线4

交椭圆C于A、B两点，设点A关于X轴的对称点为A1.

(i)求证：直线A3过x轴上一定点，并求出此定点坐标；

参考答案：

解：(I)因为椭圆C的一个焦点是(L°),所以半焦距c=l.

椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.所以亍，解得a=2力=.召

±+±•1

所以椭圆的标准方程为4T.

工+金」

(ID(i)设直线1：x=my+4与4T联立并消去X得：

+B(x,,yj

-24m36

%+%=舒H2'=而

由A关于X轴的对称点为Al,得益(%,-%),根据题设条件设定点为T(「0),

t■%+%'(4+my1)yl+(4+my,)yJ2myiy,...

所以为+y，%+y，%+%

即定点他°)8分

(ii)由⑴中判别式A>°,解得同>2可知直线A[B过定点T(l.O)

诉广小，=；|0丁|忸-(-%)|=；%+%|

历以1-

44

匹卜"*,当t>2时，嗯)>°则’卜1+1在(2,+8)上为增函数,

lml+oTn>2+---0<S-..<4x2-2

所以3ml33,得a82,

故AOAiB的面积取值范围是12人

略

19.某市疾控中心流感监测结果显示，自2019年1月起，该市流感活动一度d现上升趋

势，尤其是3月以来，呈现快速增长态势，截止目前流感病毒活动度仍处于较高水平，为

了预防感冒快速扩散，某校医务室采取积极方式，对感染者进行短暂隔离直到康复。假设

某班级已知6位同学中有1位同学被感染，需要通过化验血液来确定感染的同学，血液化

验结果呈阳性即为感染，呈阴性即未被感染。下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，

直到能确定感染同学为止；方案乙：先任取3个同学，将它们的血液混在一起化验，若结

果呈阳性则表明感染同学为这3位中的1位，后再逐个化验，直到能确定感染同学为止；

若结果呈阴性则在另外3位同学中逐个检测；

(1)求依方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；

(2)"表示依方案甲所需化验次数，已表示依方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都

相同，请从经济角度考虑那种化验方案最佳。

参考答案：

1

(1)6；(2)方案乙更佳

分析：(1)分别求出"LZ44,5时气⑷的值，及八Z3时网易)的值，进而可求出

方案甲所需化验次数等于依方案乙所需化验次数的概率；(2)确定明f的可能取值及相

应的数学期望，比较二者大小可知方案乙更佳.

详解：

⑴设分别表示依方案甲需化验为第,次；%(八Z3)表示依方案乙

需化验为第/次；

F(4)=W4)=F(4)=P(4)=!1(4)=；

VJ

咐卜晶嚼=源修2⑸4

)表示方案甲所需化验次数等于依方案乙所需化验次数.

P(A)^P(A^♦4&)=?>(4)。出)+7>(4)/>(4)=:

oJ3o,

(2)"的可能取值为LZ3.4.5.4的可能取值为23.

P(4)=P(4)=~4)=尸(4)=；.汽4)=；

„,11,11,210

Z&7=lx-i2nx-+3x-+4x-f5x-=—

666663(次)，

*2)=/⑸=那。=3)=汽曷)=：

（次），，故方案乙更佳.

点睛：求解离散型随机变量数学期望的一般步骤：（1）确定各随机变量的可能取

值；（2）求出随机变量各取值下的概率；（3）计算数学期望.

20.小。的内切圆与三边.，SCC4的切点分别为产，已知

,内切圆圆心"IQ"。，设点上的轨迹为幺.

（1）求工的方程；

（2）过点C的动直线冽交曲线心于不同的两点时，"（点”在x轴的上方），问

QMQC_QN^

在x轴上是否存在一定点Q（Q不与C重合），使网-西恒成立，若

存在，试求出。点的坐标；若不存在，说明理由.

参考答案：

（1）设点4（xj）,由题知四|一\AC\=\BD\-]pE\=|必|一|C到

=\BO\+\OB\-（|0C|-10£|）=2|O5|=2根据双曲线定义知，点力的轨迹是以BC

为焦点，实轴长为2的双曲线的右支（除去点E）,故乙的方程为

--/=】•＞】）....4分

（2）设点。（丽.0）.〃5仍）,耿卬力）

函X_丽宓_网函8$〈西苑》_西网COSV函/》

'I函"I函=_~画

cos&QC=cos/NQC,乙MQC=ZNQC6分

①当直线胸~Lx轴时，点Q(%・0)在X轴上任何一点处都能使得训2C=NMR

成立...................7分

②当直线胸不与X轴垂直时，设直线MNy二由

X3―/=1

y=i(x-72)得(I-/*+2寂2公(W+1)=0

2版2^+1

/+为=讨7"/=HT

..................9分

2版

上。-&）+封心-圾）=削入+

%+y2=1x2）-2y/2k=

vtanZM$2C=^=-2^,tanZyeC=-^=-^-

%F3%,使冽"二NNQC,

只需tan/M?C=tanNM2c成立，即x「x（）%-4,即

x仍-Wi+"2-Wa=0,

+必）。=々砌与-应即

CXiAMx1-0）+k（x2-处=x（A+x3）,

=立

2%2kx（V2

E丽"E,故"--T,故所求的点Q的坐标为‘T’时，

QM^C_QNQC

l°M西恒成立...................12分

略

21.

已"%SU广―'姆常数—。)，­=2时，函

(1)求函数/(X)的解析式;

(2)若曲线尸=/(力与g(x)=_3x-巩-24x40)有两个不同的交点，求实数用

的取值范围.

参考答案:

1

a=——

:解解6

/,(x)=W+2x-l]

2a+4b-\=0b=>

解析：①/9)=/'(2)=0即4

1%

y(x)=-xJ

64

②曲线尸=/(x)与g(x)=3x-加(2xe0)有两个不同交点

13

-*—X3-2x-w=0在[-2,0]

即64