正弦函数余弦函数的性质

三角函数

1.4正弦函数余弦函数的性质

1.定义域和值域正弦函数定义域：R值域：[-1，1]余弦函数定义域：R值域：[-1，1]练习P46练习2×√周期函数定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。2.周期性判断下列命题是否正确1、因为f(x+0)=f(0)，所以函数f(x)为周期函数，周期是0；2、因为f(x+2x)=f(x),所以函数f(x)为周期函数，周期是2x；3、因为sin(30°+120°)=sin30°,所以函数f(x)=sinx为周期函数，周期是120°；4、因为sin(x+4π)=sinx,所以函数f(x)=sinx为周期函数，周期是4π×××√

举例解：（1）∵∴自变量x只要并且至少要增加到x+2π

，函数的值才能重复出现.的周期是所以，函数的值才能重复出现.，∴自变量x只要并且至少要增加到x+π

，函数的周期是所以，函数∴自变量x只要并且至少要增加到x+4π

，函数的值才能重复出现.所以,函数的周期是4π思考(4)

正弦函数的图象探究余弦函数的图象问题：它们的图象有何对称性？3.奇偶性3.奇偶性为奇函数为偶函数正弦函数的图象对称轴：对称中心：余弦函数的图象对称轴：对称中心：练习为函数的一条对称轴的是（）解：经验证，当时为对称轴例题求函数的对称轴和对称中心解（1）令则的对称轴为解得：对称轴为的对称中心为对称中心为练习求函数的对称轴和对称中心yxo例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.解：这两个函数都有最大值、最小值.（1）使函数取得最大值的x的集合，就是使函数取得最大值的x的集合

使函数取得最小值的x的集合，就是使函数取得最小值的x的集合

函数的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.解：（2）令t=2x,因为使函数取最大值的t的集合是所以使函数取最大值的x的集合是同理，使函数取最小值的x的集合是函数取最大值是3，最小值是-3。1、__________，则f（x）在这个区间上是增函数.4.正弦余弦函数的单调性函数若在指定区间任取，且，都有：函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。观察正余弦函数的图象，探究其单调性2、__________，则f（x）在这个区间上是减函数.增函数：上升减函数：下降探究：正弦函数的单调性当在区间……上时，曲线逐渐上升，sinα的值由增大到。当在区间上时，曲线逐渐下降，sinα的值由减小到。探究：正弦函数的单调性正弦函数在每个闭区间都是增函数，其值从－1增大到1；而在每个闭区间上都是减函数，其值从1减小到－1。探究：余弦函数的单调性当在区间上时，曲线逐渐上升，cosα的值由增大到。曲线逐渐下降，sinα的值由减小到。当在区间上时，探究：余弦函数的单调性由余弦函数的周期性知：其值从1减小到－1。而在每个闭区间上都是减函数，其值从－1增大到1；在每个闭区间都是增函数，例2.求函数的单调增区间解：y=sinz的增区间原函数的增区间求函数的单调增区间√求函数的单调增区间增减减增变式练习求函数的单调增区间增为了防止出错，以及计算方便，遇到负号要提出来增增减求函数的单调增区间增为了防止出错，以及计算方便，遇到负号要提出来增增增已知三角函数值求角已知求已知三