专题09 成比例线段、黄金分割(解析版)（重点突围）

专题09成比例线段、黄金分割考点一比例的性质考点二线段的比考点三成比例线段考点四黄金分割考点五由平行判断成比例的线段考点六由平行截线求相关线段的长或比值考点一比例的性质例题：（2021·江苏·南通市八一中学九年级阶段练习）已知，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用设k法，进行计算即可解答．【详解】解：∵，∴设a=3k，b=5k，∴=4，故选：C．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法进行计算是解题的关键．【变式训练】1．（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）已知，则下面结论成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据比例的性质求解即可．【详解】解：∵，∴，故选C．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．2．（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习）已知，那么______．【答案】【分析】由题意可设，然后代入求解即可．【详解】解：，设，故答案为：．【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．考点二线段的比例题：（2022·全国·九年级专题练习）地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么乐山到峨眉的实际距离是（）A．3800米 B．38000米 C．380000米 D．3800000米【答案】B【分析】设乐山到峨眉的实际距离为xcm，利用比例尺的定义得到3.8：x=1：1000000，然后利用比例的性质求出x，再化单位化为米即可．【详解】解：设乐山到峨眉的实际距离为x厘米，根据题意得3.8：x=1：1000000，解得x=3800000，所以乐山到峨眉的实际距离是3800000厘米，即38000米．故选：B．【点睛】本题考查了比例线段，正确理解比例尺的定义是解决问题的关键．【变式训练】1．（2022·河南南阳·九年级期中）在比例尺为1：5000000的地图上，若测得甲、乙两地间的图上距离为5厘米，则甲、乙两地间的实际距离为_____千米．【答案】250【分析】要求两地的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺=实际距离”，代入数值计算即可．【详解】解：（厘米）厘米=千米答：两地间的实际距离是km．故答案为：．【点睛】此类型的题目都可根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论．2．（2022·云南文山·九年级期末）如图，在中，D、E分别是AB、AC的中点，则______．【答案】##0.5【分析】根据点D是AB中点直接得出的值即可【详解】解：∵点D是AB中点，∴AB=2AD，∴故答案为：【点睛】本题考查了线段的中点及线段的比，解决本题的关键是熟练掌握线段中点的定义．考点三成比例线段例题：（2022·全国·九年级专题练习）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，则线段d的长为（）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．4【答案】A【分析】如果四条线段a、b、c、d满足、则四条线段a、b、c、d称为比例线段．（有先后顺序，不可颠倒），将a，b及c的值代入即可求得d．【详解】已知a，b，c，d是成比例线段，根据比例线段的定义得：，代入a＝3，b＝0.6，c＝2，得：，解得：d＝0.4．故线段d的长为0.4．故选A．【点睛】本题考查线段成比例的问题．根据线段成比例的定义求解即可．【变式训练】1．（2020·辽宁·宽甸满族自治县第一初中九年级阶段练习）下列四组线段中，是成比例线段的是（

）A．5cm，6cm，7cm，8cm B．3cm，6cm，2cm，5cmC．2cm，4cm，6cm，8cm D．2cm，3cm，4cm，6cm【答案】D【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段.对选项一一分析，排除错误答案．【详解】A．，故选项错误；B．，故选项错误；C．，故选项错误；D．，故选项正确，故选：D．【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．2．（2022·陕西渭南·九年级期末）若长度为，，，的四条线段是成比例线段，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据四条线段成比例的概念，得比例式，再根据比例的基本性质，即可求得的值．【详解】解：∵长度为，，，的四条线段是成比例线段，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查成比例线段的概念，比例的基本性质．掌握成比例线段的概念是解题的关键．考点四黄金分割例题：（2021·广西·梧州市第十中学九年级期中）已知C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列结论错误的是（

）A．AC2=BC·AB B．BC2=AC·AB C． D．【答案】B【分析】根据黄金分割的定义得出，从而判断各选项．【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，∴，即AC2=BC•AB，故A、C选项正确，不符合题意；∴，故选项D正确，不符合题意；由得不到，所以，选项B错误，符合题意，故选：B．【点睛】本题主要考查黄金分割：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．，掌握黄金分割的定义和性质是解题的关键．【变式训练】1．（2022·黑龙江大庆·八年级期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_______．（结果保留根号）【答案】5-5【分析】先利用黄金分割的定义计算出AP，然后计算AB-AP即得到PB的长．【详解】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），∴AP＝AB＝×10＝5﹣5（cm），故答案为：5﹣5．【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，熟记黄金分割比值是解题的关键．2．（2022·山东淄博·八年级期末）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，已知四边形是黄金矩形，边的长度为，则该矩形的周长为__．【答案】4或【分析】根据黄金矩形的定义进行讨论，当时，当时，分别计算即可．【详解】解：当时，即，此时矩形的周长为；当时，即，解得，此时矩形的周长为，综上所述，该矩形的周长为4或．故答案为：4或．【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是掌握要注意分类讨论.考点五由平行判断成比例的线段例题：（2021·广西·梧州市第十中学九年级期中）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平行线分线段成比例定理，在两组平行线里面，通过，，逐项判断，得出结论．【详解】∵，∴.∵，∴，∴，∴.故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题，解题的关键是找准对应线段，准确列出比例式，推理论证．【变式训练】1．（2021·安徽·合肥市五十中学新校九年级期中）如图，直线AC与DF交于点O，且与，，分别交于点A，B，C，D，E，F，则下列比例式不正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例，根据以上内容判断即可．【详解】解：A、∵，∴，结果正确，故本选项不符合题意；B、∵，∴，结果正确，故本选项不符合题意；C、∵，∴，结果正确，故本选项不符合题意；D、∵，∴，结果错误，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．2．（2022·山东烟台·八年级期末）如图，已知，那么下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”进行判断即可．【详解】解：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，∵BC和AD对应，CE和DF对应，BE和AF对应，∴，，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，确定出对应线段是解题的关键．考点六由平行截线求相关线段的长或比值例题：（2022·黑龙江·大庆市庆新中学八年级期中）如图，点，分别在，上，，，若，则的长为________________【答案】16【分析】根据平行线分线段成比例，可得，从而得到，即可求解．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，解得：，∴．故答案为：16【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．【变式训练】1．（2022·山东济南·八年级期中）如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于___________．【答案】##【分析】根据平行线分线段成比例定理，由DEBC得到AE：EC=AD：DB=3：5，则利用比例性质得到CE：CA=5：8，然后利用EFAB可得到CF：CB=5：8．【详解】解：∵DEBC，∴AE：EC=AD：DB=3：5，∴CE：CA=5：8，∵EFAB，∴CF：CB=CE：CA=5：8．即．故答案为：【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．2．（2022·山东烟台·八年级期中）图，，直线、与、、分别相交于点A、、和点、、．若，，，则______．【答案】4【分析】由题意易得BC=10，然后根据平行线所截线段成比例可进行求解．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴；故答案为4．【点睛】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键．一、选择题1．（2022·全国·九年级课时练习）某地图上1cm2面积表示实际面积900m2，则该地图的比例尺是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先设该地图的比例尺是1：x，根据面积比是比例尺的平方比，列出方程，求得x的值即可．【详解】解：设该地图的比例尺是1：x，根据题意得：1：x2＝1：9000000，解得x1＝3000，x2＝−3000（舍去）．则该地图的比例尺是1：3000；故选：B．【点睛】此题考查了线段的比，根据面积比是比例尺的平方比，列出方程是解题的关键．2．（2021·江苏·东海县驼峰中学九年级阶段练习）已知线段，则线段的比例中项为（

）A． B．

C． D．【答案】D【详解】试题解析：设a、b的比例中项为x，∵a=4，b=8，∴x2=ab=32，∴x=±4，即a、b的比例中等于4．故选D.3．（2021·北京·临川学校九年级期末）下列各组中的四条线段不是成比例线段的是（）A．a=1，b=1，c=1，d=1 B．a=1，b=2，c=2，d=4C．a=1，b=3，c=2，d=4 D．a=2，b=1，c=8，d=4【答案】C【分析】如果两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，我们就说这四条线段叫做成比例线段．【详解】∵1×1=3×2，故选项A中的四条线段成比例，∵1×4=2×2，故选项B中的四条线段成比例，∵1×4≠2×3，故选项C中的四条线段不成比例，∵2×4=1×8，故选项D中的四条线段不成比例，故选C．【点睛】本题考查的知识点是比例线段的概念，解题关键是注意相乘的时候，让最大的和最小的相乘，剩下的两条再相乘，看它们的积是否相等．4．（2022·安徽·合肥市小庙中学九年级阶段练习）若，则下列各式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等式的两边都除以，从而可得到答案．【详解】解：等式的两边都除以：，故选B．【点睛】本题考查的是把等积式化为比例式的方法，考查的是比的基本性质，等式的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．5．（2021·四川内江·一模）如图，在□ABCD中，AE＝AD，连接BE，交AC于点F，AC＝12，则AF为（）A．3 B．4 C．4.2 D．4.8【答案】D【分析】根据平行四边形的对边相等可得，然后求出，再根据平行线分线段成比例定理求出、的比，然后求解即可．【详解】解：在中，，，，，，，．故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的对边平行且相等的性质，熟记定理并求出AF、FC的比是解题的关键．6．（2022·山西·孝义市教育科技局教学研究室九年级期中）如图，线段，在线段AB上找一点C，C把分为和两段，其中，若，则点C就叫做线段的黄金分割点，其中（或）的值叫做黄金分割数．则黄金分割数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，则，代入并整理得：，求出x的值，再舍去不合题意的值，最后计算比值即可．【详解】设，则，∵，∴，整理，得：，解得：，经检验，是原分式方程的解．∵，∴，∴，∴．故选B．【点睛】本题考查黄金分割，解可化为一元二次方程的分式方程．理解黄金分割的定义是解题关键．二、填空题7．（2022·河南·辉县市太行中学九年级期中）已知，那么___________．【答案】##0.4【分析】首先利用比例的基本性质求得的值，然后即可求解．【详解】解：，，则．【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．8．（2022·广东河源·九年级期中）已知四条线段4，，2，3成比例，若为整数，则______．【答案】6【分析】根据成比例线段的定义列出等式，再根据比例的基本性质即可求解．【详解】四条线段4，，2，3成比例，，解得，故答案为：6．【点睛】本题考查了比例线段，正确列出等式并求解是解题关键．9．（2022·江苏·常州市第二十四中学九年级期中）如果在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是46厘米，那么、两地的实际距离是_________千米．【答案】【分析】根据成比例的线段，列出比例式，代入数据可直接得出实际距离．【详解】解：根据题意，设实际距离为，,∴解得：厘米千米．故答案为：．【点睛】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换．10．（2022·江苏·常州市第二十四中学九年级阶段练习）如图，CD＝3BD，AF＝FD，则AE：AC＝_____．【答案】1：5【分析】作DH∥BE，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，得到AE＝EH，CH＝3EH，得到答案．【详解】过点D作DH∥BE交AC于H，∵DH∥BE，∴，，∴AE＝EH，CH＝3EH，∴AE：AC＝1：5，故答案为：1：5．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．11．（2022·山东·青岛大学附属中学九年级期中）比值为（约为0.618）的比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割比，电视机屏幕的宽与长之比就非常接近这个比例．如果某款电视机屏幕的长为90厘米，则其宽约为____厘米．（精确到1厘米）【答案】56【分析】根据黄金分割的定义，进行计算即可解答．【详解】解：∵电视机屏幕的宽与长之比非常接近黄金分割比，∴宽≈（cm），∴其宽约为56厘米，故答案为：56．【点睛】本题考查了黄金分割，近似数和有效数字，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．12．（2021·上海·九年级专题练习）以一个等腰直角三角形的腰为边分别向形外做等边三角形，我们把这两个等边三角形重心之间的距离称作这个等腰直角三角形的“肩心距”，如果一个等腰直角三角形的腰长为2，那么它的“肩心距”_____．【答案】【分析】延长DF交边BC于点F，根据等腰直角三角形的腰长为2，和是等边三角形，可以求得，并且可证MN∥，利用平行线之间的线段对应成比例即可求解.【详解】解：如图示：等腰直角三角形的腰长为2，即：，∵和是等边三角形，等腰直角三角形∴BC=2，DM=EN=延长DF交边BC于点F∵分别是等边△ABD和等边△ACE的重心∴DM垂直且平分AB，EN垂直且平分AC，又∵∠BAC=90°∴AC∥DF∴点F是BC的中点同理可得EN的延长线也交BC于点F∴∵，∴∴MN∥

∴，即，解得.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，重心的性质和平行线的性质，熟悉相关性质定理，灵活运用是解题的关键.三、解答题13．（2022·全国·九年级课时练习）线段、、,且．（1）求的值．（2）如线段、、满足,求的值．【答案】（1）；（2）9【分析】(1)根据比例的性质得出,即可得出的值;(2)首先设=k,则a=2k,b=3k,c=4k,利用a+b+c=27求出的值即可得出答案.【详解】解：（1），；（2）设=k,则a=2k,b=3k,c=4k，由a+b+c=27，由2k+3k+4k=27，得：k=3，a=6，b=9，c=12故=6-9+12=9，故答案：；9.【点睛】这是一道考查代数式求值的题目,属于中等难度的题目,只要同学们认真分析就可以求出答案.14．（2020·全国·九年级课时练习）已知线段a＝0.3m，b＝60cm，c＝12dm．（1）求线段a与线段b的比．（2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长．（3）b是a和c的比例中项吗？为什么？【答案】（1）a：b＝1：2；（2）d＝240cm；（3）是，理由见解析.【分析】（1）根据a=0.3m=30cm；b=60cm，即可求得a：b的值；（2）根据线段a、b、c、d是成比例线段，可得，再根据c=12dm=120cm，即可得出线段d的长；（3）根据b2=3600，ac=30×120=3600，可得b2=ac，进而得出b是a和c的比例中项．【详解】（1）∵a＝0.3m＝30cm；b＝60cm，∴a：b＝30：60＝1：2；（2）∵线段a、b、c、d是成比例线段，∴，∵c＝12dm＝120cm，∴，∴d＝240cm；（3）是，理由：b2＝3600，ac＝30×120＝3600，∴b2＝ac，∴b是a和c的比例中项．【点睛】本题主要考查了成比例线段，判段四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可；求线段之比时，要先统一线段的长度单位．15．（2022·江苏无锡·九年级阶段练习）如图，已知点，分别在边，上，，交于点，，，，，．(1)求的长；(2)若的面积为70，求的面积．【答案】(1)，(2)28【分析】（1）先求得，再根据求得；由求得；（2）先由“高相等的两个三角形的面积的比等于底的比”求得，则，再由，求得的面积．（1），，，，，，；，，，；（2）