2021届宁夏吴忠市高三一轮联考数学（文）试题解析

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2021届宁夏吴忠市高三一轮联考数学(文)试题

注意事顼：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案

正确填写在答题卡上

一、单选题

1.复数Z满足(z—2i>(l+i)=2(i为虚数单位)，则复数Z在复平面内对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

答案：D

2

先计算复数z=——+2i,再求其共轨复数，即可求出共轨复数对应的点，进而可得在

1+z

复平面内对应的点所在的象限.

解：由(z—2,>(1+。=2得：

2_2(1-0_2(1-0_.

1+z(l+z)(l-i)2

z=1+z>z=1—i•

所以复数彳在复平面内对应的点为(1,-1),位于第四象限，

故选:D.

2.设集合A={xeZy-4x+3W01,B={x|log2(A--2)<1},则()

A.{x|2<x<3}B.{3}C.{2,3}D.{2,3,4}

答案：B

解出集合A、B,利用交集的定义可求得集合ADB.

解：•••A={Z|x&4x«{Z网},

B=|x|log2(x-2)<1}=|x|O<x-2<21=|x|2<x<4},

则AcB={3},

故选：B.

3.已知命题p：“X〉2”是UX2-3X+2>0"的充分不必要条件；命题q：VxeR,

X2+2X+1>0.则下列命题是真命题的是()

A.P、qB.PMC.5p)vqD.

答案：A

解不等式V-3x+220可判断P的真假，特殊值法可以判断q的真假，根据复合命题

的真假可得出答案.

解：；/一3%+220的解是xN2或xVl,

“x>2”是“V—3X+2NO”的充分不必要条件，命题p是真命题，rP是假命

题，

•.•当x=-l时，V+2x+l=0,即存在/=-1,使得片+2/+1=0成立，

故命题q是假命题，F是真命题，所以，

A,"V4是真命题；

B,2A夕是假命题；

C,(―是假命题；

D,(―八(—>q)是假命题.

故选：A.

4.已知a,b,c满足a>b>c,且ac>0,则下列选项中一定能成立的是()

A.ah>acB.c(/?-a)>0C.czZ?(«-c)>0D.ch2>ccr

答案：C

用特殊值排除法和不等式的性质可得答案.

解：取。=—1,h=-2,c=—3,

则a/?=2<ac=3,c。？=—12<ca*=—3排除A、D；

取a=3,b=2,c=l,则c(b-a)=-1<0排除B；

因为a>b>c,且ac>0,所以a、b、c同号，且a>c,

所以a/?(a-c)>0.

故选：C.

5.过抛物线C:y2=8x的焦点尸的直线交抛物线。于A、B两点,若W目=6,则

\BF\=()

A.9或6B.6或3C.9D.3

答案：D

设点A为第一象限内的点，设点A(%,%)、B(x2,y2),利用抛物线的定义可求得点A

的坐标，进而可求得直线A8的方程，将直线A8的方程与抛物线。的方程联立，由韦

达定理可求得点8的横坐标，进而可求得忸目.

解：设点A为第一象限内的点，设点A(~,y)、B(占,%)，则玉>0，另>0，

则由题意可得：点*2,0),|AF|=%+2=6,则玉=4,由3=8%,得y=4也，

所以砥6=逑=2夜，直线方程为y=20(x-2),

将直线AB的方程代入y2=8x化简得Y-5》+4=(.所以9=1,所以

|BF\=x2+2=3,

故选：D.

点评：结论点睛：过抛物线丁=23(〃>0)焦点尸的弦AB,点A在第一象限，直线

AB的倾斜角为。.

(1)此心

21Pl.

(2)

1^1=sin20'

112

-------------------

\AF\|BF|p-

6.已知非零向量公石满足"=2恸，且6-扬,坂，则2与坂的夹角为

兀2兀52

A.-B.7-1C.—D.——

6336

答案：B

本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、

数学计算等数学素养.先由得出向量Z,万的数量积与其模的关系，再利用向

量夹角公式即可计算出向量夹角.

解：因为(a—。)_1_力,所以(a—b)♦b=a♦B—b=0<所以£.方=，所以

ab|歼1兀

c0'=Z雨='而=5'所以"与'的夹角为故选民

点评：对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公

式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为［0,兀］.

7.数列｛q｝是等差数列，S”为其前〃项和，且“<0,<0,

«2020-a202a0，则使S"＜0成立的最大正整数〃是()

A.2020B.2021C.4040D.4041

答案：C

分析出%)20＜。，4021＞。，计算得出§4041＞。，S4Mo＜0,即可得解.

解：设数列｛%｝的公，差为d,由＜。，。2020+/021＜。，。2020，"202]＜。，

可知4020＜。，《2021＞。，所以"〉0,数列｛4｝为递增数列，

5.=竺"竽城=404孙阳＞0，

S4Mo=2020(4+4040)=2020(033+%)2])＜0,所以可知〃的最大值为4040.

故选：C.

点评：关键点点睛：本题求满足S“＜0的最大正整数〃的值，关键就是求出S“＜0,

s„+1＞0时成立的〃的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解.

8.下图为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是()

2i

A.\27raB.6兀a?C.37toD.

答案：C

由三视图还原几何体，利用补体求几何体外接球的表面积.

解：根据三视图可知，该几何体为如图正方体中的三棱锥A-8CO,

正方体的棱长等于a,三棱锥的外接球就是正方体的外接球，

所以外接球的直径2H=ga，

因此外接球的表面积为S=4〃/?2=，

A

故选:C.

9.过点A(T,-1)作圆。：。-2)2+(丁-1)2=4的一条切线人13,切点为B,则三角形

ABC的面积为()

A.2710B.6x/10C.12D.6

答案：D

求出圆心、点A两点间的距离，再由|A@=可,结合三角形的面积公式即可

求解.

解：因为圆心C坐标为(2,1),所以|AC|=J(_4_2)2+(_]—l)2=2回,

所以|AB|=y)\ACf-r2=140-4=6，

因此SABC=^\AB\-\CB\=^X6X2=6.

故选：D.

10.将函数/(x)=sinx+J§cosx图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右

平移、个单位长度，得到函数g(x)的图象，则该函数在[0,乃]上的单调递增区间是()

「八rc57r7i7i

A.[0,K]B.0,—C.一,—D.一，1

_6J\_66J\_6

答案：B

先化简/(x)的解析式，再利用三角函数图象的伸缩和平移变换即可求出g(x)的解析

式，再由正弦函数的单调区间即可求解.

/兀、

解：/(x)=sinx+V3cosx=2sinx-\——,

\3)

(1兀,

将其图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍得/z(x)=2sin,

(23

TT17C

再向右平移5个单位长度后得到g(x)=2sin—Xd--

212

令2k兀――<—x+—<2k7r+—,keZ,

22122

7JTSTT

得4k兀----<x<4k7r+--,（左£Z）,

66

/,八，口7乃5乃

令左=0,得——<%<——,

66

因为所以xe0,—,

57r

所以函数g(x)在［(),句上的单调递增区间是o,y,

故选：B.

点评：方法点睛：已知三角函数的解析式求单调区间

先将解析式化为y=Asin®x+e)(A＞0,&或y=Acos(azr+0)(A＞0,切＞0)

的形式，然后将。X+尹看成一个整体，根据丫=$出》与'=。05》的单调区间列不等式

求解.

11.已知圆O：Y+y2=/什＞0)与*轴的交点为人、B,以A、B为左、右焦点的

22

双曲线C:二—？=1(。＞0力＞0)的右支与圆。交于尸、。两点，若直线PQ与X轴

的交点恰为线段AB的一个四等分点，则双曲线的离心率等于()

A.6+1B.2百一1C./上1D.2—二1

22

答案：A

根据已知条件得出c=r,求出|/%|、|。同，利用双曲线的定义可得出关于。、c所满

足的等式，由此可求得双曲线的离心率.

解：由题意可知尸。为。8的中垂线,

因为点A、3的坐标分别为(―r,0)、(r,0),所以P。方程为x=],

2

联立《2,解得，

222+百

x~+y=r~y=±——r

2

所以双曲线的焦距为2c=2r，即。=厂,

e~—~______=+]

所以双曲线的离心率aV3-1'.

2

故选：A.

点评：方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

(1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得。、C的值，根据离心率的定义求解离

心率e的值；

(2)齐次式法：由已知条件得出关于。的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解;

(3)特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

12.若函数/(x)=m—f+2inx在5,e上有两个零点，则实数m的取值范围为()

A.(l,e2-2]B.4+—,e2—2

e

C.fl,4+—D.[l,+8)

答案：C

令g(x)=f—21nx,判断g(x)的单调性和极值，根据g(x)=，〃有两解得出机的范

围.

解：令/'aOum-f+ZlnxuO,则帆=工2-21nx，

令g(x)=x2—21nx,则由g'(x)=2x_2=2(♦1)"+。知,

XX

g(x)在《』上单调递减，在［l,e］上单调递增,

/I\I

且[g(x)Ln=g6=Lg—=4+丁g(e)=e?_2,

ke7e

...1,1)

•4+—<5c,e~-2>5»»・・g<g(e)，

e

所以若函数/(x)在5，e上有两个零点,

则实数m的取值范围为［1,4+5

故选：C.

点评：方法点睛：求解函数零点问题可转化为构造函数g(x)=f-21nx,g(x)=m

有解，利用导数判断g(x)的单调性和极值，最值问题.

二、填空题

13.己知样本5,6,7,a,b的平均数为7,方差为2,则出?=.

答案：72

根据平均数以及方差的计算公式列方程，解方程即可求解.

解：因为样本5,6,7,a,b的平均数为7,

所以5+6+7+。+匕=35,。+。=17,

由方差定义可得;[22+F+()2+3-7)2+(。—7>]=2,

即。2+/一14。—1助+93=0,

即(a+b)2-2ab—14(a+b)+93=0,

将Q+〃=17代入，W-ah=12.

故答案为：72

14.曲线/(x)=xe*-cosx在(0,-1)处的切线方程为.

答案：y=x-\

求导得到r(x)=e*(l+x)+sinx,计算尸(0)=0,利用点斜式即可得到答案.

解：由f(x)=xeA-cosx：

f'(x)-eA(l+x)+sinx,(0)=e。+sin0=1,

因为切点(0,-1)在曲线上，

所以所求切线方程为y+l=x,即y=x-l.

故答案为：y=x-\.

x+y>Q

15.变量x,y满足约束条件—2y+2N0,若z=2x+y的最大值为2,则实数

rnx-y<Q

m=.

答案：3

\x+y>0

先画《；cc表示的区域，作出直线/：2x+y=o,向上平移直线/时，

[x-2y+2>0

z=2x+y增大，再作直线，nr-y=0,根据机的范围，确定可行域，观察z能否取

到最大值，然后由最大值为2可求得机.

x+y>0

解：先画《；cc表示的区域，作直线/：2x+y=0,直线z=2x+y中z表示

x-2y+2>0

直线的纵截距，向上平移直线/时，z=2x+y增大，作直线加一y=(),分析可知,

当初•时，z=2x+y没有最大值2；

当机>)忖，目标函数对应的直线z=2x+y过直线如一y=0和x-2y+2=0的交

22m、

点时，取最大值,

2m-1'2m-1>

代入2x+y=2,解得加=3.

故答案为：3.

16.对于函数/0)=5指刈0051+85%加11乂，下列说法：

①函数/(X)是奇函数；

②函数/(X)是周期函数，且周期是)；

③函数“X)的值域是［-2,2］；

④函数/(X)在(2匕r,(+2匕，(％eZ)上单调递增.

其中正确的是.(填序号)

答案：④

利用奇偶性定义以及诱导公式可判断A；利用周期的定义以及诱导公式可判断B；讨论

sinx,cosx的符号，去绝对值，利用二倍角公式以及三角函数的性质可判断C：由式的

取值范围可得〃x)=sin2x,从而可判断D.

解：；f(-x)=sin(-x)-|cos(-x)|+cos(-x)­|sin(-x)|

=-sinx•|cos.+cosx•|sin.H-/(x),

.•./(x)不是奇函数，①不正确；

/(x+^)=sin(x+^-)-|cos(x+^)|+cos(x+^)-|sin(x+^)|

=—sinx-|cos%|—cosx-|sinx|/(%),

但是〃1+2万)=sin(x+2^,)­|cos(x+2^)|+cos(x+2^)•|sin(x+2^)|

=sinx-|cos^4-cosx-|sin^|=/(x),

所以f(x)是周期函数，但是"不是它的周期，故②不正确；

当sinx^O,cosxNO时，/(x)=sinx-cosx+cosx-sinx=sin2xe[0,1],

当sinx.cosxv()时，/(x)=0；

当sinx<0,cosx<0时，

/(x)=sinx•(-cosx)+cosx•(-sinx)=-sin2xG[-1,0],

所以函数值域为[-1[],故③不正确；

当+eZ)时,/(x)=sin2x,显然单调递增，因此④正确.

故答案为：④.

三、解答题

17.已知数列｛。〃｝满足乌==dn+2a〃,nwN*.

(1)求数列｛«7｝的通项公式;

⑵设2=近数列也｝的前n项和S“，求证:

S〃<L

答案：(1)an=Vn•dn+1(nGN);(2)证明见解析.

(1)根据递推关系式，由累乘法即可求解.

(2)利用裂项相消法即可求解.

解：(1)由\[ruin+i=Jz?+,得-」厂,

an

.&&q=73V4^5品7^71_而7^71

..%的-「T.后7ry/n-2\fn-lV2

Vax=V2,I.=G・y/n+l(neN).

.+1—yn+l—11

(2K)由(z1x)得b,产、-----=i/=~r一"l=f

a,iyln^n+\5vn+l

：.S"=b]+瓦+…+b”

yjiV25/2y/syfnG+ly/n+l

当〃eN*时，；*7i=>0，即证.

W+1

点评：结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型:

等差型」一=!1、

(1)——，其中｛风｝是公差为d(dHO)的等差数列;

dan+\J

无理型=而「品

(2)1

dn+Nn+kk

(3)指数型(a—l)a"=a"+i—优；

(4)对数型log受=崛—.

18.如图，在三棱锥A—BCD中.43_L平面BCD,NBC£>=90°，BC=CD=1,

AB=5E,F分别在AC,AD±,旦EFHCD.

(1)求证：平面3EFJ•平面ABC；

(2)若多面体EFBCD的体积等于、二，求EF的长.

9

答案：(1)证明见解析；(2)型.

3

(1)由0CJ.8C得到。CJ_平面ABC,

由EF//CD得到EF1平面ABC可得答案；

(2)由己知得到三棱锥A—3EF的体积，由三棱锥A—6CO与三棱锥A—3EF是同

高的三棱锥，体积比等于它们底面积的比可得答案.

解：(1)：A8_L平面BCD,COu平面BCD,

ABVCD,VDCIBC,BClAB=B,

且6C,ABu平面ABC,，。。_1_平面八8(：,

:EF//CD,EF±平面ABC,

EFu平面BEF,；.平面BEF±平面ABC.

(2)由题意知三棱锥A-6CO的体积为

V=-S„rn-AB=-xlxlxlxV3=-)

3BCD326

多面体EFBCD的体积等于苴,

9

三棱锥A-BEF的体积等于"—一""~,

6918

•.•三棱锥A-BCD与三棱锥A-BEF是同高的三棱锥，体积比等于它们底面积的比,

.SAEF=VR-AEF_X

SACD^B-ACD3

S.叫后产=1,

■:EF//CD，

SACDCD3

EF=—CD=-.

33

点评：本题考查了由线面垂直证面面垂直及棱锥的体积问题，求棱锥的体积有时可以利

用等体积转化使运算量减少，考查了学生的空间想象力和转化能力.

19.若一正四面体的四个面分别写上数字1,2,3,4,设m和n是先、后抛掷该正四

面体得到的底面上的数字，用X表示函数/(尤)=》2+g+〃零点的个数.

(1)求X=0的概率；

(2)求在先后两次出现的点数中有数字3的条件下，函数有零点的概率.

93

答案：(1)—；(2)—.

(1)基本事件就是(〃?,”)，用列举法写出所有的有序数对(〃?,〃)，同时得出方程无实

数解的(机,“)，计数后可得概率；

(2)写出含有3的有序数对(加,〃)，求出对应函数有零点的(/〃,〃)，计数后可得概率.

解：(1)由题意，设基本事件空间为。={(m,〃)|加=1,2,3,4;n=1,2,3,4},则

0={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3.2),(3,3),(3,4),(4,1),

（4,2）,（4,3）,（4,4）｝，则Q中共有16个基本事件；

设函数/（x）=X2+mx+n零点的个数为0个时为事件A,则

4=｛（，”,〃）|m=1,2,3,4;〃=1,2,3,4;且〃，一4〃＜（）｝,即

A=｛（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1.4）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,3）,（3,4）｝,则A中有9个基本事

件；

9

所以X=0的概率P（X=0）=7.

16

（2）设先后两次出现的点数中有数字3为事件D,则

Q=｛（1,3）,（2,3）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（4,3）｝,故D中有7个基本事件，

设先后两次出现的点数中有数字3的条件下，函数有零点的事件为E,则

£=｛（3,1）,（3,2）,（4,3）｝,E中有3个基本事件，

3

所以先后两次出现的点数中有数字3的条件下，函数有零点的概率为,•

点评：关键点点睛：本题考查古典概型，解题关键是事件空间的理解.写出事件空间中

的所有基本事件.本题实质就是由L2,3,4构成的一个有序数对（加,〃）为一个基本事件,

从而易用列举法写出所有基本事件，并得出满足条件的基本事件.

20.已知椭圆三十[=1（。＞0＞0）过点B（虚,1）,且离心率为Y2.

（2）设经过椭圆右焦点F的直线1交椭圆于C,D两点，判断点尸7a,0与以线段

（2）

CD为直径的圆的位置关系，并说明理由.

22

答案：（1）二+2=1；（2）答案见解析.

42

（1）解由点的坐标代入椭圆方程、离心率和/、b\c?之间的关系组成的方程组可得

答案；

（2）讨论直线的斜率，求出圆心坐标和圆的半径，利用P点到圆心的距离和圆的半径

比较大小可得答案.

解：（1）由已知，点在椭圆上.

21,

L记=1

因止匕</一〃=。2,解得a=2,b=五.

c_>/2

.a2

x22

所以椭圆的方程为'>+±v=1.

42

（2）设点C（%,y）,D（^x2,y2）,CD中点为0（%,%）.

椭圆的右焦点为（后,0）,当直线CD斜率为零时，点P显然在圆外;

当直线CD斜率不为零时，设直线CD的方程为％=如+也，

x=Ky±\iz,

由,f,得（储+2））J+2技y-2=0,

--+--=1

142

「厂I、I20左2

所以>]+%=-”■二，,为2

K+2k+2'

从而为=—金幺・

■°公+2

/a\2

所以|QP「=x0--V2

=（公+i）y：-低Xo+g.

卬『_（3一工2）+（3-%）=（公+1）（凶一%）2

444

=（公+1心；-%>2）,

故IQP「一呼=（1+公）北--正⑥o+g_（/+1）（尤_,％）

=—也6。+仅2+1）%必+《=士—竺士+LI

k2+2k2+222付+2）

当女€(-00,-夜)(J("+00)时，

(3五、

点P,0在以CD为直径的圆的外部；

I2]

(3五)

当女=夜或女=-夜时,点尸-z-，0在以CD为直径的圆上；

(3五>

当壮(-后&)时，点P1拳,0)在以CD为直径的圆的内部.

点评：本题考查了椭圆的方程、点和圆的位置关系，关键点是求出圆心和半径，利用P

点到圆心的距离和半径比较大小，考查了学生分析问题、解决问题及转化的能力.

、f-x3+x1+bx+c,x<\24

21.已知函数/(x)=<,当x=；时，函数有极值丁.

amx-\-a,x>1327

(1)求实数b、c的值；

(2)若存在XoW—1,2],使得./•(不)23•一7成立，求实数a的取值范围.

答案：(1)b=0,c=0；(2)a<------.

2—In2

24

(1)X<1时，f\x)=-3x2+2x+b,利用当x时，函数/(X)有极大值方，建

立方程，即可求得实数Ac的值；

(2)存在天使得了ajNSa—7成立，等价于xe[-l,2],使得

/(x),ia>3a-'成立，分类讨论，求出函数的最大值，即可求实数。的取值范围.

解：(1)由已知当x<l时，/1'(x)=-3x2+2x+b,

则/>{1)=—3x1|)+2X|+/7=0,所以匕=0,

所以c=0.

(2)因为存在％w[T,2],使得使(土)之3。一7成立,

所以问题可转化为：与［一1,2］时，/0)2»3。—7,

c,.一d+X-,X<1

由⑴知/(X)=\

a\nx-^-a,x>l

①当—1WX<1时，f(%)——3炉+2x=-3xx——I,

、3)

2

令/'(x)=。得x=0或x=§；

、22

一l«x<0时，/f(x)<0,0<x<§时，/'(x)>0,]<x<l时，/,(x)<0,

(2、「2一

所以〃尢)在(—1,0)和.』上单调递减，在0,-上单调递增，

又"-1)=2,/(0)=0,

所以当一14x<l时，/(%)皿=223。-7,得“M3.

②当时，f(x)=a\nx+a,

当a=0时，/(%)=O2—7成立；

当a>0时，F(x)111ax=/(2)=aln2+aN3a—7,

7

所以0<a4

2-ln2

当〃<0时，/⑴皿=〃1）=在3a-7成立，所以"0.

7

综上可知：a的取值范围为aW--------.

2-ln2

点评：关键点睛：存在鼠[一1,2],使得./•（不）23。—7成立等价于等价于xe[-1,2],

使得了（©a23a-7成立,分类讨论求得最值.

22.已知在平面直角坐标系xOy中，直线1过点M（0,l）,倾斜角为C,以。为极点，

x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系