2022年辽宁省高考数学联考试卷（3月份）（学生版+解析版）

2022年辽宁省高考数学联考试卷（3月份）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.(5分)己知全集。=[-1,3],集合2],贝iJCu(AG8)=()

A.[-1,0JU(2,3JB.[-1,0Ju[e,3]C.[-1,0)U[2,

3]D.[-1,0]U(2,e]

2.(5分)已知复数z满足（1-i）2z=2+2i,则z-Z=（）

A.2B.0C.-1+zD.2i

3.(5分)己知X埸是函数=xln（2x）,则实数a的值为（)

A.1B.且C.2D.e

2

4.(5分)已知2tan0+3=」82：,贝ijtan0=()

i+cos2y

A.-4B.-3C./D.」

33

5.(5分)某市政府部门为了解该市的“全国文明城市”创建情况，在该市的12个区县市

中随机抽查到了甲、乙两县，考核组对他们的创建工作进行量化考核.在两个县的量化

考核成绩（均为整数），得到如图数据（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间

的值均取该区间的中点值）.关于甲乙两县的考核成绩（）

甲县样本数据条形图乙县样本数据频率分布立方图

A.甲县平均数小于乙县平均数

B.甲县中位数小于乙县中位数

C.甲县众数不小于乙县众数

D.不低于80的数据个数，甲县多于乙县

6.（5分）已知Fi,尸2是双曲线C：—=1（a>0,b>0）的两个焦点，C的离心率

2,21

ab

为5o,yo）在C上，pF；•PF0,则刈的取值范围是（）

A.（-3〃，3a）B.（-3a,-a]U[a,3。）

C.（1a）D，（--o]U[〃‘1a，

DDDD

7.（5分）勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高定理.汉代数

学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，

如图1）（如将C4延长至。）得到图2.在图2中，若AO=534IU，D,E两点间的距

离为百而，则弦图中小正方形的边长为（）

23

8.（5分）设函数f（x）=221/+（2'sin«-3）x（aeR）图象在点（1,/（D）处切线为

/（）

A.—B.—c.D.

4364

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9.（5分）已知函数/（x）=xcosx-sinx,下列结论正确的是（）

A./G）是以如为周期的函数

B./（x）是区间m，2TT]上的增函数

C.f（x）是R上的奇函数

D.0是/（x）的极值点

（多选）10.（5分）已知某种袋装食品每袋质量（单位：g）X〜N（500,16）.P（[L-o

VxWu+。）,P（n-2o<xWu+2。）=0.9545,P（p-3。<XWu+3。）=0.9973（）

A.o=4

B.P（496VXW504）=0.9545

C.随机抽取10000袋这种食品，袋装质量在区间（492,504]的约8186袋

D.随机抽取10000袋这种食品，袋装质量小于488g的一定不多于14袋

（多选）11.（5分）记数列｛.｝的前〃项和为S,已知$n=an2-4an+b，在数集｛7,。，

1｝中随机抽取一个数作为〃，0,3｝中随机抽取一个数作为从在这些不同数列中随机抽

取一个数列仅“｝,下列结论正确的是（）

A.｛“〃｝是等差数列的概率为工

3

B.｛斯｝是递增数列的概率为2

9

C.｛“"｝是递减数列的概率为工

3

D.Sn^S2（”€N*）的概率为工

3

（多选）12.（5分）如图，在三棱柱ABC-A\B\C\中，平面ACC\A\_L平面ABC,AiA^AiC.E,

产分别是线段AC,AiBi上的点.下列结论成立的是（）

A.若A4=AC,则存在唯一直线EF,使得EFL41c

B.若AAi=AC,则存在唯一线段EF,使得四边形ACO4的面积为2®EF2

3匕

C.若AB_LBC,则存在无数条直线EF,使得EFLBC

D.若A8LBC,则存在线段EF,使得四边形321cle的面积为BUEF

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）已知向量a与b的夹角为乙，lal=l，a«a+b），则lbl=.

3

14.（5分）在（x手了的展开式中，4的系数为28,贝.

"nX-a40

15.（5分）已知函数f（x）J'，关于x的不等式/（x）勺（2）,若理（-

2吟x>0

8,2].

22

16.（5分）已知椭圆Ci：1丁―二1（0<Z?<2）的离心率为JL,为和五2是。的左、右

1

4R29

*b乙

焦点，P是Ci上的动点，点Q在线段F1P的延长线上，|PQ|=|PF2|,点。的轨迹C2方

程是,线段在2Q的垂直平分线交C2于A,8两点，则的最小值是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.(10分)共享单车是指企业与政府合作，在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业

区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态.为了研究广大

市民在共享单车上的使用情况，得到如下数据：

每周使用次数1次2次3次4次5次6次及以上

男866141660

女1210881240

合计2016142228100

(1)如果认为每周使用超过3次的用户为“喜欢骑行共享单车”，请完成2X2列联表:

不喜欢骑行共享单车喜欢骑行共享单车合计

男

女

合计

(2)判断能否有97.5%的把握认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关？

附表及公式：K2=-7----、尸(ag-pc)、,---,n—a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(片2依)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k)2.0722.7063.8415.0246.6357.879110.828

18.(12分)记正项等差数列｛a“｝的前"项和为S”，已知m=l,a2a3=S5.

(1)求数列｛小｝的通项公式；

(2)已知等比数列｛氏｝满足历=41,历=42,若历"=4782,求数列｛为｝前，"项的和

19.(12分)已知函数y=Asin(cox+cp)(A>0,a)>0,@<弓_)的部分图象如图，

将该函数图象向右平移匹,再把所得曲线上的点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，

12

得到函数f(x)(x)=f(x)-sinr.

(1)求函数g(x)的最小正周期T；

(2)在△ABC中，AB=6,。是8c的中点设NBAC=0,cosOCO,g(0)=^-

20.(12分)如图，己知△ABE是正三角形，BC=2AB=2AD=2EF,AD//BC,AD//EF,

BC=4BG«DC=4DH.

(1)求证：平面尸G”!"平面FDC；

(2)求平面FGQ与平面FGH所成锐二面角的余弦值.

(1)若函数/G)有两个极值点，求实数k的取值范围;

(2)证明：当〃WN"时,_1_+_2_+_?__+…+-----2-----<1.

2232e42e2(n+l)2en-1

22.(12分)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F,M(4,yo)是抛物线C上的点,

。为坐标原点，CosZOFM=^|-

5

(1)求抛物线C的方程；

(2)P(a,b)(a^O)为抛物线C上一点，过点P的直线/与圆(%-3)2+/-1相切，

这样的直线/有两条，它们分别交该抛物线C于A,8(异于点P),当以|=|PB|时，求

实数a的值.

2022年辽宁省高考数学联考试卷（3月份）

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.(5分)已知全集〃=[-1,3],集合A={M阮vVl}，2],则Cu(ADB)=()

A.[-1,0]U(2,3]B.[-1,0]U[e93]C.[-1,0)U[2,

引D.[-1,0]U(2,e]

【解答】解：因为A={R/nrVl}={邓)VxVe},

又集合8=[-5,2],

AQB=(0,4],

所以Cu(AGB)=[-1,0]U(4.

故选：A.

2.(5分)已知复数z满足(1-z)2z=2+2i,则z・z=()

A.2B.0C.-1+zD.2i

【解答】解：由复数z满足(1-i)2Z=7+2Z,

则Z=2+3j-=-l+z,

-2i

贝！Jz・^=|z|3=(-1)2+82=2,

故选:A.

3.（5分）已知乂=|■是函数/（X）=xln（2x）,则实数。的值为（）

A.1B・且C.2D.e

2

【解答】解：/(x)=ln(2x)+1-a,

〈x底是函数f(x)=xln(2x)-融的极值点,

3

.\lne+\-a=3,解得〃=2,

验证：f（x）=ln（2x）-4,f，仔）=0,

xe（4,且）时，此时函数f（x）单调递减且，+8）时，此时函数f（x）单调递增.

22

.•・乂得是函数/（工）=力勿（2x）-办的极小值点，

故选：C.

4.(5分)已知2tan8+3=「1"2?，则tanO=()

l+cos2

A.-4B.-3C.WD.，

33

【解答】解：因为2tan8+3二5上］♦=细边^g-二tanO,

Zl+cos292cos26

所以tan0=-3.

故选：B.

5.（5分）某市政府部门为了解该市的“全国文明城市”创建情况，在该市的12个区县市

中随机抽查到了甲、乙两县，考核组对他们的创建工作进行量化考核.在两个县的量化

考核成绩（均为整数），得到如图数据（用频率分布直方图估计总体平均数时.，每个区间

的值均取该区间的中点值）.关于甲乙两县的考核成绩（）

乙县样本数据频率分布it方图

A.甲县平均数小于乙县平均数

B.甲县中位数小于乙县中位数

C.甲县众数不小于乙县众数

D.不低于80的数据个数，甲县多于乙县

【解答】解：由条形图可知，甲样本的平均数：

57X2+58+59+67+68X2+69X4+79X6+87+88X6+89+98〃,„

x甲=---------------------------玄---------------------------=74.8，

中位数：79,众数：79；

由频率分布直方图可知，一样本的平均数：

彳乙=55X10X0.02+65x1QX0.025+75X1QX2.03+85X10X0.02+95X10X0.005=71*74.8

中位数：设中位数为x中,由0.02X10+5.025X10=0.45<0.3,0.02X10+0.025X10+6.03

X10=0.75>0.8,

故中位数x中日70,80)中-70)X0.03=0.3,

解得x中弋71.67<79,众数x众日70,80）且x众6N+,即71Wx众W79,

不低于80的数据共20X10X0.005=1,

所以A,B,。选项错误，

故选：C.

6.（5分）己知Q,也是双曲线C：=1（«>0,b>0）的两个焦点，C的离心率

2,21

ab

为5o,川）在C上，PF；6则M的取值范围是（）

A.（-3。，3a）B.（-3〃，3a）

C.）D.（--t/]u[af

【解答】解：设C的焦距为2c,离心率为e.

4

2X0

=b/

当PF；.PF；=O时,由平面几何知识得（C-XO）（C+X5）xl-2

a

23

解得X2=.」（生=a（2e-l）

x252

ce

25

根据双曲线C上点的横坐标的取值范围以及平面向量内枳的几何意义可知，

当PF；，PF：<2时，实数知的取值范围是（一ga,-a]U[a,

iz65

故选：D.

7.（5分）勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高定理.汉代数

学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，

如图1）（如将CA延长至£>）得到图2.在图2中，若AO=53dIU，D,E两点间的距

离为J还，则弦图中小正方形的边长为（）

图I图2

A.近B.22/2.c.1D.2

23

【解答】解：设中间小正方形的边长为x,CA=y,

在△(7£>£中，(y+5)2+(y-x+8)2=145)①

在△BC£)中，(y-x)"(y+5)2=②

①-②相减可得y-x=3,代入②，x=8,

...中间小正方形的边长为1.

故选：C.

8.(5分)设函数/(x)=29-1/+(2-sin«-3)x(aeR)图象在点(1,/(D)处切线为

/()

A.2LB.2LC.5兀.D..37T.

4364

【解答】解：由/(X)=2%"+(2'sin«-3)X(aeR),

得，(x)=5sinax+(2-sina-3)(aGR),

sinasinasin，x

则/'(1)=2+(2'-3)=7H一i---7,

2sma

VsinaG[-1,l]sin«G[Z,2],

2

则1皿=25近导&-4》丹•基金一8,

当且仅当2$皿。=~、一，即sina=O时等号成立.

6sm

(tan。)min--1,又tanOnzsea1——

2sma

贝|J/的倾斜角e的最小值是”.

4

故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得()分.

(多选)9.(5分)已知函数/(x)=xcosx-sinx,下列结论正确的是()

A.于(x)是以2n为周期的函数

B.f(x)是区间[TT,2n]上的增函数

C.f(x)是R上的奇函数

D.0是/(x)的极值点

【解答】解：f(x)=xcosx-sinr,f(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,

对于A,因为/(O)=0,所以A错；

对于8,因为当X6[7T,/(x)--xsiur>O,8n]上的增函数；

对于C,因为/(-x)=-xcos(-x)-sin(-x)=-f(x)；

对于。，由C知.

故选：BC.

(多选)10.(5分)已知某种袋装食品每袋质量(单位：g)X〜N(500,16).P(H-o

<x^H+o),PC[i-2o<后叶2。)=0.9545,P(u-3。<XWn+3。)=0.9973()

A.o=4

B.P(496VXW504)=0.9545

C.随机抽取10000袋这种食品，袋装质量在区间(492,504]的约8186袋

D.随机抽取10000袋这种食品，袋装质量小于488g的一定不多于14袋

【解答】解：对于A,•.♦袋装食品每袋质量(单位：g)X〜N(500,

。=4,故A正确,

对于5,P(496VXW504)=P(500-4<XW500+8)=P(p-。VxWp+o)=0.6827,

对于C,(500VXW504)=lp(496<X<504)=yX2.6827=0.34135-

P(492VXW500)=1P(n-2o<x^n+2o)=AXo.9545=6.4772日

42

：.P(492VXW504)=P(492VXW500)+P(500<XW504)=0.8186,10000X0.8186

=8186,

故随机抽取10000袋这种食品，袋装质量在区间(492,故C正确，

对于P(XW488)=1[1-1(1-8.9973)=0.00135>

10000X0.00135=13.6,

故随机抽取10000袋这种食品，袋装质量小于488g约为13.5袋.

故选：AC.

(多选)11.(5分)记数列｛〃”｝的前"项和为S“已知Sn=an2-4an+b，在数集｛-1，。，

1｝中随机抽取一个数作为m0,3｝中随机抽取一个数作为"在这些不同数列中随机抽

取一个数列｛斯｝,下列结论正确的是()

A.｛.｝是等差数列的概率为工

3

B.｛斯｝是递增数列的概率为2

9

C.｛〃"｝是递减数列的概率为工

3

D.Sn》S2（«GN*）的概率为工

3

【解答】解：：Sn=an2-4an+b，二当"=2时，a\=h-3a,

当〃>3时，-S”-1=2a〃~6a,

若｛。〃｝是等差数列，则2aX1-3a=b-3a,

・•・在数集｛-3,3,3｝中取到0即可且故A正确；

3

若｛。〃｝是递增数列，则。=12<。2,即〃-3〃V-m解得b〈6a,

：.b=-3或b=0,

...｛板｝是递增数列的概率为3x2=2,故B正确；

369

与证明B的结论同理得到C错误；

由已知得Sn=a（"-6）~+b-4a,

若a=5,则S”=",满足S”》S2,概率为卫，

5

若q¥o,S2是S”的最小值，则a--6—,

3

；.S"2S3的概率为工4=2,故。错误.

337

故选：AB.

（多选）12.（5分）如图，在三棱柱ABC-481cl中，平面ACC1A1L平面ABC,AiA=AiC.E,

尸分别是线段AC,A181上的点.下列结论成立的是（）

A.若A4i=AC,则存在唯一直线EF,使得EF_LAC

B.若A4=AC,则存在唯一线段EF,使得四边形ACCM1的面积为Z/EF2

C.若ABL8C,则存在无数条直线EF,使得EF,2c

D.若则存在线段ER使得四边形8B1C1C的面积为BC・E尸

E

A

【解答】解：如图所示：占卜,6

因为AN=AC,则平行四边形ACCM3是菱形，

则ACi_L4C,作B5O_L4CI,

因为平面4CC54_L平面ABC,

所以8i0,平面ACC64,

则B\OLAiC,

过。作BiO的平行线，与A48I交于点G,

贝I」CIG±A8C,

又CIGAACI=C2,

则4C_L平面AC1G,

在AB上取一点“，作“E_LAC,HF//AGAC,ASi上于点E,F,

易得HE〃平面ACiG,HF〃平面4c5G,又HECHF=H,

所以平面〃平面4OG,

则AiC_L平面HEF,

所以A5CLEF,因为点//有无数个，所以有无数条直线EF,使得EFLAC,故A错误;

如图所示：

若AAi=AC,则△ACA8是正三角形,

设E是AC中点，尸与4重合,

贝I]EFVAC,

4

:平面AC。A5_L平面ABC,

；.EF_L平面ABC,

平面A\B\Cf).

：AiBiu平面45B1C1,

•••当E不是AC中点，或产不与小重合时，线段EF的长度将增加14的面积不再等于互应

3

EF1,故B正确；

如图所示：

当

若ABLBC,设E是AC中点，

记5c中点为G,

贝|JBCJ_EG.由结论B知AiEJ_BC,

，BC_L平面EGAi.

由于EG〃AB,AB//AiB\,

即EG//A\B1,

二直线EG与AiBi确定的平面就是平面EGAs.

...尸为线段481上任意一点，都有ERLBC；

如图所示：

设E是AC中点，尸是A3B1中点,

记C1B7中点为H,

WOFH//A\C\,FH=L\ICG.

2

又EC〃AiCi,EC=JIC2,

2

：.FH//EC,FH=EC,

四边形EFHC是平行四边形，

：.CH//EF,CH=EF.

根据结论C,BC±EF,

J.BCLCH,

平行四边形BBICIC的面积为BC-CH,

即四边形888cle的面积为BUER所以。正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）已知向量a与b的夹角为々，lal=l，a«a+b），则lb尸2.

3

【解答】解：因为向量a与b的夹角为-士，la，a«a+b，

3

—♦«—•—♦—♦♦，・—•—•TT

所以a+a'b=5allba，b>=lblcos——，

3

解得Ibl=6.

故答案为：2.

14.（5分）在（x手了的展开式中，％5的系数为28,则

【解答】解：展开式的通项公式为拼i=C§x&r（-辞）r=C$・（_八）、8.，

令8-立>=5，解得r=3,

2v

则?的系数为耳.（-/7）2=28,

故答案为：1.

"nX-aYo

15.（5分）已知函数f（x）J'，关于x的不等式f（x）W/（2）,若正（-

2x4a,x>0

8,2]（-8,-1）.

【解答】解：由题意得：当”20时，x-a^x+a,0]和（5,

.••关于X的不等式/（X）勺（2）的解集是（-8,2]；

当a<0时，4工>2。，由于/（x）在区间（-8,0]和（2,

所以要使/（x）W/（2）的解集/满足正（-8,2],

则必须2-a>/（2）=32+",解得a<-\,

故实数a的取值范围（-8,-4）,

故答案为：（-8,-1）.

22

16.（5分）已知椭圆Ci：—+2_=i（0V6V2）的离心率为工，为和放是Ci的左、右

2

*4bu乙2

焦点，P是Ci上的动点，点Q在线段FiP的延长线上，\PQ\=\PF2\,点Q的轨迹C2方

程是（*+1）2+、2=16,线段尸2。的垂直平分线交C2于A,B两点，则|A用的最小

值是_2\C_.

【解答】解：由条件得生且-=>1,."2=3,.•.椭圆Ci的方程是工•二=]

4446

：.Fi（-2,0）,Fl（6,0）1尸的延长线上,\PQ\=\PF3\,

所以炉1Q|=|F1P|+|F5Pl=4,

；.C2是以尸5为圆心，以4为半径的圆2+y2=i6.

因为HBI的最小，所以圆心F\到弦4B的距离最大，

即当P为椭圆的右顶点时，IA8I取得最小值（在圆的方程中取x=2,

且最小值为63-82=瓶

故答案为：（x+1）2+/=16；2V7.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.（10分）共享单车是指企业与政府合作，在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业

区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态.为了研究广大

市民在共享单车上的使用情况，得到如下数据：

每周使用次数1次2次3次4次5次6次及以上

男866141660

女1210881240

合计2016142228100

(1)如果认为每周使用超过3次的用户为“喜欢骑行共享单车”，请完成2X2列联表;

不喜欢骑行共享单车喜欢骑行共享单车合计

男

女

合计

(2)判断能否有97.5%的把握认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关？

附表及公式：K2=1---1(aq—?c)---,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(启依)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

to2.0722.7063.8415.0246.6357.879110.828

【解答】解：(1)由图中表格可得2X2列联表如下:

不喜欢骑行共享单车喜欢骑行共享单车合计

男2090110

女306090

合计50150200

(2)将6X2列联表中的数据代入公式计算得

2_n(ad-bc)4200(90X30-60X20)2〜〉

K(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)50X150X110X908,067,024

所以有97.5%的把握认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关.

18.(12分)记正项等差数列｛如｝的前〃项和为S,已知m=l,〃2〃3=S5.

(1)求数列｛板｝的通项公式；

(2)已知等比数列｛加｝满足历=。2,若%=4782,求数列｛氏｝前"2项的和刀〃.

【解答】解：(1)设正项等差数列｛〃〃｝的公差为d2O,Vai=2,4243=S4,

...(1+J)(1+7J)=5+^2£^/,解得d=4.

2

=3+4(n-1)=5n-3.

(2);等比数列｛b〃｝满足加=06,历=42,

.•・历=。1=1,加=。2=5,

二•公比g=6,***bn=5n

•:如?=〃782,

・,.8〃厂1=4X782-8,解得m=6,

二数列｛加｝前6项的和乃=善*=3906.

19.(12分)已知函数y=Asin(3x+(p)(A>0,3>0,。<卫_)的部分图象如图,

将该函数图象向右平移三,再把所得曲线上的点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),

12

得到函数f(x)(x)=f(x)*sinx.

(1)求函数g(x)的最小正周期T；

(2)在△48C中，48=6,。是BC的中点设/54c=仇cos6<0,g(0)

ox—4Anr+-2L,

122

・/兀・_兀兀

n),f(x)=sing),

833

Vsiarsin(x+-2I_)=siar^cosx)

632

-V8(l-cos2x).1.

、~rsin4x

84

=1.

一qsin

"-g(X)sin(4x^—

236

/.T=u.

(2),：g(6)=返，Asin(68工，

43

Vcos0<O,B|j2L<0<Jl>A0=-

33

设3c=4"?,AC=x,

*/N4O8+NAOC=n,AcosZADB+cosZADC=0,

；AB=6,AD=A/19>

827

分别在△AOB和△4DC中，由余弦定理得19+*二36+19+”x

2vl9m2vl9m

4m6=2^-6,

在△ABC中，由余弦定理得(2/n)2=36+x1cosZBAC=36+?+6x,

4X2-4=36+X7+6X,；.x=-4(舍)，B|JAC—\Q,

.二△ABC的面积为:

x

SAABC=1XABXACXsinZBAC=46义10X率=15七

20.(12分)如图，已知△ABE是正三角形，BC=2AB=2AD=2EF,AD//BC,AD//EF,

BC=4BG-DC=4DH.

（1）求证：平面FGH_L平面F£>C；

（2）求平面FG。与平面FGH所成锐二面角的余弦值.

【解答】（1）证明：设线段8C中点为M,连接。M交G”于点0,BD.

由条件可得，BM=AD=EF,又4£）〃£凡

二三个四边形ABM。，ADFE,

：.DM=AB,DF=AE,DM//AB.

••.△ABE是正三角形，•••△OM/是正三角形.

BC=4BG-DC=4DH-:.BD//GH.

由正=6而得G是线段BM中点.

：.FOA-DM.

；AZ)_L平面ABE,A2u平面ABE,

：.AD1.AB,AD1AE,ADIDF.

'：DM,。尸是平面DMF内两条相交直线.

VFOcTffiDMF,：.ADLFO.

,.'AD,DM是平面A3。两条相交直线.

；CQu平面ABC。，

:.FOLCD.

,:BC=2AB=2DM,：.BDLCD.

'：FO,GH是平面FGH内两条相交直线.

•.•CCu平面FDC,

平面FG"_L平面FDC.

(2)解：由(1)知直线OM,BC,分别以直线。以过点。平行BC的直线为y轴.

设|AB|=3,则G(l,0),2,0),2,4),F(0,0,V7).

•■•DG=(2,-1,8>GF=(-1,1,DC=(2,2,5)-

设孟=(x,y,z)是平面FG。的一■个法向量，则京而=o,孟•而=0,

7x-y=0,

-x+y+V3z=5.

不妨取x=3得，\=(3,2,-百)，

m-DC18876

COS&，DC>=

|m|-|DC|=4V5X2V2=-8-

由(1)知前二(3,2,0)是平面/G〃的法向量,

所以，平面FGH与平面角尸GO所成锐二面角的余弦值为品叵.

8

2

21.(12分)已知/(x)-lx.

(1)若函数F(x)有两个极值点，求实数%的取值范围；

(2)证明：当〃€N"时，」-+_2_+—5_+…+-----2-----<1.

2232e42e2(n+l)2©11-1

【解答】解：⑴f(x)=kex-^xJ,得f'(x)=kex-x=ex(k-T"),

2ex

设g(x)=-^->则g，(x)W

ee

当x〈l时，g'(x)>4,

当工>1时，gr(x)<0,

乂屋⑴=8，%⑴女一8⑴极大=g(l)=§

设入i》e,当x<-/〃A2时，g(x)=^^<1=-入jn入-/

'x‘T弋n八q6X1111

由于g(0)=4,所以g(x)在区间(-8,o),

又x>0时，g(x)>5,直线y=4与曲线y=g(x)有且只有一个交点，

即/(x)只有一个零点，不合题意，舍，

当时，f(x)》0,不合题意，舍，

e

当7<k<2时，若xWl,

e

由(1)可知，直线y=k与曲线y=g(x)有一个交点，

下面证明若x>7,直线y=&与曲线y=g(x)有一个交点，

由于g(x)是区间(1，+8)上的减函数，+8)上的值域为(0,旦)寸入£(0,2),

e2e

都存在刈>1,使得7Vg(刈)V入2,

构造函数人(x)则(x)=，-2x,

，当x>/〃2时，h"(x)=炭-4>0,h1(x)在区间(山2,

.•.当x>5时，h'(x)>h'(1)=e-2>0,+°°)的增函数,

：.x>6时，h（x）>h（1）-l>frv>x6.设0〈入<A,当时，

2e入2

7<g（x）=-^-<-V=—<入屋

eXx6AyO

.,.当0<k<2时，直线y=《与曲线>=g（x）有两个交点，

e

设这两零点分别为X5,X2（X1<X5）,则0VXI<4<%2,不等式/（x）>0的解集为（-

8,X4）