第02讲 角与角的比较(8类热点题型讲练)（原卷版）

第02讲角与角的比较(8类热点题型讲练)1.掌握角的定义及其表示及角的分类；2.掌握角的单位转化及计算；3.掌握钟面角与方位角的计算.4.掌握角的大小比较的方法；5.掌握角平分线的定义及相关计算；6.掌握角的n等分的相关计算；知识点01角的概念定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．定义2：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．知识点02角的表示方法表示方法图例记法适用范围用三个大写字母表示OAOABBAOB或BOA任何情况下都适应.表示端点的字母必须写在中间用一个大写字母表示AAA以这个点为顶点的角只有一个用数字表示111任何情况下都适用.但必须在靠近顶点处加上弧线表示角的范围，并注上数字或希腊字母用希腊字母表示知识点03钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．知识点04角的大小比较方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB<∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB=∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB>∠A′O′B′．知识点05角的和、差关系如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB=∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1=∠AOB-∠2．【说明】（1）用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．（2）利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．知识点06角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC，∠AOC=∠BOC=∠AOB．题型01角的概念及表示方法【典例1】（2023春·河北承德·七年级校考开学考试）下列说法中，正确的是（

）A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线C．角的两边越长，角就越大 D．也可以表示为【变式1】（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图所示，回答下列问题：(1)写出能用一个字母表示的角：________________；(2)写出以点B为顶点的角________________；(3)图中共有______________个小于平角的角．【变式2】（2023秋·七年级课时练习）根据给出的图回答下列问题：

(1)表示成，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？(2)图中哪个角可以用一个字母来表示？(3)以为顶点的角有几个？请表示出来．(4)与是同一个角吗？请说明理由．(5)图中共有几个小于平角的角？题型02钟面角【典例2】（2023春·陕西西安·七年级校考开学考试）8点30分时刻，钟表上时针与分针所组成的角为度．【变式1】（2023秋·湖南衡阳·七年级校考开学考试）李老师从家出发去单位上班，到单位的时间是，那么这段时间，分针走了°，时针走了°．【变式2】（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）我校下午到校时间为14时10分，则此时刻钟表上的时针与分针的夹角为度．题型03与方向角有关的计算题【典例3】（2023春·湖北十堰·七年级校考开学考试）如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，那么的大小为（

）

A． B． C． D．【变式1】（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）如图，甲从点A出发向北偏东方向走到点，乙从点A出发走到点，若，则乙从点A出发沿（

）方向走到点

A．南偏西 B．西偏南 C．南偏西 D．西偏南【变式2】（2023秋·全国·七年级课堂例题）小丽、小影、小华三人每天相约在如图所示的早餐店碰面，小丽家在早餐店南偏西方向上，小影家在点处，小华家在早餐店东南方向上，，且早餐店到小华家与小丽家的距离相等．

(1)在图中画出小华家的位置；(2)求的度数；(3)若，请说出小影家相对于早餐店的位置．题型04角的单位与角度制【典例4】（2023秋·全国·七年级课堂例题）计算：（1）′；（2）；（3）．【变式1】（2023秋·全国·七年级课堂例题）（1）1周角平角直角；（2）′=″；（3）′，．【变式2】（2023秋·全国·七年级课堂例题）计算：（1）；

（2）；（3）；

（4）．题型05角的比较【典例5】（2023秋·七年级课时练习）如图，，则与的大小关系是（

）

A． B．C． D．与无法比较大小【变式1】（2023秋·湖南郴州·七年级校联考期末）如图，若，则与的大小关系是（

）．A． B．C． D．不能确定【变式2】（2023秋·八年级课时练习）在图中所示的4×4的网格中，记，，，则，，从小到大的排列顺序是．

题型06三角板中角度计算问题【典例6】（2023春·山东淄博·六年级校考阶段练习）将一副直角三角尺如图放置，若，则等于．

【变式1】（2023秋·江西九江·七年级统考期末）如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，线段，是三角板的两条直角边，射线是的平分线．

(1)当时，求的度数；(2)当时，_________（用含α的式子表示）．【变式2】（2023春·山东烟台·六年级统考期末）如图所示，以直线上的一点O为端点，在直线的上方作射线，使．将一块直角三角尺的直角顶点放在点O处，且直角三角尺（）在直线的上方．设．

(1)当时，求的大小；(2)若时，求的值．题型07角平分线的有关计算【典例7】（2023秋·河南南阳·七年级统考期末）已知O为直线上一点，是直角，平分．

(1)如图①，若，则__________；若，则__________；与的数量关系为__________；(2)当射线绕点O逆时针旋转到图②的位置时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由．【变式1】（2023秋·七年级课时练习）如图所示，是平角，分别是的平分线．

(1)当时，求的度数；(2)当时，求的度数．【变式2】（2023秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）（1）如图1所示，已知，平分，、分别平分、，求的度数；（2）如图2，在（1）中把“平分”改为“是内任意一条射线”，其他任何条件都不变，试求的度数；（3）如图3，在（1）中把“平分”改为“是外的一条射线且点C与点B在直线的同侧”，其他任何条件都不变，请你直接写出的度数题型08角n等分线的有关计算【典例8】（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（）A． B． C．或 D．或【变式1】（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（

）A．或或 B．或或 C．或或 D．或或【变式2】（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，.(1)如图1，当时，若，求的度数；(2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由；(3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数.一、单选题1．（2023秋·七年级课时练习）如图，下列表示角的方法，错误的是（

）

A．与表示同一个角B．也可用来表示C．图中共有三个角：，，D．表示的是2．（2023秋·七年级课时练习）若，则（

）A． B． C． D．3．（2023秋·山西忻州·七年级统考期末）下列运算正确的是（）A． B．C． D．4．（2023春·山东菏泽·七年级校考阶段练习）在同一平面内，，过点作射线，使得，则为(

)A． B． C．或 D．或5．（2023春·河南信阳·七年级校考开学考试）如图，点是直线上一点，平分，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中正确的是（

）

A．只有①④ B．只有①③④C．只有③④ D．①②③④二、填空题6．（2023春·山东泰安·六年级校考期中）计算：．7．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）如图，，平分，，则度．

8．（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么

9．（2023秋·七年级课时练习）小明利用星期天搞社会调查活动，早晨8：00出发，中午12：30到家，小明到家时时针和分针夹角的度数是．

10．（2023春·河南南阳·七年级统考期中）如图，已知，射线绕点从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转；同时，射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，并且当与成角时，与同时停止旋转．则在旋转的过程中，经过秒，与的夹角是．

三、解答题11．（2023秋·河南漯河·七年级校考期末）如图，为直线上一点，，平分，．(1)填空：___________；(2)求的度数；(3)试判断是否平分，并说明理由．12．（2023秋·吉林松原·七年级统考期末）如图①，货轮停靠在点，发现灯塔在它的东北（东偏北或北偏东）方向上．货轮在码头的西北方向上．

(1)仿照表示灯塔方位的方法，画出表示货轮方向的射线；(2)如图②，两艘货轮从码头出发，货轮向东偏北的的方向行驶，货轮向北偏西的方向航行，求的度数．13．（2023春·山东青岛·六年级统考期中）如图，已知，平分，平分．

(1)求的度数；(2)如果，那么是多少度？(3)如果，那么是多少度？是多少度？用含的式子表示)14．（2023秋·广西桂林·七年级统考期末）将直角三角板的直角顶点O放