专题15 锐角三角函数-原卷版

专题15锐角三角函数★知识点1：正弦的概念和求正弦值如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：sinA=，这个比叫做∠A的正弦.1,不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.2,sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.典例分析【例1】（2022秋·安徽安庆·九年级统考阶段练习）如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示出的值，正确的是（

）A． B． C． D．【例2】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在中，，则（

）A． B． C． D．【即学即练】1．（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）在中，，是斜边上的高，，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2023秋·九年级课时练习）如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则的正弦值是（

）A． B． C． D．★知识点2：已知正弦值求边长根据三角函数的概念和特殊三角函数值，结合已知的条件求出边长即可。典例分析【例1】（2023秋·九年级课时练习）如图，在中，，交的延长线于点，已知，，则的长为(

)

A． B． C． D．无法计算【例2】（2022秋·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在中，，，则有（

）

A． B． C． D．即学即练1．（2023春·浙江·九年级阶段练习）已知在中，，，，那么（

）A． B． C． D．2．（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）在中，，，，则（

）A．10 B．8 C．5 D．4★知识点3：余弦的概念和求余弦值cosA=，这个比叫做∠A的余弦.典例分析【例1】（2022秋·山东青岛·九年级校考期末）在中，、、对边分别为、、，，若，则（

） B． C． D．【例2】（2022秋·九年级单元测试）如图，若，则的值为（

）

A． B． C． D．即学即练1．（2021秋·广西百色·九年级统考期末）在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（）A． B． C． D．2．（2023秋·九年级课时练习）如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则的值为（

）

A． B． C． D．★知识点4已知余弦值求边长典例分析【例1】（2023·陕西榆林·校考三模）如图，在中，，则的长为（

）

A．4.5 B．5 C． D．【例2】（2023·广东广州·统考二模）如图，在中，，，则的长是（

）

A．6 B．7 C．8 D．9即学即练1．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接，若，则的长为（）A． B． C． D．2.（2022秋·山东烟台·九年级统考期末）在中，，，，则等于（

）A．3 B．2 C． D．★知识点5正切的概念和求正切值tanA=，这个比叫做∠A的正切.典例分析【例1】（2022秋·辽宁大连·九年级统考期末）如图，在中，，，，，则(

)A． B． C． D．【例2】（2023春·天津河东·九年级校考阶段练习）在中，，设，，所对的边分别是a，b，c，则下列各等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．即学即练1．（2022·全国·九年级专题练习）在中，如果各边长度均扩大3倍，则锐角A的正切值（

）A．不变化 B．扩大两倍 C．缩小一半 D．以上都不对2．（2022秋·山东淄博·九年级校考期中）已知在中，，，则的值等于（

）A． B．2 C． D．★知识点6已知正切值求边长典例分析【例1】（2023·上海·九年级假期作业）在中，，那么边的长为（）A． B． C． D．【例2】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，在菱形中，对角线与交于点O，若，，点E是边的中点，则的长为（

）A．5 B．4 C．6 D．8即学即练1．（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，在中，，D是的中点，，，则的长为（

）

A．1 B．2 C．4 D．82．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）如图，在中，，，点D是上一点，连接．若，，则的长为（

）A．2 B． C．3 D．★知识点7求特殊角的三角函数值0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数30°45°60°1正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。正切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增大而增大1.函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB；cosA=sinB；同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=30°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.典例分析【例1】（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则（

）

A． B． C． D．【例2】（2023春·天津·九年级专题练习）计算的结果为（

）A． B．1 C． D．即学即练1．（2023春·天津北辰·九年级校考阶段练习）的值等于（

）A． B． C．1 D．2．（2023·上海·九年级假期作业）的值等于(

)A． B． C． D．1★知识点8特殊角的三角函数值判断三角形的形状典例分析【例1】（2023春·山东济南·九年级校考阶段练习）在中，若，，则这个三角形一定是（

）．A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形【例2】（2023春·安徽滁州·九年级校考阶段练习）在中，都是锐角，，则是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形即学即练1（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）若的内角满足，则的形状是（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．钝角三角形 D．三角不全相等的锐角三角形2．（2022春·九年级课时练习）若，则ABC的形状是（

）A．含有60°直角三角形 B．等边三角形C．含有60°的任意三角形 D．等腰直角三角形★知识点9已知角度比较三角函数值的大小典例分析【例1】（2022春·九年级单元测试）若，则的正切值的范围是（

）A． B． C． D．【例2】．（2022春·全国·九年级专题练习）已知，关于角α的三角函数的命题有：①，②，③，④，其中是真命题的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个即学即练1．（2022秋·九年级单元测试）三角函数、、之间的大小关系是（

）A． B．C． D．2．（2023春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）如果，那么与的差（

）A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定★知识点10利用同角三角函数求值典例分析【例1】（2023春·浙江·九年级阶段练习）已知是锐角，，则的值为（

）A． B． C． D．无法确定【例2】（2022秋·山东聊城·九年级临清市京华中学校考开学考试）在中，，，则值为（）A． B． C． D．即学即练1．（2022春·浙江·九年级专题练习）如图，已知是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（

）A． B． C． D．2．（2022春·江苏·九年级专题练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA＝（）A． B． C． D．★知识点11根据三角函数值判断锐角的取值范围典例分析【例1】（2022秋·九年级单元测试）若锐角满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．【例2】．（2023春·全国·九年级专题练习）已知为锐角，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．即学即练1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）若cos∠1=0.8，则∠1的度数在（

）范围内．A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°2．（2022·浙江·九年级专题练习）若∠A是锐角，且sinA＝，则（

）A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°★知识点12互余两角三角函数关系典例分析【例1】（2022秋·安徽六安·九年级校考期末）在中，，，则（

）A． B． C． D．【例2】（2023春·山东青岛·九年级统考期末）下列等式中正确的是（

）A． B．C． D．即学即练1．（2022秋·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期末）在中，，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2022秋·安徽六安·九年级统考阶段练习）已知，则锐角A的取值范围是（）A． B． C． D．1．（2022春·九年级单元测试）在，，，则的值是（）A． B． C． D．2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在中，，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·湖南益阳·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，与轴正半轴的夹角为，则的值为（

）

A． B． C． D．4．（2023秋·云南楚雄·九年级统考期末）在中，，，，则等于（

）A．6 B．7.5 C．8 D．105．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（

）

A． B． C． D．6．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）如图，是嘉琪用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，图中线段a与直尺垂直，线段b与数轴垂直，则点D表示的数是（

）A． B． C．2 D．7．（2023春·湖北襄阳·九年级统考期中）在中，，下列等式不一定成立的（）A． B．C． D．8．（2023春·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）当时下列不等式成立的是（）A． B．C． D．9．（2022春·九年级单元测试）如图，四边形中，，，，则（）

A． B． C． D．10．（2023秋·九年级单元测试）在中，，，则（）A． B． C． D．11．（2023·湖北黄石·统考模拟预测）计算．12．（2023春·山东威海·九年级统考期中）计算：．13．（2023秋·九年级课时练习）计算：14．（2021秋·上海·八年级期末）如图，在中，，，，求：的面积和的度数．15．（2023·江西南昌·统考一模）（1）；（2）在中，，，求的度数．16．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、．(1)若，，，试比较、的大小；(2)若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明．17．（2023春·全国·九年级专题练习）已知，中，，，求、、、．18．（2019春·九年级单元测试）如图1，2，3，根据图中数据完成填空，再按要求答题：____；____；____．（1）观察上述等式，