理学概率4修改

第四章随机变量的数字特征§1数学期望§2方差§3协方差与相关系数§4矩1精选ppt随机变量的概率分布反映了随机变量的统计规律性，但是在实际问题中，要确定一个随机变量的分布不是一件容易的事情．在许多情况下，并不需要求出随机变量的分布，只须知道从不同角度反映随机变量取值特征的假设干个数字就够了，这些数字就称为随机变量的数字特征．

例考察一射手的水平,既要看他的平均环数是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动是否小.r.v.的平均取值——数学期望

r.v.取值平均偏离均值的情况

——方差描述两r.v.间的某种关系的数

——协方差与相关系数本章内容2精选ppt1.1离散型随机变量的数学期望例1.1一台机床加工某种零件,它加工出优质品、合格品和废品的概率依次为0.2、0.7和0.1．如果出售优质品和合格品，每一个零件可分别获利0.40元和0.20元;如果加工出一件废品那么要损失0.10元.问这台机床每加工出一个零件，平均可获利多少元？解以X表示加工出一个零件所获得的利润,那么X的分布律为§1数学期望X

－0.100.200.40

P0.10.70.23精选ppt

现假设该机床加工

个零件，其中废品

件，合格品件，优质品件，这里.则这个零件可以获得总利润为其中，和分别是事件、和出现的频率.当很大时，，和分别接近于0.1,0.7和0.2。X

－0.100.200.40

P0.10.70.2平均每个零件可获利为

于是可以期望该机床加工出的每一个零件所获得的平均利润为（元）.4精选ppt

定义1.1

设离散型随机变量X

的分布律为则称（要求此级数绝对收敛）设连续型随机变量X的概率密度为f(x),那么称为X的数学期望(或均值)．（要求此积分绝对收敛)数学期望的本质

——加权平均,它是一个数不再是r.v..为X的数学期望(或均值)．

5精选ppt

例1.2

设X服从参数为p的(0－1)分布,求X的数学期望．解

X

的分布律为X01P1－pp例1.3

设，求．

解

X

的分布律为6精选ppt例1.4

设，求.解X

的分布律为例1.5

设X~参数为p

的几何分布，求E(X).解X

的分布律7精选ppt常见离散型r.v.的数学期望分布期望概率分布参数为p的〔0-1〕分布pB(n,p)np

参数为p

的几何分布8精选ppt例1.610件产品中有2件次品，求任意取3件中次品数的数学期望．解以X表示任取3件中次品的个数，可取值为0,1,2，其分布律为9精选ppt

例1.7

设X在[a,b]上服从均匀分布，求E(X)．解

X

的概率密度为例1.8

设X服从参数为的指数分布，求E(X)．解

X

的概率密度为10精选ppt例1.9

设，求．解

X

的概率密度为11精选ppt分布期望概率密度区间(a,b)上的均匀分布参数为的指数分布N(,2)常见连续型r.v.的数学期望12精选ppt1.2随机变量的函数的数学期望

定理1.1

设随机变量Y

是随机变量X

的函数:Y=g(X).（1）若X为离散型r.v.,概率分布为〔2〕假设X为连续型r.v.，其概率密度为f(x)，如果广义积分如果绝对收敛，则随机变量的数学期望是

绝对收敛，则随机变量的数学期望是注：求随机变量的函数的数学期望方法〔1〕先求随机变量Y的分布,再求数学期望〔不常用〕.〔2〕直接应用定理1.1〔常用〕。13精选ppt

例1.10

设X的分布律为

X－2－101/21

P1/61/31/41/121/6求,.解例1.11

设，求．解14精选ppt例1.12

设X在区间(0,a)上服从均匀分布，求的数学期望.解

X

的密度为则例1.13

设

X

的概率密度为，求,解15精选ppt

定理1.2

设随机变量Z是X、Y

的函数Z=g(X,Y)，〔2〕假设(X,Y)为二维连续型随机变量,联合概率密度为〔1〕假设(X,Y)为二维离散型随机变量，联合分布律为如果绝对收敛，则随机变量Z

的数学期望是那么随机变量Z的数学期望是f(x,y)，如果绝对收敛，16精选ppt例1.14

设(X,Y)的联合密度为求

E(X)、E(XY)

．解例1.15

设(X,Y)~N(0,1;0,1;0),求的数学期望.解17精选ppt

例1.16

设X~N(0,1),Y~N(0,1),X,Y

相互独立，求E(max{X,Y}).D1D2解18精选ppt1.3数学期望的性质设C

为常数,和都存在。性质1

E(C)=C．性质2性质3

证只证明连续型随机变量情形，离散型的证明从略．设(X,Y)的概率密度为f(x,y)，那么有19精选ppt分别为fX(x)、fY(y).那么有f(x,y)=fX(x)fY(y),于是性质4假设X、Y相互独立，那么E(XY)=E(X)E(Y)．证只对连续型加以证明．

设(X,Y)的联合密度为f(x,y),关于X、Y

的边缘密度注：假设E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定独立。20精选ppt反例但21精选ppt

解例1.17

设X

与Y独立，求．注

不是所有的r.v.都有数学期望例如柯西(Cauchy)分布的密度函数为但发散它的数学期望不存在!22精选ppt2.1方差及其计算公式§1方差

引例甲、乙两射手各打了6发子弹,每发子弹击中的环数分别为：甲10,7,9,8,10,6,乙8,7,10,9,8,8,问哪一个射手的技术较好？解首先比较平均环数甲=8.3,乙=8.3再比较稳定程度甲：乙：乙比甲技术稳定，故乙技术较好.进一步比较平均偏离平均值的程度甲：乙：23精选ppt

定义2.1

D(X)=E{[X－E(X)]2}

称为随机变量X的方差.称为X

的均方差或标准差.

注：D(X)—描述r.v.X的取值偏离平均值的平均偏离程度，是一个数值。方差的计算公式1．设X为离散型随机变量，分布律为则2．设X为连续型随机变量，概率密度为f(x),那么3． 证24精选ppt例2.1

设X服从参数为p的(0－1)分布，求D(X)．解

X

0

1

p1－p

pE(X)=p,例2.2

设，求D(X)．解25精选ppt例2.3

设X~B(n,p)，求D(X).解E(X)=np26精选ppt例2.4

设X~参数为p

的几何分布，求D(X).解例2.5

设X在[a,b]上服从均匀分布，求D(X)．解27精选ppt例2.6

设X服从参数为的指数分布，求D(X)．解例2.7

设，求D(X)．解28精选ppt常见随机变量的方差分布方差概率分布参数为p的〔0-1〕分布p(1-p)B(n,p)np(1-p)

(

)

参数为p

的几何分布29精选ppt分布方差概率密度区间(a,b)上的均匀分布N(,2)参数为的指数分布30精选ppt2.2方差的性质性质1设C为常数，那么D(C)=0．证性质2证性质3证性质4假设X与Y相互独立，那么有证31精选ppt假设X与Y相互独立，那么性质5随机变量X的方差D(X)=0的充分必要条件是：X以概率1取常数C=E(X),即注

X恒取常数例2.3

设X~B(n,p)，求D(X).解一前面已求解。故解二引入随机变量相互独立，且32精选ppt例2.8

设X与Y相互独立，，，求解例2.9X,Y相互独立,且都服从N(0,0.5),求E(|X–Y|).故解33精选ppt例2.10X的概率密度为其中

A,B

是常数，且E(X)=0.5.

求(1)A,B.(2)设Y=X

2,求

E(Y),D(Y).解

(1)(2)34精选ppt2.3标准化随机变量为

X的标准化随机变量.显然，

例2.11

设相互独立，并且具有相同的期望与方差，，求，，解

设随机变量X的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)>0,则称35精选ppt〔1〕仅知r.v.的期望与方差并不能确定其分布P-1010.10.80.1P-2020.0250.950.025有相同的期望方差但是分布却不相同例如注〔2〕在某些分布类型时,假设知道其期望和方差,便常能确定分布.例如X服从正态分布,E(X)=1.7,D(X)=3,Y=1–2X,求Y的密度函数.解36精选ppt性质2§3协方差与相关系数3.1协方差

定义3.1

称为X

与Y的协方差，记作易得协方差性质性质1性质3例3.1

设求解因为所以

又由例1.11，于是，37精选ppt3.2相关系数定义3.2

若D(X)>0,D(Y)>0,存在，则称为X

与

Y

的相关系数。记为若称X,Y不相关.相关系数的性质性质1因此注证

由柯西—许瓦兹不等式可得38精选ppt性质3假设X与Y相互独立，那么性质4

的充分必要条件是：存在常数a,b,使得X,Y不相关X,Y相互独立X,Y不相关等价命题：注表明X与Y之间以概率1存在线性关系。较大表明X与Y之间线性相关程度较好。较小表明X与Y之间线性相关程度较差。表明X与Y不相关。不相关是就线性关系而言，相互独立时就一般关系而言的。39精选ppt

例3.2

设二维随机变量(X,Y)的概率分布为

XY－101

-11/81/81/801/801/811/81/81/8证明X

与Y不相关，但X

与Y

不相互独立．

证(X,Y)关于X

和Y的边缘分布为X－1

01P3/82/83/8Y－1

01

P3/82/83/8于是有因此，即X

与Y

不相关．由于所以X

与Y

不相互独立．40精选ppt例3.3

设(X,Y)的联合概率密度为验证X

与Y不相关，但不相互独立．解同理于是因此，即X

与Y

不相关．41精选ppt例3.3

设(X,Y)的联合概率密度为验证X

与Y不相关，但不相互独立．解所以X与Y

不相互独立.42精选ppt例3.4

设(X,Y)~N(

1,

12;

2,

2