数值分析计算方法试题集及答案

#H-154)由-解得x=(-227.08.47692-177.69/4.将矩阵A分解为单位下三角矩阵L和上三角矩阵U,其中A=15，然后求解该1546方程组Ax二。（9分）_1__1261c=2113631_1_求解Ly=b得y-1；求解Ux=1—5」答案:5.用直接三角分解y得方程的解为:Doolittle）法解方程组（不选主元）14_5714|/111I481114|內|=!37161320261X31651182940一乂一卫5一解：_111123145112111234L=1111,U=111113211123y证明解:T1)Ikll""十*+…+疋◎總忖卜机7.设二”，证明:证明：由定义可知：X：:。X2|+[||+|Xn|=||x||X2|+[||+|Xn|=||x||hL=maXllX^Xi十从而x^x^nx：：由此可以看到X1可由X：:控制。然后求解该方程组[32 1〕| 2/31/31|L 1/2，再解先求解■12/3.1/311/2Iy2r■然后求解该方程组[32 1〕| 2/31/31|L 1/2，再解先求解■12/3.1/311/2Iy2r■4i3.5得Y=■2j-4〕5/6J/4j31/21得X1'1/2j49、A=—1〕0-1，贝yA的(Doolittle)LU分解为A=IJL32 18.将矩阵A分解为单位下三角矩阵 L和上三角矩阵U，其中A=2 21，1114Ax=3.5<2丿-1解：A=L・U=2/3 1-1]4 -1 0-1]4 -1 0〕A=-1/4 1154 -10 -4/151一' 56/15一答案:x12x23x3=1410、用直接三角分解(Doolittle)法解方程组 2x15x22x^18。3x-ix25x3=20答案：解:jF123121||1-4'3-51上-24UxA=LU=令Ly=b得y二(14,-10,-72)T,=y得x=(1,2,3)T.11、用列主元素消元法求解方程组5—43X2=-1221JX3一■11■11]「X1]■-413-4解:■15-1-4-4[-1211叩r2> 7■51-1-12-41115-43-125-43-12「2一口5T01280131792555555br13179128500555一555一5-43-12131790X31313X313回代得12、(10分)用Gauss列主元消去法解方程组:X14X22X3二24*3洛+x2+5x3=34、2洛+6x2+x3=273.00001.00005.000034.00000.00003.66670.333312.66670.00005.3333-2.33334.33333.00001.00005.000034.00000.00005.3333-2.33334.3333

0.00000.000001.93759.6875x=2.0000,3.0000,5.0000T第八章线性方程组的迭代法一、填空题1、用Gauss-Seidel迭代法解方程组丿xi+ax2—4，其中玄为实数，方法收敛的充要条件2ax〔+x2=—3是a是a满足J2:::a：：：2,(申=(1—5x2k))/3'(坤) (W)/CC/,(申=(1—5x2k))/3'(坤) (W)/CC/2 =一为/20_，该迭代格2、求解方程组p.2x1+4X2=0的高斯—塞德尔迭代格式为式的迭代矩阵的谱半径1'(M)=12。X+1.6x2=13、写出求解方程组厂0.4x1+x2-2的Gauss-Seidel迭代分量形式'X1（kH1）=1—1.6x#） 『0 —1.6、』^专） 卜十=0,1，…凶丄2+°.曲 丿 ，迭代矩阵为e-°.64丿，此迭代法是否收敛 收敛。4、若线性代数方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯 -塞德尔迭代都收敛.5、高斯--塞尔德迭代法解线性方程组的迭代格式中求若二二-35、高斯--塞尔德迭代法解线性方程组的迭代格式中求若二二-3:则矩阵A的谱半径p（A）=1_（I1）A=二7、r，叭则a的谱半径“（A）=岳

、单项选择题:1、Jacobi迭代法解方程组Ax=b的必要条件是(C)。A.A.A的各阶顺序主子式不为零 B■(A)1A/A/Can=0,i=1,2,,n-22A=052、设 】00A. 2B-311一7，则"(A)为(c).5 C.7(k卑) (k)3、解方程组Ax二b的简单迭代格式xBxg收敛的充要条件是(b(A)'(A)<1,(B)"(B)<1, (C) "(A) 1,(D) '(B) 1三、问答题1.迭代法--■■ ■■■-■■- 收敛的充要条件是什么？如果卩丨能否说明迭代法不收敛？用什么表示迭代法的收敛速度？答：迭代法收敛的充要条件是 "-',当二—-时因-「-一丨计不一定能使"■■■'-1,故不能说明迭代法不收敛。反之 IFNU〔则迭代法收敛。三、计算题：1.方程组+2x2+ ■_12-心+4心+2勺=202町-盹+10x3=3(1)写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以；'：一W 计算到涉心―严co*f 0 为止.(1)J法得迭代公式是洎旳=-l(12+2x^十夢)工严詁(20+带_2靑))x严二-1(3- +3^),^=0,1,-*取_1 ，迭代到18次有严二（-^3.999996^.999974,199999）7|xcm-x（18>|L<04145x10^GS迭代法计算公式为”叫-扑十汕十皆））护）冷（20十严一2當）=丄（弓-2皆叫+起3）朮=0丄…^09156x10^2.设方程组证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散解：Jacobi迭代为=丄（$-牛品I）an=丄（®如其迭代矩阵J121P（君）=谱半径为，而Gauss-Seide迭代法为护=—〔外-知詁i）眄1护=—a22其迭代矩阵angall其谱半径为由于广広—「匸，故Jacobi迭代法与Gauss-Seidel法同时收敛或同时发散。

3.下列方程组Ax=b,若分别用J法及GS法求解，是否收敛？TOC\o"1-5"\h\z'1 2 -2A-1 1 1\o"CurrentDocument"2 1■■解：Jacobi法的迭代矩阵是02-2「2B=D4(Z+27)=-101,det(2/-B)=1兄_22022即故〔兄一I,J法收敛、-21=0AGS法的迭代矩阵为100G=co-Ly切=110_221_A2-2det(ZZ-G)=02-23二兄（兑00xt—2故：4"解此方程组的GS法不收敛。0-220-2200-1=02-300Q_0022)'=0’久1= =咼=2)0db100a,detA丰0,用■■,b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收敛的充分必要条件解'o-旦0a010To-Aq_b,det(-U—B)=b2b1010W100上00a255J法迭代矩阵为B—jcK5)=^S<110，故J法收敛的充要条件是"二。GS法迭代矩阵为ioo60—a0G=b1000 0-b0*5—_000_0-^0WOaV50000-ba5O00a102100□2h10500，abA- 50aCo)=-免忙I由100 得GS法收敛得充要条件是3-4 3 01[2415.已知方程组AX=B,其中A=3 4-1,B=30-0-14^11厂24」迭代法的分量形式。迭代法和Gauss-Seidel迭代矩阵的谱半径列出Jacobi求出Jacobi答案：(1)分量形式，J法为(盼DAn二扣4-?罗)二£(-24+君*】!，GS法为6.An寸24-卿)=1(30-3^+^)=占(-24+舄綁■1实数a=0，考察矩阵A=01,试就方程组Ax=b建立Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的计算公式。讨论 a取何值时迭代收敛。解：当实数a^O时Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为TOC\o"1-5"\h\z0 -a 0 0 -a 02Bj= -a 0 —a,民=0 a -a3 20 —a 0_ -0 —a a由det[I—Bj=0,求得Bj的特征值为：■!=0,■2=・一2a,■3--2a，则':(B^=■.2a,互 ,2a时，Jacobi2 2迭代法收敛;由deV/I-Bg=0,求得B的特征值为：’1='2=0,■3=2a?,则门BG=2a2,当2 、.2——：：a时，Gauss-Seidel2 2迭代法收敛;4x12x2x3=11x14x22x3二187.用高斯-塞德尔方法解方程组 2x1'x2'5x3=22,取x(0)=(0,0,0)T,迭代四次(要求按五位有效数字计算)。答案：迭代格式(k卅) 1“彳c(k) (k)、x^j =—(11_2x；-x3)4」(18—X1(r—2x3k))45k(k)X1(k)X2(k)X3000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.7019x3f3x12x210x3=15*10X[—4x2—x3=58、对方程组・2x1+1°X2-4X3=8试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由；取初值=(0,0,0)T,利用(1)中建立的迭代公式求解，要求||x(k⑴-x(k)||二<10^3。解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优10x〔_4x2_x3=5“2X[+10x2-4x3=83X[+2x2+10x3=15故对应的高斯一塞德尔迭代法收敛 •迭代格式为泮切=丄( 4x2k)+x3k)+5)10加严冷(一2严 +4x3k)+8)x3“)冷(—3x_T)—2x2F +15)取X(0)=(0Q0)t,经7步迭代可得：、x2「5、-1丿N丿C8>01-31-1 4x* x(7)=(0.999991459,0.999950326,1.000010)T01-31-1 49、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组取x（0）=（0,0,0）T,列表计算三次，保留三位小数。解：Gauss-Seidel迭代格式为：x1k1)<(k)5)k(JXIJ5I-x3k)-i)k(JXIJ5I(k^) 1 (k*)亠(k+l)TOC\o"1-5"\h\zX3 =—(_Xi +X2 -8)i 40 11 -3 1k(k)x；x2k)x(k(k)x；x2k)x(k)x311.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.526系数矩阵」 1 4-严格对角占优，故 Gauss-Seidel迭代收敛取x(0)=(0,0,0)T,列表计算如下：AX二f，其中10、（8分）已知方程组4 3 【A=3 4 -1'.-14^（1） 列出Jacobi（2） 求出Jacobi「241迭代法和Gauss-Seidel迭代矩阵的谱半径。迭代法的分量形式。'x；®J(24—3x2k))4』x严£(3O—3Xi(k)+x3k))

xFJ(—24+x2k))

4解：Jacobi迭代法：l k=°，1,2,3,…x(k1)二(24—3x；k))4x(k1)二(24—3x；k))4x2kl^-(3^3x；(k1)x3k))4二1(—24x2k1))4k=0,1,2,3,x3k1)Gauss-Seidel迭代法：-O-34O1Bj D(LU)=-34O34?(Bj)=」°)=O.79O569411、(1O分)已知方程组Ax=b，其中2111A=1 2 1b=1'112]Jj列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式;讨论上述两种迭代法的收敛性。解：(1)Jacobi迭代法:x1k出=(1-x2k)—x3k))/2r2k出=(1—x1k)—x3k))/2Jacobi迭代矩阵:x3k1)=(1-x：k)-x2k))/Jacobi迭代矩阵:22O121O2121L211'(B)二1 收敛性不能确定(2)Gauss-Seidel迭代法:x1k。=(1-x2k)-x3k))/2’x2kU(1-x1的_x3k))/2x3kJ(1-x1k制—x2k+))/2Gauss-Seidel迭代矩阵:(B)二12、(1)(2)G=(D-L)=08-5一、、7i16<112i4该迭代法收敛■1（15分）已知方程组Ax=b，其中a=1-2I11,b=2，'3J迭代法的分量形式;2写出该方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel判断两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快;解：(1)Jacobi迭代法的分量形式X(k仁1-2x2k)+2x3k)*x2®=2一x1k)—x3k)；k=0,1,2,|||x3k1)=3-2x1k)-2x2k)Gauss-Seidel迭代法的分量形式「x仟)=1—2x2k)+2x3k)’x2k—2-x1k谢-x3k)；k=0,1,2,川x3k也=3—2xT)_2x2k也(2)Jacobi迭代法的迭代矩阵为TOC\o"1-5"\h\z0-2 2B=Da(L+U)=-1 0 -1-2 -2 0‘1=匕=‘3=0， (BH0:：1，Jacobi迭代法收敛Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为0-22G=(D-L)°U=0 2-3002一11?1=0,2=3=2， '(B)二2 1，Gauss-Seidel迭代法发散第九章特征值与特征向量一、计算题1.用幕法求矩阵A1.用幕法求矩阵A-<1仁的模最大的特征值及其相应的单位特征向量,迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于 0.05,取特征向量的初始近似值为1,0T解:Ui=AV0 =1:,■1（1）=Ui,v0 =10.005Ui(0.9950、||Ui厂009950,ViU2②=Avi‘10.05)J.095丿,■i2)（i）(2)=0.11 0.05=(U2,Vi)=10.108,U2'0.99