2023年湖南省名校联盟高考数学联考试卷及答案解析

2023年湖南省名校联盟高考数学联考试卷

本试卷满分150分。共22道题。考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填

写在答题卡上。将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项

的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不

能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案;

不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.（5分）若iz=-3+2i（其中i为虚数单位），则复数Z的共辗复数在复平面内对应的点位

于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（5分）在4/8C中，"Z∖∕8C是钝角三角形”是“cosC=2siMsin5”的（）条件.

A.必要不充分B.充要

C.充分不必要D.既不充分也不必要

3.（5分）设a=k>g25,⅛=52∙1,C=0.25,则α,b,C的大小关系是（）

A.a>h>cB.h>a>cC.h>c>aD.a>c>h

1、

4.（5分）若（-—mxλ）5（w∈R）的展开式中％5的系数是80,则实数W=（）

A.-2B.-1C.1D.2

5.（5分）甲、乙、丙三人随机排成一排，乙站在中间的概率是（）

Illl

A.-B.-C.-D.-

2346

6.（5分）若圆锥SOi,SO2的顶点和底面圆周都在半径为4的同一个球的球面上，两个圆

锥的母线长分别为4,4√2,则这两个圆锥公共部分的体积为（）

85656+16√3

A.-TTB.8πC.-πD.------------π

333

7.（5分）过抛物线∕=2px（p>0）的焦点厂作直线与抛物线在第一象限交于点4与准

线在第三象限交于点8,过点力作准线的垂线，垂足为H.若tan∕4FH=2,贝IJl需I=

（）

543

A.-B.-C.-D.2

432

第1页共20页

8.(5分)在下列函数中，最小正周期为π的偶函数为()

A.y=sin∣2x∣B.>,=∣cosx∣

TrTC

C.y-cos(2x+ɪ)D.y=tan(x—^)

二.多选题(共4小题，满分20分，每小题5分)

9.(5分)下列表示图形中的阴影部分的是()

B.(AUB)∩(XUC)

C.(4UB)∩(BUC)D.(M8)UC

10.(5分)定义在R上的函数/(x)满足/(x)=∕(2-χ),当-2WXWl时，/(x)

[log2(-X)，-2≤%≤0

A.f(X)的图象关于直线x=l对称

B.f(%)不可能是周期为6的函数

37

c./(x)在区间(5,5)上单调递增

D.不等式/(x)<-X的解集一定非空

11.(5分)已知S”是等差数列｛α,,｝(∏∈N*)的前"项和，且S5>S6>S4,以下有四个命题，

其中正确的有()

A.数列｛“”｝的公差“<0

B.数列｛斯｝中Sn的最大项为Sio

C.Sιo>O

D.5n>0

12.(5分)在直角坐标系内，由/,B,C,Z)四点所确定的''N型函数”指的是三次函数/

(x)=ax3+bx2+cx+d(α≠0),其图象过N,D两点,且/(x)的图象在点N处的切线经

过点B,在点。处的切线经过点C.若将由Z(0,0),B(1,4),C(3,2),D(4,0)

四点所确定的“N型函数”记为y=∕(x),则下列选项正确的是()

A.曲线y=/(X)在点。处的切线方程为y=-2x+8

第2页共20页

1

B.f（x）=θx（χ-4）（X-8）

C.曲线y=∕（x）关于点（4,0）对称

D.当4WxW6时，f（x）No

≡.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）若向量嬴足Z=（CoS。，sinθ）（θ∈R）,∣fa∣=2,贝1]|2之一彳的取值范围为.

14.（5分）己知双曲线C：J∣-≤=l（α>0,fe>O）,直线x=b与C的两条渐近线分别交

于B两点,过力作圆M：（x+2b）2+f=∕>2的切线，。为其中一个切点若M0=M*,

则C的离心率为.

15.（5分）将编号为1,2,3,4,5的5个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子都不空，

则每个盒子中所放小球的编号奇偶性均不同的概率为.

16.（5分）在正方体/8CZ）-NlBiCI5中，AB=ZE,尸分别为棱力8,441的中点，则该

正方体被平面CEF所截得的截面面积为,四面体BCEF外接球的表面积

为.

四.解答题（共6小题，满分70分）

17.（10分）等差数列｛斯｝中，公差d≠0,a2=2,且“1，ai,3成等比数列.

（I）求数列｛”,,｝的通项公式；

（II）设Cn=求数列｛∕"Cn｝的前n项和Sn.

an+l

第3页共20页

18.(12分)已知4∕BC中，三内角Z,B,C的对边分别为α,b,c,且满足(sin8+sinC)

2=sin?/+SirLSSinC.

(1)求/；

(2)若b+c=6,Z∖4SC的面积为2√5,求α.

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19.(12分)如图，四棱锥P-NBCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为4√1点

G,E,F,，分别是棱P8,AB,CD,0C上共面的四点，BC〃平面GEFH.

(I)证明：GH//EFi

(Il)若E8=2,且二面角E-G7/-8大小为45°,求GB与平面GE/7/所成角的正弦

值.

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20.(12分)2019年11月5日至10日，第二届中国国际进口博览会在上海举行.某宣传媒

体组织业内人士对某型号智能机器人进行评分，所得情况如图所示：

(I)试估计业内人士评分的平均数以及方差(用每个小矩形底边中点近似替代本组数

据);

(II)为了调查评分与性别是否具有相关性，研究人员随机抽取了60位参加评分的业内

人士，其中男性与女性人数各一半，根据已知条件完成下面2X2列联表，据此资料，是

否有90%的把握认为评分的高低与性别有关?

分数不低于60分低于60分合计

男性1630

女性1030

合计60

参考公式：(I)κ2=*g粽揭E，其中"=α+b+c+d∙

222

(2)DX=(XI-EX)×pι+(X2-EX)Xp2+-+(XLEX)X/?,,.

参考数据:

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Xy-√z

21.(12分)已知椭圆C：-7+72=1(α>⅛>0)的离心率为彳，椭圆的右焦点与右顶点

αz∂δ2

及上顶点构成的三角形面积为√Σ-1.

(I)求椭圆C的标准方程.

7

(Il)已知直线y=%(X-1)与椭圆C交于4B两点,若点。的坐标为([,0),向：

是否存在左,使得凝∙(⅛

>1?若存在，求出k的取值范围：若不存在，请说明理由.

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22.(12分)已知函数/(x)=COScT.

(1)当XeO时，设g(x)=/(X)+妥1,求y=g(X)(XeO)的最小值;

(2)求证：当021,x20时，xeax^-χf(x)2x2+2∕"(x+l).

第8页共20页

2023年湖南省名校联盟高考数学联考试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.（5分）若iz=-3+2i（其中i为虚数单位），则复数Z的共软复数在复平面内对应的点位

于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：iz=-3+2i（其中i为虚数单位），

：.-i∙iz=-i（-3+2?）j

∙'∙z=2+3i,

则复数Z的共辗复数2-3i在复平面内对应的点（2,-3）位于第四象限.

故选：D.

2.（5分）在448C中，"A48C是钝角三角形”是uCosC=ZsinJsinBv的（）条件.

A.必要不充分B.充要

C,充分不必要D.既不充分也不必要

【解答】解：在az5c中，已知"Z∖Z3C是钝角三角形”，

假设C为钝角，则COSCV0,2siib4sin5>0,显然“cosC=2sirt4sin8"不成立；

在△力8C中，又由CoSC=2sinJsin8,

可知-CoS（Z+8）=2SinJSin8,即CoS（A-B）=0,

此时有A-B=±今即/为钝角或8为钝角，从而a∕8C为钝角三角形.

SC是钝角三角形”推不出“cosC=2siMsin8”；

"cosC=2siMsinB"="Z∖∕8C是钝角三角形”

.∙."A48C是钝角三角形”是“cosC=2sio4sin8”的必要不充分条件.

故选:A.

3.（5分）设α=log25,⅛=521>C=0.25,则a,b,C的大小关系是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.a>c>⅛

【解答】解：V2=log24<log25<log28=3,Λ2<t∕<3,

V52I>52=25,：.b>25,

VO<O.25<O.2O=1,Λ0<C<1,

：.b>ci>c,

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故选:B.

1ʌ

4.（5分）若（-―AWX2）5（"7∈R）的展开式中X5的系数是80,则实数M=（）

y/X

A.-2B.-1C.1D.2

15—kɔ.

【解答】解：展开式的通项公式为7λ÷l=C8丁）5飞-机χ2"=（力忆kχ-U→2k=

5√x5

f5k-5

（-m）kC红F-,

,5∕c-5小

由一--=5,得左=3,

即74=系数为（-加）3。ɜ=80,

得（-加）3=8,得-m—-2,得加=2,

故选：D.

5.（5分）甲、乙、丙三人随机排成一排，乙站在中间的概率是（）

Illl

A.—B∙二C,一D.一

2346

【解答】解：三个人排成一排的所有情况有：

甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙乙甲，丙甲乙，共6种，

其中乙在中间有2种，

.∙.乙在中间的概率为尸U

故选：B.

6.（5分）若圆锥SOi,SO2的顶点和底面圆周都在半径为4的同一个球的球面上，两个圆

锥的母线长分别为4,4√2,则这两个圆锥公共部分的体积为（）

85656+16√3

A.-TTB.8πC.—TiD.------------π

333

【解答】解：易得S,Oi,02,。在同一条直线上，过该直线作出截面图如图所示.

小囱是圆锥Sol底面圆的直径，血比是圆锥SO2底面圆的直径，两直径都与OS垂直.

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在中，S∕ι=4,0∕ι=OS=4,则可得OOl=OIS=2.

在a042S中，SA2=4五,042=0S=4,则S4j=04g+0S2,则。42_LOS.

又OM2∙LO25,所以点O,3重合.

这两个圆锥共顶点且底面平行，故它们的公共部分也是一个圆锥，

其底面半径为OIC=±0/2=2,高为OIS=2,

所以所求体积为V=^×π×22×2=∣π.

故选：A.

7.(5分)过抛物线∕=2pχ(p>0)的焦点/作直线与抛物线在第一象限交于点儿与准

线在第三象限交于点8,过点Z作准线的垂线，垂足为若tanN4FH=2,则|需I=

543

--C-a2

A.4B.32

【解答】解：由题意如图所示：设准线与X轴的交点为M,过点f作FCJ_ZH交于C,

由抛物线的定义可知M用=X"∣,

所以NAHF=N4FH=a,/FAH=i=∕0FB,M=COS器。)=∕(占可'

l|_ICFl_∣CH"na_p∙tana

14PLsin(π-2a)-sin(π-2oc)-sin(π-2aY

~AFtanatanatan2a-l

所以J∖~~∖L=---------=-------=--------=一3，

∖BF∖tan(π-2a)tan2a22

故选：C.

8.(5分)在下列函数中，最小正周期为π的偶函数为()

A.ιy=sin∣2x∣B.y=∣cosx∣

TTπ

C.y=cos(2x+ɪ)D.y=tαn(x—ʌ)

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【解答】解：对于4y=sin∣2x∣不是周期函数，不满足题意;

对于8,y=∣cosx∣是偶函数，且最小正周期为ιτ,满足题意；

对于C,y=cos(2r+^)=-sin2r,不是偶函数，不满足题意;

对于。，y=tan(X—左)不是偶函数，不满足题意.

故选：B.

二.多选题(共4小题，满分20分，每小题5分)

9.(5分)下列表示图形中的阴影部分的是()

C.(AJB)∩(5UC)D.(Zn8)UC

【解答】解：图中阴影部分表示元素满足：

是C中的元素，或者是4与8的公共元素

故可以表示为CU(NCB)

也可以表示为：(ZUC)∩(BUC)

故应为：CU(∕∩8)或(JUC)∩(BUC).

故选：AD.

10.(5分)定义在R上的函数/(x)满足/(x)=/(2-χ),当-2WXWln寸，/(x)

1-X,0≤x≤l,,

,则r()

log2(-x)/-2≤X≤0

A.f(x)的图象关于直线X=I对称

B./(x)不可能是周期为6的函数

37

c./(x)在区间(5,-)上单调递增

D.不等式/(x)V-X的解集一定非空

【解答】解：函数/(x)满足/(x)=∕(2-x),所以/(x)的图象关于直线x=l对称,

又［-2,1］区间长度为3,所以/G)的周期可能是6的函数,

第12页共20页

37

因为/(2)=/(0)=1,/(3)=/(7)=0,所以在区间(5,万)上单调递增是错误

的，

设直线y=-X与函数y=log2(x-2)的图象的交点横坐标为Xo，则由直线y=-χ与函

数y=log2(X-2)可知,

当2<x<xo时，f(x)Ox恒成立，故不等式/(x)<-X的解集一定非空，

故选：AD.

11.(5分)已知S,是等差数列｛"”｝("∈N*)的前"项和，且S5>S6>S4,以下有四个命题，

其中正确的有()

A.数列｛a”｝的公差d<0

B.数列｛a,,｝中S,的最大项为SlO

C.5ιo>O

D.5n>0

【解答】解：已知S”是等差数列S"｝("∈N*)的前〃项和，且S5>S6>S4,

所以S6-S5VO，即。6<0，由于S6-S4>0,即45+α6>O,

对于/：所以。5>0，故公差d<0,故/正确，

对于5：由于45>0,a6<0,所以数列的｛α,J中S”的最大项为S5最大，故8错误；

对于c：Slo=弛竽=产ɪ>0,故C正确，

对于。：由于SII=IMaljall)=IIa6<0,故。错误.

故选：AC.

12.(5分)在直角坐标系内，由4B,C,。四点所确定的''N型函数”指的是三次函数/

(x)-ax3+bx2+cx+d(α≠0),其图象过Z,。两点，且/(x)的图象在点Z处的切线经

过点8,在点。处的切线经过点C.若将由N(O,O),B(1,4),C(3,2),D(4,0)

四点所确定的“N型函数”记为y=/(x),则下列选项正确的是()

A.曲线y=∕(x)在点。处的切线方程为>=-2x+8

1

B.f(X)=ɛɪ(X-4)(X-8)

C.曲线y=f(x)关于点(4,0)对称

D.当4WxW6时，/(x)20

【解答】解：因为直线8的斜率为浮=—2,所以8的方程为N-O=-2(X-4),

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即y=8-2x,所以N正确；

因为/(x)的图象经过“(0,0),D(4,0),所以/(x)有两个零点0,4,

故可设f(x)—X(X-4)(kx+m)(λ≠0)>f(X)—kx(X-4)+(kx+m)(2x-4),

由/(0)=4,f(4)=-2,可得Bi=-1,k=ɪ,所以/(x)(x-4)(x-8),

B正确；

由/(X)4/(8-X)=0,所以曲线V=/■(X)关于点(4,0)对称，C正确；

当4WxW6时，有X-420,X-8≤0,所以/(x)≤0,即。不正确.

故选：ABC.

≡.填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)

13.(5分)若向量;，Z满足Z=(cosθ,sinθ)(θ∈R),∖b∖=2,则121一1的取俏范闱为10,

4]_.

【解答]解:向=1,而=2,设之与施夹角为ɑ,则：(2Z-芬=4a2+b2-4a-b=8-

Qcosa,

Va∈[0>π],/.0≤8-8cosa≤I6>

Λ0≤∣2a-b∖<4,

.∙.∣2;-&的取值范围为[0,4].

故答案为：[0,4].

14.(5分)已知双曲线C：J∣-≤=l(a>0,b>0),直线Lb与C的两条渐近线分别交

于N,2两点，过Z作圆M：(x+2b)2大“=房的切线，。为其中一个切点若M4=0用，

√22

则C的离心率为—丁

4

【解答】解：将Lb代入C的渐近线方程y=±自，得y=±a,则|幽=2〃.

不妨假设Z(b,。)，贝IJMDl=ʌ/(ð÷2fe)2+a2—h2=Vδh2÷a2.

b23

即--=-

因为M9=∣∕8∣,所以√8i>2+a28

故e=

√22

故答案为：-—-

4

15.(5分)将编号为1,2,3,4,5的5个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子都不空,

第14页共20页

6

则每个盒子中所放小球的编号奇偶性均不同的概率为一二

【解答】解：要求每个盒子都不空，则3个盒子中所放小球的个数分别为3,1,1或2,

2,1则

若每个盒子中所放小球的编号奇偶性均不同，只能是2,2,1且放入同一盒子中的两个

小球必须是一奇一偶，

屋。2/2Z-

则每个盒子中所放小球的编号奇偶性均不同的概率为P=―T⅛=券，

A蚪+3.3

6

故答案为：—

16.（5分）在正方体∕8CO-ZIBICIDI中，AB=2,E,尸分别为棱/8,的中点，则该

9

正方体被平面CEF所截得的截面面积为_万_,四面体BCEF外接球的表面积为

14π・

【解答】解：因为平面CEF与平面CDD。的交线为Co1，所以截面为四边形CEQ

而四边形CEEDl为等腰梯形，且CDl=2EF=2√Σ,CE=DlF=瓜

故其面积为一ʌX五=了

设线段CE的中点为G,四面体BCE/外接球的球心为O,

则OG，平面8CE.设球。的半径为R,

则M=OG?+EG2=心+（OG-AF）2.

因为AG2=（1+i）2+"=竽，EG2=新以OG=|,从而R2=OG2+EG2=ɪ,

故球0的表面积为4πΛ2≈14π.

9

故答案为：14π.

四.解答题（共6小题，满分70分）

17.（10分）等差数列｛”“｝中，公差d≠0,a2=2,且αι,«3,。9成等比数列.

第15页共20页

(I)求数列S”｝的通项公式；

(II)设G=求数列｛∕"Cn｝的前n项和S.

an+ln

【解答】解：(I)依题意，ɑi,。3,。9成等比数列，

故Q；=QIa9，即(02+4)2=(。2-d)(a2+7d),

:42=2,.∙.(2+d)2=(2-d)(2+7d),

整理，得屋-d=0,

解得d=l,或d=0(舍去)，

/.a∖=a2-d=2-1=1.

・.・数列｛©?｝的通项公式为〃〃=〃，"∈N*.

(II)由(I),得Cn=而¥],

故lncn==Inn-ln(n+1),

.*∙Sn=InCl+∕nC2+…/”Cn

=Inl-In2+ln2->3+…-In(〃+1)

=ln∖-In(〃+1)

=Tn(Λ+1).

18.(12分)已知△力BC中，三内角4B,C的对边分别为。，h,α且满足(sin^+sinC)

2=sin2τ4+sin5sinC.

(1)求出

(2)若6+c=6,Z∖∕8C的面积为2百，求

【解答】解：(1),：(sin5÷sinC)2=sin2^+siιιδsinC.

由正弦定理得(b+c)2=a2+bc,即b2+c2-a2=-be,

*∙cosA=­2，.*∙A=-ɜ-.

(2)VSΔABC=^bcsinA=孚be=2√3,

222

:∙bc=8,结合6+c=6,(b+c)=a+bcfΛα=28.

Λα=2V7.

19.(12分)如图，四棱锥尸-48。的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为4√1点

G,E,F,修分别是棱P5,AB,CD,PC上共面的四点，BC〃平面GEFH.

(I)证明：GH//EF；

第16页共20页

(II)若E8=2,且二面角E-GH-8大小为45°,求GB与平面GEF”所成角的正弦

值.

【解答】解：(I)，；BC〃平面GEFH,面PBCC面GEFH=GH,：.BC〃GH,

同理，由面/8CErl面GE"/=E凡WBC//EF,JGHHEF.

(II)取8C,4。的中点M,N,设MNCEF=I,PMCGH=J,

"：BCLMN,BCIPM,旦GH〃BC,

：.GHlMN,GHLPM,.∙.G∕ΛL面PAfN

：.GHLlJ,；.NMJ/=45°即为二面角E-G"-8的平面角.

又PN=PM=√PP2-BM2=4√2,MN=8,

.".PM2+PN2^MN2,

：.NPMN=NPNM=45°,为等腰直角三角形，且JM=2√Σ=*PM,

故G,H分别为PB,PC的中点，：.GB=2√3,"：IMLIJ,EB//IM,

：.EBA.IJ,又EBLEF,：.E8J_面GEFH,

：.ZBGE是直线GB与平面GEFH所成的角，

SinNBGE=鄢ɪ.

20.(12分)2019年11月5日至10日，第二届中国国际进口博览会在上海举行.某宣传媒

体组织业内人士对某型号智能机器人进行评分，所得情况如图所示：

第17页共20页

(I)试估计业内人士评分的平均数以及方差(用每个小矩形底边中点近似替代本组数

据)；

(II)为了调查评分与性别是否具有相关性，研究人员随机抽取了60位参加评分的业内

人士，其中男性与女性人数各一半，根据已知条件完成下面2X2列联表，据此资料，是

否有90%的把握认为评分的高低与性别有关？

分数不低于60分低于60分合计

男性1630

女性1030

合计60

参考公式：⑴蜉=其中"=α+b+c+d∙

222

(2)DX=Cxi-EX)×pι+(XI-EX)×p2+-+(Xn-EX)×pn.

参考数据：

P(K22左)0.150.100.0500.025

k2.0722.7063.8415.024

O20406080100X

【解答】解：(I)依题意，所求平均数为30X0.1+50X0.3+70X0.4+90X0.2=3+15+28+18

=64,

方差为(30-64)2×0.1+(50-64)2×0.3+(70-64)2×0.4+(90-64)2X0.2=

115.6+58.8+14.4+135.2=324.

(II)由题意完善2义2列联表如下：

分数不低于60分低于60分合计

男性141630

第18页共20页

女性102030

合计243660

2

.Hi_60×(14×20-10×16)_IO-„n，

-K―—24x36x30x30---9-2∙zυ°,

.∙.没有90%的把握认为评分的高低与性别有关.

%VVZ

21.(12分)已知椭圆C：^2÷^2=1(a>6>0)的离心率为三，椭圆的右焦点与右顶点

及上顶点构成的三角形面积为√∑-1.

(I)求椭圆C的标准方程.

_7

(II)已知直线y=kG-1)与椭圆C交于48两点，若点。的坐标为(70),向：

是否存在鼠使得凝∙(⅛

>1?若存在，求出A的取值范围；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(I)设椭圆C的半焦距为c.

r∙∖∕2

由题意可知一==即CI2=2C1,代人a2=b2+c2,得b2=c2.

a2

所以a—√2c,b=c.

又5(α-c)b=yfi-1,

将Q=√2c,b=c代入解得C=√2.

所以a2=4,P=2,

/2

故椭圆C的标准方程为了+-y=1.

42

y

(∏)直线y=k(X-I)与椭圆方程联立方程组得f7=":一D'

U2+Iy2=4,

消去y得(l+2⅛2)X2-4⅛2X+2⅛2-4=0,(*)

设A(x