江苏省扬州市邗江区2023-2024学年高二上学期期中调研测试数学

邗江区2023—2024学年度第一学期期中调研试题高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.经过点且倾斜角为的直线的方程是（）A. B.C. D.2.已知点在直线上，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.43.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）A. B. C.或 D.且4.已知是抛物线：的焦点，点在上且，则的坐标为（）A. B. C. D.5.过直线上的点P作圆的两条切线，，当直线，关于直线对称时，两切点间的距离为（）A.1 B.2 C. D.6.为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座景观喷泉．如图所示，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为2m，且水流落在地面上以O为圆心，6m为半径的圆内，则管柱OA的高度为（）A.2m B.3m C. D.7.瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线l：与的欧拉线平行，则实数a的值为（）A.－2 B.－1 C.－1或3 D.38.已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.（多选）过定点（2，3）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线为（）A. B.C D.10.已知，为两个不相等非零实数，则方程，与所表示的曲线不可能是（）A. B. C. D.11.已知经过点的圆C的圆心坐标为(t为整数)，且与直线l：相切，直线m：与圆C相交于A、B两点，下列说法正确的是（）A.圆C的标准方程为B.若，则实数a的值为C.若，则直线m的方程为或D.弦AB中点M的轨迹方程为12.已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（）A.直线的斜率为 B.C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若直线斜率为，倾斜角为且，则的取值范围是_____.14.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则它的离心率为________．15.由曲线围成的图形的面积为______.16.动点分别与两定点，连线斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的取值范围为____________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知的三个顶点是，，.求：（1）边上的中线所在直线方程；（2）边上的高所在直线方程.18.求适合下列条件圆锥曲线的标准方程：（1）求椭圆的标准方程：以点，为焦点，经过点.（2）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，求抛物线的标准方程.（3）求双曲线的标准方程：经过点，.19.已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与抛物线相交于A，B两点，（1）当时，求直线l的方程；（2）求证：以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切．20.已知圆，圆（1）若圆、相切，求实数的值；（2）若圆与直线相交于、两点，且，求的值.21.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，且点在该双曲线上.直线交C于P，Q两点，直线的斜率之和为（1）求该双曲线方程；（2）求的斜率；22.已知椭圆的长轴长为4，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆相交于两点，为原点，求面积的最大值.

邗江区2023—2024学年度第一学期期中调研试题高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.经过点且倾斜角为的直线的方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程；【详解】由倾斜角为知，直线的斜率，因此，其直线方程为，即故选：B2.已知点在直线上，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】就是到原点距离，只需求出原点到直线的距离即可.【详解】就是到原点距离，到原点距离的最小值为则的最小值为2，故选：B3.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）A. B. C.或 D.且【答案】D【解析】【分析】根据焦点在轴上的椭圆方程满足的条件建立不等关系，进而求解结论．【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得且.故选：D.4.已知是抛物线：的焦点，点在上且，则的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由结合抛物线的定义可求出的值，进而可求的坐标.【详解】因为是抛物线：的焦点，所以，又，由抛物线的定义可知，解得，所以.故选：A5.过直线上的点P作圆的两条切线，，当直线，关于直线对称时，两切点间的距离为（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】由两条切线关于直线对称，可确定与直线互相垂直，即可求得得长，再结合直角三角函数和垂径定理，即可求解.【详解】依题意，设两切点分别为、，并连接交于点，作出示意图：当直线，关于直线对称时，则两条直线，与直线的夹角相等，且与直线互相垂直，的长为圆心到直线的距离，即，又圆的半径，在中，，故，结合垂径定理得，即两切点间的距离为，故选：D.6.为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座景观喷泉．如图所示，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为2m，且水流落在地面上以O为圆心，6m为半径的圆内，则管柱OA的高度为（）A.2m B.3m C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，求出点的坐标，代入抛物线方程，即可求得，再将点代入抛物线方程中，求出，即可求得的高度．【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，由题意知，水流的轨迹为一开口向下的抛物线，设抛物线的方程为，因为点，所以，解得，所以抛物线方程为，点在抛物线上，所以，解得，所以，所以管柱的高度为．故选：B．7.瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线l：与的欧拉线平行，则实数a的值为（）A.－2 B.－1 C.－1或3 D.3【答案】B【解析】【分析】根据三角形顶点坐标得出重心与外心，求出三角形欧拉线，根据直线平行得解.【详解】由的顶点，，知，重心为，即，又三角形为直角三角形，所以外心为斜边中点，即，所以可得的欧拉线方程，即，因为与平行，所以，解得，故选：B8.已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由点坐标求得点坐标，然后代入椭圆的方程，化简求得椭圆的离心率.【详解】由令，得，由于与轴平行，且在第一象限，所以.由于，所以，即，将点坐标代入椭圆的方程得，，，所以离心率.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.（多选）过定点（2，3）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线为（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】设所求的直线方程为，求出横截距，纵截距，再由过点的直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，求出，即得解.【详解】由题意，直线不与坐标轴垂直，设所求的直线方程为，当时，得横截距，当时，得纵截距，因为过点的直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，所以，所以或，所以，或或，所以直线的方程为或或.故选：ABC.10.已知，为两个不相等非零实数，则方程，与所表示的曲线不可能是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先变形得到，对四个选项一一分析，得到答案.【详解】变形得到，A选项，双曲线交点在轴上，故，此时应该经过第一，二，四象限，A不可能；B选项，椭圆焦点在轴上，故，此时经过第一，二，三象限，B不可能；C选项，双曲线交点在轴上，故，此时应该经过第一，三，四象限，C可能；D选项，椭圆焦点在轴上，故，此时经过第一，二，三象限，D不可能；故选：ABD11.已知经过点的圆C的圆心坐标为(t为整数)，且与直线l：相切，直线m：与圆C相交于A、B两点，下列说法正确的是（）A.圆C的标准方程为B.若，则实数a的值为C.若，则直线m的方程为或D.弦AB的中点M的轨迹方程为【答案】BC【解析】【分析】对于A，设圆C的半径为r，由题意得出圆C的方程，即可根据已知点是圆C上的点，且圆C与直线l：相切，列方程组解出t，r的值，即可得出圆C的标准方程；对于B，根据已知与得出线段AB为圆C的直径，即可根据直线m与圆C相交于A、B两点，得出圆心C在直线m上，代入求解即可得出a的值；对于C，利用点到直线距离公式得出圆心C到直线m的距离d的式子，根据弦长结合勾股定理得出d的值，即可列式得出a，即可得出直线m的方程；对于D，转化直线m的方程得出直线m过定点，根据圆的性质可得，即可根据圆的性质得出点M的轨迹是以线段CN为直径的圆，即可得出该圆的方程，注意此方程是有范围的，根据两圆的交点坐标得出范围，即可判断.【详解】对于A，设圆C的半径为r，由题意可得圆C的方程为(t为整数)，根据点是圆C上的点，且圆C与直线l：相切，得，解得，或（舍去），则圆C的标准方程为，故A错误；对于B，由选项A知圆C的标准方程为，圆心，点在圆C上，且，线段AB为圆C的直径，直线m：与圆C相交于A、B两点，圆心在直线m上，，解得，故B正确；对于C，由选项A知圆C的半径为2，圆心，则圆心C到直线m的距离，，即，解得，，整理得，解得或，则直线m的方程为或，故C正确；对于D，直线m的方程可化为，过定点，由圆的性质可得，点M的轨迹是以线段CN为直径的圆，则此圆圆心为线段CN的中点，其坐标为，半径为，则该圆的方程为，由，得两圆的交点坐标为与，故弦AB的中点M的轨迹方程为，，故D错误；故选：BC.12.已知O为坐标原点，过抛物线焦点F直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（）A.直线的斜率为 B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；对于D，，则为钝角，又，则为钝角，又，则，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若直线的斜率为，倾斜角为且，则的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】直接利用斜率和倾斜角的关系来得答案.【详解】，且，或，即的取值范围是.故答案为：.14.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则它的离心率为________．【答案】2【解析】【详解】由题意，得e＝＝＝＝2.15.由曲线围成的图形的面积为______.【答案】【解析】【分析】曲线围成的图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可，结合圆的方程运算求解.【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可，当，时，曲线可化为：，表示的图形为以为圆心，半径为的一个半圆，则第一象限围成的面积为，故曲线围成的图形的面积为.故答案为：.16.动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的取值范围为____________.【答案】【解析】【分析】根据已知可求得点的轨迹方程为（），即椭圆.根据椭圆的定义转化为求的最值，结合图象，即可得出答案.【详解】设，，则，，由已知可得，，即，整理可得，.所以，点的轨迹方程为（）.所以，，，，所以.则为椭圆的左焦点，设右焦点为，根据椭圆的定义有，所以，所以，.①当时，根据三边关系可知有，当且仅当三点共线时，等号成立，即位于图中点时，有最大值为，所以，；②当时，根据三边关系可知有，所以，当且仅当三点共线时，等号成立，即位于图中点时，有最小值为，所以，.综上所述，.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知的三个顶点是，，.求：（1）边上的中线所在直线方程；（2）边上的高所在直线方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出点的坐标为，由两点式斜率公式求出的斜率，代入点斜式即可求解.（2）由两点式斜率公式求出斜率，利用垂直关系得的斜率，代入点斜式即可求解.【小问1详解】由题知的中点，所以直线的斜率，则边上的中线所在直线的方程为，化简得.【小问2详解】由题意得直线AC的斜率，且，所以.则边上的高所在直线的方程为，化简得.18.求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）求椭圆的标准方程：以点，为焦点，经过点.（2）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，求抛物线的标准方程.（3）求双曲线的标准方程：经过点，.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义可求，再求出后可求椭圆的标准方程.（2）根据抛物线的定义和性质，选择合适的条件进行求解即可；（3）设所求方程为，代入点求解.【小问1详解】设椭圆的标准方程为，焦距为.由题意有，，，所以，，故椭圆的标准方程为.小问2详解】由抛物线的定义可得，∴，解得，故抛物线的标准方程为.【小问3详解】设所求双曲线方程为，则，解得，所以双曲线方程为.19.已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与抛物线相交于A，B两点，（1）当时，求直线l的方程；（2）求证：以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切．【答案】（1）或（2）证明见解析【解析】【分析】（1）解法1：分l斜率不存在和存在两种情况讨论，根据即可求出l的方程；解法2：根据题意可知l斜率存在时，斜率不为0，由此可设，根据即可求出l的方程；（2）几何法：取AB的中点M，则M为以AB为直径的圆的圆心，过M作MN⊥准线于N，过A作⊥准线于，过B作⊥准线于，根据梯形的性质即可证明；代数法：设，求出和中点M到准线的距离d，根据d和关系即可证明．【小问1详解】解法1：由题意，可得，，当l斜率不存在时，l为，由得，故，与题意不符．当直线l斜率存在时，设，∴，设则，根据抛物线的定义可得，，则，解得．∴直线l的方程为或．解法2：由题意，可得，∵直线l与抛物线相交于A，B，∴l斜率存在时，斜率不为0，故可设，则，设则∴，解得．则直线l的方程为或．【小问2详解】几何法：取AB的中点M，则M为以AB为直径的圆的圆心，设，过M作MN⊥准线a于N，过A作⊥准线a于，过B作⊥准线a于，根据梯形的性质和抛物线的定义可得，即得证．代数法：设，弦AB的中点为M，则M为以AB为直径的圆的圆心，其横坐标为，∵直线l与抛物线相交于A，B，∴l斜率存在时，斜率不为0，故可设，则，则，则M到准线的距离为．又，故，即以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切．20.已知圆，圆（1）若圆、相切，求实数的值；（2）若圆与直线相交于、两点，且，求的值.【答案】（1）或；（2）或【解析】【分析】（1）求出圆和圆的圆心和半径，求出圆心距，分外切和内切两种情况，得到方程，求出m的取值；（2）求出圆心距，利用垂径定理得到方程，求出的值.【小问1详解】已知圆变形为，圆的圆心为，半径，圆的圆心，半径为，圆心距，当两圆外切时，有，即，解得，当两圆内切时，有，即，解得，故m的取值为或【小问2详解】因为圆与直线相交于、N两点，且，而圆心到直线的距离，有，即，解得：或.21.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，且点在该双曲线上.直线交C于P，Q两点，直线的斜率之和为（1）求该双曲线方程；（2）求的斜率；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知列出关系式，求出，然后将点的坐标代入方程，即可得出答案；（2）解法一：设0，列出方程，化简得出或.检验即可得出答案；解法二：设直线PA方程：，联立直线与双曲线的方程，根据韦达定理得出点的坐标，进而代入斜率公式，化简即可得出答案.【小问1详解】双曲线的渐近线是，即，根据对称性，