新高考数学一轮复习提升训练4.2 利用导数求单调性（精讲）（解析版）

4.2利用导数求单调性（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一单调区间（无参）【例1-1】（2022·新疆）函数SKIPIF1<0的减区间是____________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0所以由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0所以函数SKIPIF1<0的减区间是SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0【例1-2】（2022·广东·顺德一中）设曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调递减区间是______.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0所以函数SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【例1-3】（江苏省苏州实验中学）已知函数f(x)满足SKIPIF1<0，则f(x)的单调递减区间为（

）A．(-∞,0) B．(1,+∞) C．(-∞,1) D．(0,+∞)【答案】A【解析】由题设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0递增，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0递减，故SKIPIF1<0递减区间为(-,0).故选：A【一隅三反】1．函数f(x)＝x＋2eq\r(1－x)的单调递增区间是()A．(0,1) B．(－∞，1)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)【答案】C【解析】f(x)的定义域为(－∞，1]，f′(x)＝1－eq\f(1,\r(1－x))，令f′(x)＝0，得x＝0.当0<x<1时，f′(x)<0.当x<0时，f′(x)>0.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0,1)．2．（皖豫名校联盟体2022届）函数SKIPIF1<0的单调递减区间为__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则其在SKIPIF1<0上递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，综上，SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<03．已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cosx，则f(x)的单调递增区间为．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))【解析】f′(x)＝1－2sinx，x∈(0，π)．令f′(x)＝0，得x＝eq\f(π,6)或x＝eq\f(5π,6)，当0<x<eq\f(π,6)时，f′(x)>0，当eq\f(π,6)<x<eq\f(5π,6)时，f′(x)<0，当eq\f(5π,6)<x<π时，f′(x)>0，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))上单调递减．考点二已知单调性求参数【例2-1】（2022安徽省“皖东县中联盟）若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】对于函数SKIPIF1<0，导数SKIPIF1<0.要使函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，只需SKIPIF1<0恒成立.因为SKIPIF1<0，只需SKIPIF1<0，只需SKIPIF1<0恒成立.记SKIPIF1<0，只需SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单减，在SKIPIF1<0上单增，且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的最大值为1.所以SKIPIF1<0.故选：B【例2-2】（2022.广东）已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上不是单调函数，则实数a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上不是单调函数∴SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有根∴当a＝0时，x＝－1不满足条件当SKIPIF1<0时，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故选：D．【一隅三反】1．（2022福建省）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为单调递增函数，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，令SKIPIF1<0，要满足SKIPIF1<0①，或SKIPIF1<0②，由①得：SKIPIF1<0，由②得：SKIPIF1<0，综上：实数m的取值范围是SKIPIF1<0.故选：D2．（湖南省三湘名校教育联盟2022届）若SKIPIF1<0是R上的减函数，则实数a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是R上的减函数，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：B.3．（江西省宜春市八校2022届）已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在单调减区间，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在单调递减区间，所以存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A4．（2022·宁夏吴忠）已知函数SKIPIF1<0存在三个单调区间，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由题意，函数SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0存在三个单调区间，可得SKIPIF1<0有两个不相等的实数根，则满足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：C.考点三单调性的应用之解不等式【例3】（湖南省多所学校2022届）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的解集是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】B【解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，且SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是偶函数，∴SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故选：B.【一隅三反】1．（陕西省西安地区八校2022届）已知函数SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以不等式SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0.故选：D2．（湖北省2022届）已知函数SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即原不等式的解集为SKIPIF1<0.故选：B.3．若函数f(x)＝lnx＋ex－sinx，则不等式f(x－1)≤f(1)的解集为．【答案】(1,2]【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝eq\f(1,x)＋ex－cosx.∵x>0，∴ex>1，∴f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x－1)≤f(1)，∴0<x－1≤1，即1<x≤2，原不等式的解集为(1,2]．4．已知函数f(x)＝xsinx＋cosx＋x2，则不等式f(lnx)＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,x)))<2f(1)的解集为．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))【解析】f(x)＝xsinx＋cosx＋x2是偶函数，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,x)))＝f(－lnx)＝f(lnx)．则原不等式可变形为f(lnx)<f(1)⇔f(|lnx|)<f(1)．又f′(x)＝xcosx＋2x＝x(2＋cosx)，由2＋cosx>0，得当x>0时，f′(x)>0.所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴|lnx|<1⇔－1<lnx<1⇔eq\f(1,e)<x<e.考点四单调性应用之比较大小【例4-1】（华大新高考联盟名校2022届）已知实数a，b，SKIPIF1<0，e为自然对数的底数，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，求导得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0.故选：A．【例4-2】（湖南师范大学附中2022届）下列两数的大小关系中正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】对于A，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，A错误；对于B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，B正确；对于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，C错误；对于D，SKIPIF1<0，D错误.故选：B.【一隅三反】1．（2022年全国新高考I卷数学试题）设SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增，又SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故选：C.2．（山东省青州市2022届）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,函数单调递减,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,函数单调递增,故当SKIPIF1<0时,函数取得最大值SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,函数单调递减,可得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.故选:C3．（江西省萍乡市2022届）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可以判断SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：D.4．（湖北省二十一所重点中学2022届）已知SKIPIF1<0是自然对数的底数，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】根据题意，设SKIPIF1<0，易知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0递减；SKIPIF1<0，即为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，即为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故A错，故D错；SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故B错；构造函数SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；故选：C.考点五含参函数的单调性讨论【例5-1】（2022广西节选）已知函数SKIPIF1<0，讨论SKIPIF1<0的单调性；【答案】答案见解析【解析】SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减综上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减【例5-2】（2022安徽）已知函数SKIPIF1<0，讨论f（x）的单调性；【答案】答案见解析【解析】由题意得：f（x）定义域为（0，+∞），SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0∴f（x）在（0，SKIPIF1<0）上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减；综上所述：当SKIPIF1<0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当SKIPIF1<0时，f（x）在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减.【例5-3】（安徽省江淮名校2022届）已知函数SKIPIF1<0，讨论SKIPIF1<0的单调性；【答案】答案见解析【解析】函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0单调递减．当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0单调递增，在区间SKIPIF1<0单调递减．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0单调递减．综上所述，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0单调递减．SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增．SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0单调递减．SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0单调递减．【例5-4】（2022辽宁省沈阳市第二中学）已知函数SKIPIF1<0，讨论SKIPIF1<0的单调性；【答案】答案见解析【解析】函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0的减区间为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时的解为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，此时，函数SKIPIF1<0的减区间为SKIPIF1<0，增区间为SKIPIF1<0.综上所述，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的减区间为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的减区间为SKIPIF1<0，增区间为SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2022贵州省贵阳市五校）已知SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，讨论SKIPIF1<0的单调性；【答案】SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递增；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的增区间是SKIPIF1<0，减区间是SKIPIF1<0．【解析】SKIPIF1<0的定义域是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递增，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的增区间是SKIPIF1<0，减区间是SKIPIF1<0．综上：SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递增；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的增区间是SKIPIF1<0，减区间是SKIPIF1<0．2．（2022陕西省）已知函数SKIPIF1<0．讨论函数SKIPIF1<0的单调性；【答案】答案解析【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减．3．（重庆市第八中学校2022届高三下学期适应性月考（七）数学试题）已知SKIPIF1<0，讨论SKIPIF1<0的单调性；【答案】见解析【解析】SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，在SKIPIF1<0上递减；当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0