《电路与电子技术》课件 2 电路的基本分析方法与基本定理

第2章电路的基本分析方法和基本定理2.1等效变换分析法2.2支路电流法2.4网孔电流法2.3节点电压法2.5叠加定理2.6等效电源定理2.7一阶动态电路的分析二端（单口）网络具有两个端子与外部相连的电路。ii特点：从一个端子流入的电流等于从另一端子流出的电流.2.1.1二端网络与等效2.1等效变换分析法无源ii有源有源二端网络无源二端网络10Ω20Ω20Ω20Ω+-15V5Ω10Ω+-15V5ΩABAC

用C替代B后，A电路的任何电压、电流和功率都将维持与原电路相同，则对A而言，C与B等效。II1.问题的提出

等效的概念B+-uiC+-uiVCR相同对A电路而言，B和C所起的作用完全相同。BACA明确（1）电路等效变换的条件（2）电路等效变换的对象（3）电路等效变换的目的两电路具有相同的VCR外电路简化电路，方便计算二端网络等效的条件

两个二端网络，若端口具有相同的电压、电流关系（VCR）,则称它们对外等效。5Ω20Ω+U-+10V-I1I

可求得VCR为：U=8-4I+U-4Ω+8V-IU=8-4I等效U/20

根据KCL得：10-U5Ω20Ω+U-+10V-I1I+U-4Ω+8V-IAAA电路的任何电压、电流和功率都将保持不变。等效是对外电路A而言，对内并不等效！无源+-ui计算方法（1）如果内部仅含电阻，则应用电阻的串、并联和

—Y变换等方法求它的等效电阻；（2）对含有受控源和电阻的单口网络，用外加电源法。即在端口加电压源u，求得电流i，得其比值。2.1.2无源二端网络的等效Req+-ui例：求图示无源单口网络的等效电阻。6Ω12Ω3II+-U0外加电源解：由KCL得：U0/6U0/121.电路特点:电阻的串联+_R1Rn+_uki+_u1+_unuRk(a)各电阻顺序连接，流过同一电流(KCL)；(b)总电压等于各串联电阻的电压之和

(KVL)。u=u1+u2

+…+uk+…+un电阻的串并联等效左图：u=u1+u2

+…+uk+…+un=(R1+R2+…+Rk+…+Rn)i

右图：∴Req=

R1+R2+…+Rn

=

Rku=Reqi结论：串联电路的总电阻等于各分电阻之和。2.等效电阻Req等效+_R1Rn+_uki+_u1+_unuRku+_Reqi3.串联电阻上电压的分配由故有即电压与电阻成正比两个电阻的串联分压+_uR1R2+-u1+-u2iºº+_uR1Rn+_u1+_uniº…iinR1R2RkRn+ui1i2ik_1.电路特点:电阻的并联i=i1+i2+…+ik+

…+in(a)各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压(KVL)；(b)总电流等于流过各并联电阻的电流之和

(KCL)。左图:i=i1+i2+…+ik+in=u/R1+u/R2

+…+u/Rn=u(1/R1+1/R2+…+1/Rn)右图：即Geq=G1+G2+…+Gk+…+Gn=

Gk2.等效电阻ReqReq等效inR1R2RkRni+ui1i2ik_+u_ii=u/Req可得：结论：并联电路的总电导等于各分电导之和。3.并联电阻的电流分配由即电流分配与电导成正比知两电阻的并联R1R2i1i2iººiinR1R2RkRn+ui1i2ik_例1计算各支路电流。i1+-i2i3i4i518

6

5

4

12

165V165Vi1+-i2i318

9

5

6

从以上例题可得求解串、并联电路的一般步骤：（1）求出等效电阻或等效电导；（2）应用欧姆定律求出总电压或总电流；（3）应用欧姆定律或分压、分流公式求各电阻上的电流和电压以上的关键在于识别各电阻的串联、并联关系！R=（2+6//3)//4=2

例22

4

6

ººR3

40

30

30

40

30

ººR例3.

R=40//40+30//30//30=30

例46

15

5

5

dcba求:Rab,Rcd等效电阻针对电路的某两端而言，否则无意义。404030

R30Ω30Ω

求Rab、Rac

。

2

baca2

3

4

4

4

2

1

baca3

4

2

2

例52

baca2

3

4

4

4

2

1

baca3

4

4

1

baca3

4

4

计算图中所示电阻电路的等效电阻R，并求电流I

和I5

。例题2.1········

可以利用电阻串联与并联的特征对电路进行简化(a)(b)(c)(d)解············由(d)图可知,(c)由(c)图可知··1k

1k

1k

1k

RE例

I如图求I。三角形连接星形连接?电阻的三角形（形）联接R12R31R23i3

i2

i1

123+++–––u12

u23

u31

R1R2R3i1Yi2Yi3Y123+++–––u12Yu23Yu31Y根据多端网络等效变换的条件，当对应端口的电压、电流关系相同时，则这两个电路对外等效。电阻的星形（Y形）联接通过数学方法可以证明，这两个电路当它们的电阻满足一定的关系时，能够相互等效。

电阻的Y-等效变换R12R31R23i3

i2

i1

123+++–––u12

u23

u31

R1R2R3i1Yi2Yi3Y123+++–––u12Yu23Yu31Y等效变换由此可得的规律：Y

Δ

若R1=R2=R3=R时，有R12=R23=R31=3RR12R31R23i3

i2

i1

123+++–––u12

u23

u31

R1R2R3i1Yi2Yi3Y123+++–––u12Yu23Yu31Y等效变换由此可得的规律：ΔY若R12=R23=R31=R时，有R1=R2=R3=R/3

1k

1k

1k

1k

3k

E如何求I？I1/3k

1/3k

1k

3k

E1/3k

I1k

E3k

3k

3k

I3k

R=1/3+(1/3+1)//(1/3+3)k

R=3//(1//3+3//3)k

ABIAB=0UAB=0

将AB两点短路

将AB两点断开此时称A、B两点为自然等位点。R=R1//R3+R2//R4R=(R1+R2)//(R3+R4)RR

例求Rab.(a)

开路：Rab=2//(4+2)//(2+1)=1

(b)

短路：Rab=2//(4//2+2//1)=1

a2

4

2

1

4

2

b电桥平衡！实际电压源理想电压源uSu=uS

–Rii+_uSR+u_i(0,uS)(uS/R，0)u0理想电压源串联一个电阻R伏安特性电源内阻,一般很小1.实际电源的两种模型及其等效变换其外特性曲线如下：实际电压源R减小R=02.1.3

电源的等效实际电流源并联一个电阻Ri=iS–u/R(0,i

SR)(i

S，0)理想电流源理想电流源iSiR+u_iS伏安特性iu0实际电流源电源内阻，一般很大其外特性曲线如下：实际电流源R增大R=

实际电压源与实际电流源的等效变换由图a：u=us－iR1由图b：i=is-u/R2iRLR1+–usu+–电压源等效变换条件:RLR2uiSi+–电流源i=us/R1–u/R1注意方向！R1=

R2①电压源和电流源的等效关系只对外电路而言，

对电源内部则是不等效的。

注意事项：例：当RL=

时i+_uSR+u_iR+u_iSu=uS，i=0对内：电压源的内阻R中电流为0，不损耗功率，而电流源的内阻R中电流为iS，要损耗功率。iS=uS/R对外等效！对内不等效！u=iSR=uS，i=0②理想电压源与理想电流源可以相互等效么？③电压源和某个电阻串联的电路，都可等效为一个

电流源和这个电阻并联的电路。为什么？端口伏安关系不相同！1Ω+–5Vab5A1Ωab2Ω–+2Vabab2Ω1ANo！！！

理想电压源的串联uS=

uSk(

注意参考方向!)+_uSºº2.

理想电源的串并联等效只有电压值相同的电压源才能并联。+_5VIººº5V+_+_5VIº

理想电压源的并联不允许并联！！º5V+_+_8VIº违反KVL！

可等效成一个理想电流源iS（

注意参考方向）iSººiS1iS2iSkºº….

理想电流源的并联i

只有电流值相同的理想电流源才能串联。

理想电流源的串联违反KCL！电流值不相同的理想电流源不允许串联！1A1A1A理想电压源与其他电路的并联，对外都等效于该电压源。X+

US-+

US-左图:U=US，与I无关+

U-+

U-I右图:U=US，与I无关I两个电路的端口伏安关系相同，所以对外等效！对内等效么？左图：u=us，i=us/R右图：u=us，i=us/R对内部电路：左图：电压源电流is=us/R+us/RL右图：电压源电流is=i=us/R对内不等效！对外等效！对外电路R理想电流源与其他电路的串联，对外都等效于该电流源。+

U-ISXISI+

U-I左图:I=IS，与U无关右图:I=IS，与U无关两个电路的端口伏安关系相同，所以对外等效！对内不等效！利用电路的等效规律对电路某一部分进行适当的等效变换，从而简化电路，方便计算。2.1.4电路的等效分析ususisis

例

求图示电路的最简等效电路。usisWHY？WHY？usisis=is2-is1us1is2is1us2is2is1us2is-us2+is

例

求图示电路的最简等效电路。例

求下列各电路的等效电源解:+–abU2

5V(a)+

+–abU5V(c)+

a+-2V5VU+-b2

(c)+

(b)aU5A2

3

b+

(a)a+–5V3

2

U+

a5AbU3

(b)+

I=0.5A+_15v_+8v7

3

I4

+_7V14

I5A3

4

7

2AI例

求I例

试用等效变换的方法计算2

电阻中的电流。解:–8V+–2

2V+2

I(d)2

由图(d)可得6V3

+–+–12V2A6

1

1

2

I(a)2A3

1

2

2V+–I2A6

1

(b)4A2

2

2

2V+–I(c)例

解：统一电源形式试用等效变换的方法计算1

电阻中的电流。2

+-+-6V4VI2A

3

4

6

12A2A3

6

I2

1+-4V

4

2

I12

4A+-4V

4

I4

11A4

2AI2

13AI2

12

4A+-4V

4

1I2

2

8V+-+-4V

4

2.2支路电流法以支路电流作为未知数解题步骤：R1R2+uS1-R3+

uS2-i1i3i2（1）标出所有支路电流的参考方向（2）列出n-1个独立的KCL方程i1=i2+i3-----（1）（3）列出b-(n-1)个独立的KVL方程i1R1+i3R3=us1---（2）i2R2+us2-i3R3=0--（3）（4）解方程组12b=3,n=2123例1.列写如图电路的支路电流方程(含理想电流源支路)。b=5,n=3独立的KCL方程（2个）i1+i2=i3(1)

i3+is=i4(2)独立的KVL方程只需要列2个！+–ui1i3uSiSR1R2R3ba+–i2iSi4cR4解:R1

i1-R2i2=uS(3)R2

i2+R3i3

+

R4i4=0(4)如果对回路3列写KVL方程，会不会多出一个方程？未知量是4个！如何选择独立回路？回路3：-R4

i4+u=0i1i3uSiSR1R2R3ba+–i2i4cR4KCL方程：

i1+i2=i3(1)

i3+i4+is=0(2)R1i1-R2i2

-us=0(3)KVL方程：R2i2+R3i3-R4i4=0(4)解：12b=5,n=3未知量是4个！例

I1+I2=I3（1）列写图示含受控源电路的支路电流方程。11I2+7I3-5U=0（3）-70+7I1–11I2+5U=0（2）补充方程：a12I1I3I270V7

b+–7

11

+5Uq_U+_解：KCL方程：b=3,n=2方程列写分两步：(1)先将受控源看作独立源列方程；(2)将控制量用支路电流表示KVL方程：U=7I3（4）

选取某一个节点为参考节点(电位为0)，则其余的(n-1)个节点到参考节点的压降称为该节点的节点电压。2.3.1

节点电压方程的标准形式USiSG2G5G4+-G1G3dbac2.3节点电压法1.什么是节点电压节点电压法：以节点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。USiSG2G5G4+-G1G3dbac各支路电压可用节点电压线性表示：

uab=Va-Vb，ubc=Vb-Vc

，uca=Vc-Va显然，对于电路中的任一回路，各支路电压用节点电压表示后KVL自动满足。若以节点电压为未知量列方程来求解电路，只需对节点列写KCL方程。节点电压方程的实质是KCL方程。uab+ubc+

uca=Va-Vb+Vb-Vc+Vc-Va=0对该回路推导节点电压方程步骤：（1）标出所有支路电流的参考方向（4）列出n-1个独立的KCL方程（2）选择参考节点，标出各节点电压（5）将各支路电流代入，得节点电压方程（3）用节点电压表示支路电流i1=(Va-Vb)/R1=(Va-Vb)G1i2=(Vb-0)/R2=VbG2i3=(Vb-Vc)/R3=(Vb-Vc)G3i4=(Vc-0)/R4=VcG4i5=(Va-Vc-US)/R5=(Va-Vc-US)G5VaVcVbi1i3i4i5i2USiSG2G5G4+-G1G3Va-Vc-US（5）将各支路电流代入，整理得（4）列出n-1个独立的KCL方程is=i1+i5-----（1）i1=i2+i3-----（2）i3+i5=i4-----（3）-----（1）-----（2）-----（3）自电导自电导自电导自电导互电导VaVcVbi1i3i4i5i2USiSG2G5G4+-G1G3-----（1）-----（2）-----（3）自电导自电导自电导自电导互电导节点电压方程标准形式G11=G1+G5—节点1的自电导，等于接在

节点1上所有支路的电导之和。但不包括与理想电流源串联的电导。G22=G1+G2+G3—节点2的自电导，等于

接在节点2上所有支路的电导之和。G12=G21=-G1—节点1与节点2之间的互电导，等于直接联接在

节点1与节点2之间的所有支路的电导之和，并冠以负号。自电导总为正，互电导总为负或零（两节点无直接相连的支路时）。*电流源支路电导为零。VaVcVbi1i3i4i5i2USiSG2G5G4+-G1G3:k=1,2,3

，与该节点相连的全部电流源电流的代数和:k=1,2,3，与该节点相联的电压源串联电阻支路转换成等效电流源后源电流的代数和电流方向流入取正，流出取负。电压源的正极与该节点相连取正，负极与该节点相连取负。-----（1）-----（2）-----（3）VaVcVbi1i3i4i5i2USiSG2G5G4+-G1G3其中Gjk:互电导(为负或者为0），j≠kGkk:自电导(为正)

，k=1,2,…m一般情况，对于具有m个独立节点的电路，有:k=1,2,…m

，流进节点k的全部电流源电流的代数和:k=1,2,…m

，与节点k相联的电压源串联电阻支路转换成等效电流源后流入节点k的源电流的代数和例1

列写图示电路的节点电压方程。解：练习题弥尔曼定理----适用于只含有两个节点的电路例R1+US1R2IS3R3R4US4+Va·2.3.2含纯理想电压源支路的节点电压方程（1）对只含一条纯理想电压源支路的电路，可取纯理想电压源支路的一端为参考节点。VaVbVc则Vb=Us4只需对节点a、c列节点电压方程R6-US1++US3-R3+

US4-R5-US2

+R2R1.（2）对含两条或两条以上纯理想电压源支路，但它们汇集于一节点的电路，可取该汇集点为参考节点。VaVbVc则Va=Us3,Vb=Us4故只需对节点c列节点电压方程R6-US1

++US3-+

US4-R5-US2+R2R1.（3）如果电路中含有一个以上的纯理想电压源支路，且它们不汇集于同一点，如下图：VaVbVc则Vb=US4需对节点a、c列写方程。此时必须考虑电压源的电流！再补充约束方程：Vc-Va=Us1如图选择参考节点，IXR6-US1

++US3-R3+

US4-R5-US2

+R2.(1)先把受控源当作

独立源列写方程；(2)再把控制量用节点电压表示。例

列写图示含受控源电路的节点电压方程。UR2=Va解：方程列写分2步：IS1R1R3R2gmUR2+UR2_VaVb含受控源的节点电压方程什么是网孔电流？假想的沿着网孔边界流动的电流。网孔电流是在网孔中闭合的，对每个相关结点均流进一次，流出一次，所以KCL自动满足。若以网孔电流为未知量列方程来求解电路，只需对网孔列写KVL方程。i1i3uS1uS2R1R2R3ba+–+–i2im1im2对图示两个网孔，其网孔电流分别为im1、im2。各支路电流可用网孔电流线性表示：

i1=im1，i2=im2-

im1，i3=

im2。2.4.1网孔电流方程的标准形式2.4网孔电流法i1i3uS1uS2R1R2R3ba+–+–i2im1im2代入整理得，(R1+R2)

im1-R2im2=uS1-uS2-R2im1+(R2+R3)

im2=uS2网孔电流方程的建立(1)

标明各网孔电流及其参考方向；(2)列写网孔的KVL方程；(4)求解方程组得各网孔电流，进一步求各支路电压、电流。

i1=im1，i2=im2-

im1，i3=

im2

网孔1：R1i1-R2i2+uS2-uS1=0

网孔2：R2i2+R3i3

-uS2=0(3)将上述方程中的各支路电流用网孔电流表示；i1i3uS1uS2R1R2R3ba+–+–i2(R1+R2)

im1-R2im2=uS1-uS2-R2im1+(R2+R3)

im2=uS2R11=R1+R2—网孔1的自电阻。等于网孔1中所有电阻之和。R22=R2+R3—网孔2的自电阻。等于网孔2中所有电阻之和。R12=R21=–R2—

网孔1、网孔2之间的互电阻。等于两网孔公共电阻的正值或负值.当两个网孔电流以相同方向流过公共电阻时取正号；否则取负号。uS11=uS1-uS2—网孔1中所有电压源电压升的代数和。uS22=uS2—网孔2中所有电压源电压升的代数和。沿着网孔电流的方向，电压源电压升高取正号，反之取负号。自电阻总为正R11im1+R12im2=uS11R21im1+R22im2=uS22im1im2网孔电流方程的一般形式一般情况，对于具有n个网孔的电路，有Rjk:互电阻+:两个网孔电流以相同方向流过公共电阻-:两个网孔电流以相反方向流过公共电阻0:无共同电阻Rkk:自电阻(为正)

，k=1,2,…,nR11im1+R12im2+…+R1nimn=uS11…R21im1+R22im2+…+R2nimn=uS22Rn1im1+Rn2im2+…+Rnnimn=usnn当网孔电流均取顺(或逆)时针方向时,互阻Rjk

均为负！网孔电流方程的实质就是KVL方程！由KVL知：

u=0

u降

=u升R11im1+R12im2+…+R1nimn=uS11所有电阻的电压降之和所有电源的电压升之和网孔电流法的解题步骤：(1)标明网孔电流及其参考方向；(2)列写各网孔电流方程；(3)求解上述方程，得各网孔电流；(4)其它分析。例

用网孔电流法求各支路电流。解：(1)设网孔电流Ia、Ib和Ic为顺时针方向。(2)列网孔方程：(R1+R2)Ia-R2Ib=US1-US2-R2Ia+(R2+R3)Ib-

R3Ic=US2

-R3Ib+(R3+R4)Ic=-US4(3)求解网孔方程，得

Ia,Ib,Ic(4)求各支路电流：IaIcIb+_US2+_US1I1I2I3R1R2R3+_US4R4I4R11im1+R12im2+R13im3=uS11R21im1+R22im2+R23im3=uS22R31im1+R32im2+R33im3=us3350Ω20Ω2A30Ω+40V-I例

用网孔电流法求解电流I。解：由于I2=2A已知，所以只需对网孔1列写方程。有：I2(20+30)I1+30I2=40由此可得：I1=-0.4A故

I=I1+I2=-0.4+2=1.6A问：若电流源在中间支路，又该如何列写网孔方程？当电路中含有电流源，且电流源仅属于一个网孔时，则该网孔电流就等于电流源的电流值。I12.4.2含电流源的网孔电流方程20Ω50Ω2A30Ω+40V-I2+-u20I1+u=40(1)u+(50+30)I2=0(2)补充方程：

I1+I2=

-2

(3)

当电路中含有电流源，且电流源不属于一个网孔时，不可把电流源电流当作网孔电流。方法设电流源电压u为变量方程的个数够吗？I14Ia-3Ib=2-3Ia+6Ib-Ic=-3U2-Ib+3Ic=3U2①U2=3(Ib-Ia)②Ia=1.19AIb=0.92AIc=-0.51A例

用网孔电流法求含有受控电压源电路的各支路电流。+_2V

3

U2++3U2–1

2

1

2

I1I2I3I4I5IaIbIc解：各支路电流为：I1=Ia=1.19A,I2=Ia-

Ib=0.27A,I3=Ib=0.92A,I4=Ib-

Ic=1.43A,I5=Ic=–0.52A.解得方程列写分两步：(1)将受控源看作独立源列方程；(2)将控制量用网孔电流表示R11im1+R12im2+R13im3=uS11R21im1+R22im2+R23im3=uS22R31im1+R32im2+R33im3=us333个网孔的网孔电流方程一般形式2.5.1叠加定理的基本内容线性电路中，任一支路的电压或电流都等于各独立电源单独作用时在此支路所产生电压或电流的代数和。？①什么样的电路是线性电路？答案：由线性元件和独立源构成的电路。②电路中的线性元件具体包括哪些？答案：线性电阻、线性受控源、线性电感、线性电容等2.5叠加定理答案：某电源单独作用是指这个电源作用，其它电源置0

电压源置0（us=0)

电流源置0(is=0)+-uSiS③电源单独作用是什么意思？？用短路代替用开路代替叠加定理解题步骤：1）标出需求未知量的参考方向；2）画出单电源作用分解图；

3）在分解图中求出未知量的各分量；4）进行叠加，求得未知量。与原图相同取正号与原图相反取负号电压源用短路代替电流源用开路代替例1：用叠加定理求图中电压U。+–10V4A6

+–4

U解:(1)10V电压源单独作用时，4A电流源开路4A6

+–4

U''U'=4V(2)4A电流源单独作用时，10V电压源短路U"=-42.4=-9.6V共同作用：U=U'+U"=4+(-9.6)=-5.6V+–10V6

+–4

U'利用叠加定理求如图所示电路中的电流i。例2.解:(1)7V电压源单独作用+-7V(2)1A电流源单独作用1A(3)根据叠加定理，4/7AUs例3

电路如图所示，为使uab=0，Us应为多大？(1)5A电流源单独作用时(2)电压源单独作用时uab’Usuab’’Us(3)根据叠加定理，求得US=-15V

叠加时注意在参考方向下求代数和。

叠加定理计算时，独立源可分组作用。

不能应用叠加定理求功率。2.5.2应用叠加定理的注意事项设:显然:含线性受控源的电路应用叠加定理时，受控源终保留在各分电路中。例电路如图(a)所示，US=20V，R1=R2=R3=R4，Uab=12V。若将理想电压源除去后，如图(b)所示，试问此时Uab’等于多少？R4R3+-USR1R2abIS1IS2R4R3R1R2abIS1IS2(a)(b)R4R3+-USR1R2abIS1IS2R4R3R1R2abIS1IS2(a)(b)(c)R4R3+-USR1R2ab+-Uab''

（c）图是第2组电源单独作用，产生Uab''=5V根据叠加原理：Uab'+Uab"=12所以(b)图中Uab'=12-5=7VUabUab'（a）图是2组电源共同作用，产生Uab=12V（b）图是第1组电源单独作用，产生Uab’思路：将三个电源分2组两个电流源看作第1组电源；电压源US看作第2组电源齐次性：线性电路中，当激励只有一个时，则响应与激励成正比。Rusr若Rkuskr则2.5.3线性电路的齐次性与可加性例3.解:采用倒推法：设i'=1A，则求电流i

。已知RL=2

R1=1

，R2=1

，us=51V。+–2V2A5A3A21A+–3V+–8V–+21V+–us'=34V8A13Ai'=1A+usR1R2R2RLR1R1–iR2推出此时us'=34V。线性电路中的任一电压、电流均可以表示为以下形式：Rus1r1Rus2r2Rk1us1k1r1Rk2us2k2r2则k2us2k1r1+

k2r2Rk1us1可加性：例4：

图示电路已知：US=6V、IS=3A时，Uo=21VUS=2V、IS=4A时，Uo=16V求当US=3V、IS=6A时，Uo=?解：电路中有两个电源作用，根据叠加原理可设

Uo=K1US+K2IS当

US=2V、IS=4A时，当

US=6V、IS=3A时，US线性无源网络UoIS+–+-

得

21

=K1

6+K2

3

得

16

=K1

2+K2

4联立两式解得：K1=2,K2=3当US=3V、IS=6A时Uo=2US+3

IS=2

3+3

6

=24V∴

Uo=2US+3

IS线性有源二端网络对外可等效为一个理想电压源与一个电阻相串联的支路。NIU+-UocR0UIUoc：开路电压Ni＝０U=Uoc等效内阻R0：将有源二端网络内部独立源置零后的等效电阻。N0R02.6.1

戴维南定理2.6等效电源定理

在电路分析中，如果被求量集中在一条支路上，则可利用戴维南定理求解，解题步骤如下：（1）将分离出被求支路后的电路作为一个有源单口网络，则该有源单口网络可用戴维南定理等效。有源单口网络IxR被求支路+-UOCR0IXR（2）求有源单口网络的开路电压UOC.（3）求有源单口网络的等效内阻R0.（4）在第（1）步的等效电路中求被求量。

电阻化简法：将内部独立源全部置零后，根据串并联化简或Y-Δ等效变换求得。不含受控源的二端网络等效内阻R0的计算方法：R1R2R3R4IS+-US

由独立电源与电阻构成的有源单口网络R1R2R3R4

独立电源零处理后的无源网络RoRo=R1//R2+R3//R4思考：①对于含受控源的电路，求等效电阻时，有源二端网络内部独立源置零，受控源是否也要置零？答案：受控源不能置零！！②对于含受控源的有源二端网络，如何求其等效内阻？？含受控源的二端网络等效内阻R0的计算方法：（1）外加电源法将内部独立源全部置零后，在其端口外加电压源U时，求其端口电流I，则R0=U/I。有源二端网络独立电源零处理后无源二端网络-+UI（2）开路短路法求出开路电压UOC和短路电流ISC，则R0=UOC/ISCabR0UOC+-NabISCISC∵ISC=UOC/R0

∴R0=UOC/ISC例：求等效内阻Req外加电源法：+-U+-6I6Ω3ΩI+-9V独立源置零+-9V+-6I6Ω3ΩI①求开路电压Uoc开路短路法：②求短路电流ISC+-6I6Ω3ΩI+-9V独立源保留+-例:求当电阻R分别为10Ω、20Ω、100Ω时的电流I。2A10Ω20Ω10Ω1ARI

+5V-a思路：将ab以左的有源二端网络用实际电压源等效bRR0+Uocab解:(1)求开路电压Uoc。由节点电压法得：解得：V1=21.25VV2=22.5V所以UOC=V2=22.5V-2A10Ω20Ω10Ω1A

+5V-+UOCV1V2(2)求等效内阻Req。20Ω10Ω10ΩR0R0=20//(10+10)=10Ω(3)原电路等效为：R10Ω+22.5VI

当R为10Ω、20Ω、100Ω时的电流I

分别为1.125A、0.75A、0.205A。2A10Ω20Ω10Ω1A

+5V-注意事项：①戴维南定理只对外电路等效，对内不等效。②戴维南定理只适用于线性的有源二端网络。2A10Ω20Ω10Ω1ARI

+5V-例2:

N为有源二端网络，已知开关S1、S2均断开时，电流表读数为1.2A；当S1闭合、S2断开时，电流表读数为2A。求当S1断开，S2闭合时电流表的读数。∴当开关S1断开，S2闭合时：当开关S1、S2均断开时，当开关S1闭合、S2断开时，解：I例

：用戴维南定理求图中电流I。+-30V+-10V+-12VI6Ώ6Ώ1Ώ2Ώ2Ώ解：将1Ώ电阻支路断开,求出以a、b为端口的戴维南等效电路：ab+-30V+-10V+-12VUoc6Ώ6Ώ2Ώ2Ώ（1）求Uoc+-30V+-10V+-12VUoc6Ώ6Ώ2Ώ2Ώ（2）求RO6Ω6Ω+-+-+-30V10V2Ω2Ωab12V+-6Ω6Ω2Ω2Ωab（3）原电路等效为：1Ώ4Ω+20VI线性有源二端网络，对外电路来说，可以用一个理想电流源和电阻的并联来等效替代；其中电流源的电流等于该端口的短路电流，而电阻等于把该端口的全部独立电源置零后的等效电阻。2.6.2诺顿定理NababRoiscNabiSCN0abR0=Rab例1求图示电路的诺顿等效电路。解：（1）求短路电流iSC。用叠加定理计算短路电流10Ω10Ω1A+20V

-abiSC10Ω10Ω1A+20V

-ab10Ω10Ω1A+20V

-abiSC’iSC’’共同作用：电压源单独作用：电流源单独作用：（3）原电路的诺顿等效电路为：10Ω10Ω1A+20V

-ab(2)求等效电阻Req20Ω1.5Aab一般情况，诺顿等效电路可以由戴维南等效电路经电源等效变换得到。NIU+-10V2ΩUI戴维南等效电路2Ω5A诺顿等效电路是否任何有源二端网络同时具有戴维南等效电路和诺顿等效电路？若二端网络的等效电阻为0，则该二端网络只具有戴维南等效电路，无诺顿等效电路若二端网络的等效电阻为∞，则该二端网络只具有诺顿等效电路，无戴维南等效电路-abReqUoc+Nab+u-i由戴维南定理可知：N+i-uReqUoc+-最大功率传输定理负载RL取何值时可获得最大功率？2.6.3最大功率传输定理例求当电阻R为多少时可获得最大功率?断开R所在支路，求ab以左有源单口网络的戴维南等效电路解：ab(1)求Uoc。+-UOC5Ω6Ω+-10V+-UOC-+5V-+15Ω5Ω20V

I

列回路电流方程：（5+5+15)I-5-20=0求得

I=1A∴UOC=10+5I-5=10V(2)求Req。5Ω5Ω15ΩReq6ΩReq=6+5//(15+5)=10Ω(3)原电路等效为：R10Ω+10VI当R=Req=10Ω时，可获得最大功率例：如图所示电路中，当R为多大时，它吸收的功率最大？求此最大功率。

应用戴维南定理求解，断开R求剩余部分的戴维南等效电路，再由最大功率传递定理计算最大功率。RRo+Uoc解：（1）求c方法一：节点电压法求得：方法二：叠加定理（2）求（3）R可获得最大功率。1Ω1Ω2Ω由最大功率传递定理可得：原电路可等效为：1ΩR+-1V独立源置零运用最大功率传递定理时须注意:最大功率传递定理适用于一端口电路给定，负载电阻可调的情况；计算最大功率问题结合应用戴维南定理或者诺顿定理最方便。K未动作前uC=0i+–uCUsRCK+–uCUsRCi

t=0uC=UsK接通很长时间后？有一个过渡期暂态过程：电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程,又称过渡过程。2.7一阶动态电路的分析2.7.1动态电路的暂态过程及换路定则

暂态过程产生的原因（1）电路内部含有储能元件L、C能量的储存和释放都需要一定的时间来完成内因（2）电路结构或参数发生变化----换路外因∴电阻电路无暂态过程。电阻电路过渡期为零有关过渡过程的几个时间概念-∞+∞tt=0换路原稳态暂态新稳态t=0-换路前状态t=0+换路后第一个时刻不同时刻电压、电流的表示原稳态：u(0-)、i(0-）初始值：u(0+)、i(0+)暂态：u(t)、i(t)新稳态:u(∞)、i(∞)uC(

0+)=uC(0-)iL(0+)=iL(0-)换路定则换路指的是电路结构或参数发生变化。设t=0时发生换路，则0-表示换路前的瞬间，0+表示换路后的瞬间。如果在0-~0+内，电容电流iC和电感电压uL为有限值，则积分项为0，从而有换路定则

换路前后电容的电压和电感的电流不能突变注意：换路定则适用的条件：换路瞬间电容上的电流与电感上的电压是有限值！K+–uCUsCi

t=0i+–uCUsC开关动作前

uC(0-)=0开关动作后uC(

0+)=US∵在本电路中，换路瞬间电容将电源直接短路，电路中将会有无穷大的电流冲激。因此，换路定则在此不再适用。初始值：t=0+时电路各元件上的电压、电流值。求解步骤（1）在t=0-时的等效电路中，求uC(0-)和iL(0-)。（2）由换路定则确定uC(0+)和iL(0+)。电路初始值的确定t=0-时电容可视为开路，电感视为短路。uC(0+)=uC(0-)iL(0+)=iL(0-)（3）画出t=0+时的等效电路，再求其他初始值。+

uC(0+)-iL(0+)t=0+时电容用电压为uC(0+)的电压源代替；

电感用电流为iL(0+)的电流源代替。若uC(0+)=0，则若iL(0+)=0,则+-10ViC(0+)+8V-10kt=0+等效电路解：(1)由0-电路求uC(0-)。uC(0-)=8V例

+-10ViiC+uC-k10k40k电路原已稳定，t=0时开关断开，求iC(0+)。+-10V+uC(0-)-10k40kt=0-等效电路(2)由换路定律uC

(0+)=uC

(0-)=8V(3)由0+等效电路求iC(0+)。iC(0-)=0iC(0+)

iL(0+)=iL(0-)=2A例

iL+uL-L10VK1

4

t=0时闭合开关k,求uL(0+)iL(0-)=2A解：(1)由0-电路求iL

(0-)。iL(0-)L10V1

4

t=0-等效电路(2)由换路定律(3)由0+等效电路求uL(0+)。+uL（0+）-10V1

4

2At=0+等效电路零输入响应：

外加激励(独立电源)为零，仅由动态元件的初始储能所产生的响应。一阶电路：由一阶微分方程描述的电路。结构特点：通常只包括一个动态元件（电容或电感），或者经过等效变换后可等效为一个动态元件。2.7.2

一阶电路的零输入响应1.一阶RC电路的零输入响应特征根RCp+1=0特征方程则t≥0时，由KVL得：uC+uR=0t=0时，开关S从1拨向2换路后的电路将，uR=Ri代入初始条件uC

(0+)=U0uC(0-)=US=U0uC

(0+)=uC(0-)=U0一阶齐次微分方程根据初始值uC

(0+)=U0∴A=U0令

=RC

,称

为一阶电路的时间常数tU0uC0电容电压由初始值U0按指数规律衰减到稳态值0。电容电流发生跃变电容电流按指数规律衰减I0ti0时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短

=RC

大过渡过程的时间长

小

过渡过程的时间短U0tuc0

小

大

U0

0.368U00.135U00.05U00.0183U0

0.007U0t0

2

3

4

5

U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e-4

U0e

-5

工程上近似认为,经过4

过渡过程结束。

：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。U0uC00.368U0

例

t=0时，开关从a投向b，求电容电压和电流。1Ω1Ω1F+-解：该电路为零输入响应a1Ωb+-5V1Ω1F+-由电路得：t≥0时电路或由欧姆定律求得：2.一阶RL电路的零输入响应t=0时，开关S闭合换路后的电路t≥0时，由KVL得：uL+uR=0将，uR=RiL代入上式初始条件iL

(0+)=I0iL

(0-)=

=L/R一阶RL电路的时间常数iL

(0+)=iL

(0-)=I0I0t0iL-RI0uLt电感电流由初始值I0按指数规律衰减到稳态值0电感电压发生跃变电感电压按指数规律衰减

=L/R一阶RL电路的时间常数例

t=0时开关断开，求t≥0时的iL(t)及uL(t)。解:L3

3

6Ώ2

+8V-iLuL1H3

6

2

+8V-t=0-电路图作出t=0-时的等效电路，所求响应为零输入响应t>0电路图L3

3

iLuL6

1H：换路后从电感两端看进去的等效电阻3

3

6

电路图3

3

6

L3

3

iLuL6

1H计算一阶电路零输入响应的步骤：（1）由的电路确定电容电压或电感电流，根据换路定则确定和；（2）求时间常数

；对RC电路：

=RC

对RL电路：

=L/RR为换路后从动态元件（电容或电感）两端看去的等效电阻（3）利用或，求得和，再利用KCL和KVL及元件的伏安关系求出其他各支路的电压和电流。也可根据等效电路，求出其他待求量的初值f（0+），应用得到所求量。零状态响应：零初始条件下（动态元件初始储能为零），仅由t≥0时外加于电路的输入（激励）所产生的响应。列t≥0时的KVL方程：iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0-)=0一阶非齐次微分方程解答形式为：1.一阶RC电路的零状态响应非齐次方程的特解齐次方程的通解uC

(0+)=A+US=0

A=-US由初始条件

uC

(0+)=0确定A2.7.3一阶电路的零状态响应tucUSti0uC

(∞)：电容电压的稳态值一阶RC电路的零状态响应就是一个电源向电容充电的过程。电容电压由初始值0开始按指数规律增长至稳态值US。注意：电容的电流并不按指数规律增长！2.一阶RL电路的零状态响应L+RiL=USiLK(t=0)US+–uRL+–uLRiL(0-)=0列写方程电感电流由初始值0开始按指数规律增长至稳态值。tiL0一阶RL电路的零状态响应就是一个电源向电感充磁能的过程。iL

(∞)：电感电流的稳态值u