2023年中考九年级数学高频考点训练-三角形的外接圆与外心

2023年中考九年级数学高频考点专题训练一三角形的外接圆与外心

一、综合题

1.在同一平面直角坐标系中，请按要求完成下面问题：

(I)△ABC的各定点坐标分别为A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),请画出它的外接圆

OP,并写出圆心P点的坐标；

(2)将△ABC绕点B逆时针旋转9()。得到△ABC,请画出△ABC.

2.下面是小董设计的“作己知圆的内接正三角形”的尺规作图过程.

己知：。0.

求作：。。的内接正三角形.

作法：如图，

①作直径AB；

②以B为圆心，OB为半径作弧，与。O交于C,D两点;

③连接AC,AD,CD.

所以△ACD就是所求的三角形.

根据小董设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)

(2)完成下面的证明：

证明：在。0中，连接OC,OD,BC,BD,

VOC=OB=BC,

.•.△OBC为等边三角形（）（填推理的依据）.

.\ZBOC=60o.

ZAOC=180°-ZBOC=120°.

同理NA（）D=120°,

ZCOD=ZAOC=ZAOD=120°.

/.AC=CD=AD（）（填推理的依据）.

...△ACD是等边三角形.

3.如图，已知给定等边△ABC及边AB上点D.

(1)作经过点B,C,D的。O(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹并写出结论).

(2)若BC=6,BD=4,求OA的长.(说明：O为(1)小题所作圆的圆心)

4.如图，O为等边AABC的外接圆，D为直径CE延长线上的一点，连接AD,AD=AC.

(1)求证：是。0的切线；

(2)若=6,求阴影部分的面积.

5.如图，在△ABC中，ZC=90°,NABC的平分线交AC于点E,过点E作BE的垂线交AB于点

F,。0是aBEF的外接圆.

(1)求证：AC是OO的切线；

(2)过点E作EHLAB,垂足为H,求证：CD=HF；

(3)若CD=1,EH=3,求BF及AF长.

6.已知等腰△ABC中，AB=AC.

(1)如图1,若。。为△ABC的外接圆，求证：AO1BC；

(2)如图2,若4B=AC=10,BC=12,I为A4BC的内心，连接IC,过点I作/。||BC交AC

于点D,求ID的长.

7.如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC上一点(能与B重合，不与C重合)，以DC为直径的半

圆O,交AC于点E.

(1)如图1,若点D与点B重合，半圆交AB于点F,求证：AE=AF.

(2)设/B=60。，若半圆与AB相切于点T,在图2中画出相应的图形，求/AET的度数.

(3)设/B=60。，BC=6,△ABC的外心为点P,若点P正好落在半圆与其直径组成的封闭图形

的内部，直接写出DC的取值范围.

8.如图，△ABC中，NC=45。，AB=2.

B

(1)尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：作△ABC的外接圆。0；

(2)求△ABC的外接圆。O的直径.

9.如图，在RSABC中，ZC=90°,ZB=30°.

(1)用直尺和圆规作。0,使圆心0在BC边，且。O经过A,B两点上(不写作法，保留作图痕

迹)；

(2)连接A0,求证：A0平分/CAB.

10.如图,已知△ABC.

(1)作△ABC的外接圆，并在AB的上方作弦AD,使AD=BC.(要求尺规作图，保留作图痕

迹，不写作法)

(2)连结CD,求证：CD〃AB.

11.如图，在10x10的正方形网格中(每个小正方形的边长都为1个单位)，△ABC的三个顶点都在

(1)请在图中标出△ABC的外接圆的圆心P的位置，并填写：圆心P的坐标：P

(,)

(2)将△ABC绕点A逆时针旋转90。得到aADE,画出图形，并求△ABC扫过的图形的面积.

12.如图，已知边长为6的等边△ABC内接于。O.

(2)求BC的长和弓形BC的面积.

13.如图，在AABC中，NB=NC=40。，点D从点B出发沿BC向点C运动，点E从点

C出发沿CB向点B运动，点D和点E同时出发，速度相同，到达C点或B点后运动停

止.

(2)若4B=BE,求^DAE的度数；

(3)若AABD的外心在其内部时，直接写出乙BDA的取值范围.

14.如图，。。是△ABC的外接圆，AB是。O的直径，经过点A作AELOC,垂足为点D,AE与

BC交于点F,与过点B的直线交于点E,且EB=EF.

E

(1)求证：BE是OO的切线；

(2)若CD=CcosZAEB=|,求BE的长.

15.将图中的破轮子复原，已知弧上三点A,B,C.

B

(1)用尺规作出该轮的圆心O,并保留作图痕迹；

(2)若XABC是等腰三角形，设底边BC=8,腰4B=5,求圆片的半径R.

16.解答题

(1)作^ABC的外接圆；

(2)若AC=BC,AB=8,C到AB的距离是2,求△ABC的外接圆半径.

答案解析部分

1.【答案】（1）解：如图，OP为所作，P点坐标为（-1,0）；

（2）解：如图，△ABC为所作

（2）三条边都相等的三角形是等边三角形；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等

3.【答案】（1）解：如图，。。即为所求.

I

I

(2)解：设线段BC的垂直平分线交BC于点E,线段BD的垂直平分线交BD于点F,

，BD=DF=1BD=2,

VAABC为等边三角形，

，AB=BC=6,点A,O,E在同一条直线上，

AZBAE=30°,AF=4,

在RSAOF中,cos300=缥*，

/l(y/iU乙

解得AO=竽，

经检验，AO=竽是原方程的解且符合题意，

AOA的长为竽.

4.【答案】(1)证明：连接OA,如图所示：

;。。为等边XABC的外接圆，D为直径CE延长线上的一点,

1

工（ACD=宏44cB=30°,CDLAB,

9：AD=AC,

AZD=Z.ACD=30°,

：.Z.DAC=180°-30°-30°=120°,

9：0A=OC,

：.^OAC=^ACD=30°,

C.Z-OAD=120°-30°=90°,

：.AD1OA,

：.AD是O。的切线；

（2）解：由（1）得:CD1AB,Z,D=30°,

9：AD=AC,

:.DF=CF=^CD=3,

••AF=^'DF=V3，

・"O=2AF=2V3，

9：LOAD=90°,Z.D=30°,

••/-AOD=60°f。4=AD=2，

,■S阴影=S&0AD-S扇形AOE=/X2x2V3-6。筋2=26-1兀

5.【答案】（1）证明：如图，连接OE.

VBE1EF,

・•・ZBEF=90°,

・・・BF是圆O的直径.

〈BE平分NABC,

AZCBE=ZOBE,

VOB=OE,

AZOBE=ZOEB,

AZOEB=ZCBE,

・・・OE〃BC,

AZAEO=ZC=90°,

・・・AC是。。的切线；

(2)证明：如图，连结DE.

；NCBE=NOBE,ECLBC于C,EHLAB于H,

，EC=EH.

ZCDE+ZBDE=180°,ZHFE+ZBDE=180°,

二ZCDE=ZHFE.

在^CDE与4HFE中，

ACDE=^HFE

ZC=^EHF=90°，

EC=EH

?.△CDE^AHFE(AAS),

/.CD=HF

(3)由(2)得CD=HF,又CD=1,

在RtAHFE中，EF=后乔=710,

VEF±BE,

，ZBEF=90°,

.,.ZEHF=ZBEF=90°,

VZEFH=ZBFE,

EHF^ABEF,

.EF_HFHH710-1

，,BF~EF'即前一国‘

.•.BF=10,

/.OE=1BF=5,OH=5-1=4,

；.RtAOHE中,cosNEOA=),

/.RtAEOA中，cosZEOA=需=&

•5,4

•'OA-5'

.•.OA=竿,

•••AF=-5=|

6.【答案】（1）证明：连接OB、OC,VAB=AC,

B'C

图1

.♦.A在BC的垂直平分线上

又,.•OB=OC,二。也在BC的垂直平分线上

：.A01BC

（2）解：连接AI并延长交BC于点F,过点I分别作/G14C于点G,/H_L于点H

'：AB=AC,I为△ABC的内心，：.AF1BC,BF=CF=6,

-'-AF=yjAB2-BF2=8

设=ip=IG=r,由SMBC=S^ABI+S&BC1+S^ACI

可得：(10+10+12)-r=|x12x8

.\r=3

设C产=CG=a,贝iJ/H=AG=10-a,BF=BH=12-a

A10-a+12-a=10

解得：a=6B|JCG=6

V/D||BC,C/平分乙4CB,

Azl=z2=z3

J设/D=DC=x,DG=6-x

在Rt/UGD中，IG2+GD2=ID2

.•.32+(6—x)2=/解得：x=学

7.【答案】(1)解：如图1：连接BE,CF,

图1

・・•此时BC为直径，

AZBEC=ZCFB=90°,

/.ZAEB=ZAFC=90°,

又,.,NA二NA,AB=AC,

・•・△ABE^AACF,

/.AE=AF

(2)解：如图2：连接OT、OE、ET,

图2

VAB=AC,ZB=60°,

AZC=60°,

VOE=OC,

ZEOC=ZOEC=6()°,

〈AB是圆的切线，

AOT1AB,

VZBOT=90°-60°=30°,

JZTOE=90°,

VOT=OE,

，ZTEO=45°,

二ZAET=180o-45°-60o=75°

(3)4<DC<6.

8.【答案】(1)解：如图，。。为所作;

(2)解：VZAOB=2ZACB=2x45°=90°,

...△OAB为等腰直角三角形，

.♦.OA=专AB=孝x2=V2,

ABC的外接圆。0的直径为2鱼.

9.【答案】(1)解：如图，。。为所作；

(2)证明：VOA=OB,

.*.ZOAB=ZB=30o,

而NCAB=90°-NB=60°,

...NCAO=NBAO=30。，

，OC平分NCAB.

10.【答案】(1)解：如图，。0,线段CD即为所求.

(2)解：理由：VAD=BC,

：.AD=席，

AZACD=ZCAB,

・・・CD〃AB.

11.【答案】(1)5；3

(2)解：根据图中信息由勾股定理可得：AC=V22+62=2710，/.△ABC在旋转过程中扫过

,-2

的面积为：S扇形ACE+SAABC=9°XTTX(2/IU).|_1x4x2=10TT+4,

3602

12.【答案】（1）解：连结OB,OC,作OMLBC于M,

•••△ABC是等边三角形,

.•.ZA=60°,

.•.ZBOC=120°.

又•.PM_LBC,

，BM=CM=3.

又：OB=OC,

.,.ZOBC=ZOCB=30°.

3

J。。半径二上飞=2V3

cos30

(2)解：，.•由⑴知NBOC=120°,0B=2冉,

.•.弧BC的长=12。卷2丹=生鼻

1803

L21

弓形BC的面积=S扇形BOC-SABOC=1207rx(2同-Ax6x3=4兀-3遮.

1802

13.【答案】(1)解：・・,点。、点E分别从点8、点。同时出发，在线段BC上作等速运动,

:.BD=CE,

：.BC-BD=BC-CE，即BE=CD,

LB=zC=40°,

：.AB=AC,

：.AABE=AACD(SAS)

(2)解：VzB=ZC=40°,AB=BE,

・"BEA=Z.EAB=1(180°-40°)=70°

9：AABE=AACD,

：.AD=AE,

：.Z.ADC=Z.BEA=70°,

：.^LDAE=180°-^ADC-Z.BEA=180°—70°-70°=40°

(3)50°<Z,BDA<90°.

14.【答案】(1)证明：・・・B、C在。O上，

Z.OB=OC,

AZOBC=ZOCB,

VEF=EB,

AZEBC=ZEFB,

又〈NAFONEFB,

/.ZAFC=ZEBC,

VAE10C,

AZAFC+ZOCB=90°,

AZEBC+ZOBC=90