第5章 运动学基础

1第5章运动学基础§5-2点的运动学§5-3刚体的基本运动§5-1运动学的基本概念2

运动学是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。在运动学中从几何学的观点研究物体的运动规律，不考虑影响运动的物理因素如力和质量等。§5-1运动学的基本概念

机器是由机构组成的，这些机构用来进行运动的传递与转变，以实现预期的运动。例如车轮的运动会带动车辆前进。3

运动学的主要内容包括建立机械运动的描述方法,即选择合适的参量对物体的机械运动进行定量描述。研究表征运动几何性质的基本物理量，如速度、加速度、角速度和角加速度等。研究运动分解与合成的规律。4

学习运动学的目的除了为后续课程打基础外，也可以直接用来解决工程实际问题，例如机构运动分析。

运动学的力学模型：点和刚体

点：不考虑质量，忽略体积大小的几何上的点；

刚体：由无数点组成的不变形物体。5

运动是绝对的，但运动的描述则是相对的。因此，在描述物体的运动时都需要指明相对于哪个物体。用来确定点或物体位置和运动的另一个物体称为参考体。固结在参考体上的坐标系称为参考系。一般工程问题中，如不加特别说明都取与地面固连的坐标系为参考系。6（1）

点的位置的确定1、点的运动的矢量表示法（3）

加速度（描述速度变化的快慢与方向)（2）

点的速度（描述点运动的快慢与运动方向)显然矢端曲线就是动点的运动轨迹。7

如果取矢径的原点与直角坐标系的原点重合，则有如下关系（1）

点的位置的确定直角坐标表示的点的运动方程为以上也就是点的轨迹的参数方程。2、点的运动的直角坐标表示法8（2）

点的速度速度大小方向9

（3）

加速度大小和方向为同理10

当点作直线运动时，已知点在某瞬时的速度v

=

5

m/s，问这时的加速度是否为a

=

0？为什么？思考题5-1

答:不能确定。因为加速度是速度对时间的变化率，所以不能由某瞬时的速度来确定加速度。11

一人在路灯下由灯柱起以匀速v沿直线背离灯柱行走。设人高AB=l，灯高OD=h，试求头顶影子M的轨迹、速度和加速度。例题5-112解：取坐标轴Ox如图。由三角形相似关系，有即从而求得点M

的轨迹为直线，运动方程为

M点的速度例题5-1而加速度a=0，即点M

作匀速直线运动。13椭圆规的曲柄OA可绕定轴O转动，端点A以铰链连接于规尺BC；规尺上的点B和C可分别沿互相垂直的滑槽运动，j=wt，w为常量。试求规尺上任一点M

的运动方程、轨迹方程、速度及加速度方程。例题5-214

解：考虑任意位置，点M的坐标x，y可以表示成上式即为点M的运动方程。上式中消去角j，即得点M的轨迹方程:例题5-2

可见点M的轨迹为椭圆。有一种椭圆规就是据此原理制作的。15

点M的速度方程：

点M的加速度方程：

点M的运动方程:16

以点的轨迹作为坐标轴来确定动点的位置的方法叫自然法。该方法适用于动点的轨迹为已知的情况。（1）

点的位置的确定

弧坐标表示的运动方程为s=f(t)

选定轨迹上的一点O为参考点，并设点O的某一侧为正向，动点M在轨迹上的位置由弧长s确定,s

称为动点M在轨迹上的弧坐标。4、点的运动的自然表示法17（2）点的速度

经过Dt时间,点沿轨迹由M到M'，矢径有增量

，则18(一)切向加速度（表示速度大小的变化）（3）

点的加速度19(二)法向加速度（表示速度方向的变化）r为轨迹在点M的曲率半径。20全加速度的大小和方向为r为轨迹曲线在点M处的曲率半径。21何谓点的坐标，点的位移和点的路程。

在下述情况下，点分别作何种运动？

(a)at≡0，an≡0；(b)at≠0，an≡0；

(c)at≡0，an≠0，(d)at≠0，an≠0。思考题5-2思考题5-322思考题5-4

火车头（可看作一个点）沿图示的轨道运动。问：图中所画的

和

，哪些是可能的？哪些是不可能的？并说明理由。23思考题5-4点B和点F可能；v0,an0,指向曲率中心；答：点A不可能；v=0,an=0,沿轨迹切线；若点C是曲线的拐点,就是可能的,点D、点E、点G不可能。24

点从位置M0处以s=250t+5t2规律沿半径r=1500m的圆弧运动，其中s以m计，t以s计，当t=5s时，试求点在轨迹上的位置M及其速度和加速度。例题5-325解：因已知点沿圆弧轨迹的运动方程，宜用自然法求解。取M0为弧坐标s的原点，s的正负方向如图所示。当t=5s时，点的位置M可由弧坐标确定先求出点的速度和切向加速度、法向加速度例题5-326

故在这瞬时点的全加速度

的大小和方向分别为代入t=5s

得例题5-327

销钉B可沿半径等于R的固定圆弧滑道DE和摆杆OC的直槽中滑动,OA=R=0.1m。已知摆杆的转角（t以s计，j以rad计）。试求销钉在t1=(1/4)s和t2=1s时的加速度。例题5-428解：已知销钉B的轨迹是圆弧DE，中心在点A，半径是R。选滑道上点O'作为弧坐标的原点，并以O'D为正向。则点B在任一瞬时的弧坐标

但是，由几何关系知q=2j，且，将其代入上式，得这就是点B的弧坐标表示的运动方程。例题5-429点B速度大小：点B的加速度a

在切向的投影：在法向的投影：例题5-430a1的实际指向沿切线的负向,与图示相反。a2沿半径B2A。例题5-4当t1=(1/4)s时，j1＝p/8rad，v1=0，又a1t=-p3/10m/s2，a1n=0。则点B的加速度大小当t2=1s时，j2＝0，v2=p2/20m/s，又a2t=0，a2n=p4/40m/s2

。则点B的加速度大小31

点P沿螺旋线自外向内运动。它走过的弧长与时间的一次方成正比。试问该点的速度是越来越快，还是越来越慢？加速度是越来越大，还是越来越小？例题5-532解：运动方程：点的速度大小不变。

点自外向里运动时，其曲率半径越来越小，所以点P的加速度数值越来越大。33

由于刚体上各点间的距离保持不变，因此各点的运动不可能各不相关，在它们的轨迹、速度和加速度之间必然存在一定的联系。研究刚体的运动，就是要确定刚体作为整体的运动与其上各点的运动之间的关系，这样才可能对机构的运动传递加以研究。

刚体的运动可以有多种形式，但基本的形式有两种，即本章将研究的平移和定轴转动。这是工程中常见的运动，也是研究刚体复杂运动的基础。§5-3刚体的基本运动34

刚体在运动中,其上任意一条直线始终与它的初始位置平行，这种运动称为平行移动，也称为平移或平动。1.刚体的平移

图中两杆O1A与O2B平行且相等,在图示平面内摆动。物快AB作平移。

图中凸轮和顶杆AB,在图示平面内作平移。35

能否根据刚体上的一条直线判定该刚体是否作平移？为什么？思考题5-5

答：不能。例如直线轨道上行驶的车轮，与转动轴平行的任一直线与初始位置平行，但其他直线则不然，因此轮不是作平移。36

轮子沿直线轨道运动时,连接轮的平行连杆作平移,其上各点的轨迹是短幅旋轮线。直线平移：刚体平移时,其上各点的轨迹为直线；曲线平移：刚体平移时,其上各点的轨迹为曲线。37

刚体平移的特点：由刚体平移的定义，

是常矢量。38

由于点A和点B是刚体上的任意两点，因此可以得出如下结论：

刚体作平移时，其上各点的轨迹相同，同一瞬时各点有相同的速度和相同的加速度，即：平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。39行驶在弯道上的车厢是否作平移？为什么？

答：不是，因为车厢上任作一条线段与原先的位置不平行。但当车厢的大小与弯道的曲率半径相比较小时，可以近视将车厢看作曲线平移。思考题5-6402、刚体的定轴转动（1）

刚体定轴转动的特点

刚体在运动时，其上某一直线上各点保持不动，刚体的这种运动称为定轴转动，简称转动。其固定不动的直线称为刚体的转轴。

刚体不在转轴上的各点均作圆周运动。41(2)定轴转动刚体位置的确定·

刚体的转动方程j

=f(t)单位为弧度(rad)图示转角j，是固定面A与固连在转动刚体上的动平面B的夹角。j

确定了刚体的位置，它的符号规定如下：从z

轴正向看,逆时针为正，顺时针为负。刚体转角j

与t的函数关系：上式称为刚体的转动方程。42角速度也为代数量。其正负号这样来确定，从z轴的正端向负端看，刚体逆时针转动为正，顺时针转动为负。单位用rad/s(弧度/秒）。工程中常用单位还有转速n，单位为r/min（转/分)。(3)定轴转动刚体的角速度和角加速度n与w

的关系为:角速度：43角加速度:如果

与

同号，则为加速转动,

反之则为减速转动(一）匀速转动当

=常量,为匀速转动时，有(rad/s2)下面讨论两种特殊情况。

j=

0+t

a

=0

式中

0是t=0时刚体的转角。44当

=常量,为匀变速转动时。有式中

0和

0是t=0时刚体的转角和角速度。(二)匀变速转动

上述公式类似于点作匀变速直线运动的情况。45

以w表示刚体的角速度，则它在ts内的转角为j=wt，是否正确？

答：不正确。思考题5-7463、转动刚体上点的速度和加速度

对于作定轴转动的刚体，研究其上某点的速度或加速度有时具有重要的意义。例如，胶带运输机的传递速度就是带轮边缘上一点的速度。

除了刚体作平移的情况，刚体上各点的速度、加速度一般各不相同，因此，不能笼统说：“刚体的速度或加速度”，应该通过刚体作为整体的运动来研究刚体上各点的速度或加速度。47

已知转动刚体上各点都在垂直于转轴的平面内作圆周运动，故研究刚体上点的运动用弧坐标比较方便。Ds=R

D

速度

设研究转动刚体上一点M的运动。在Dt

时间内，点M走过的弧长为48切向加速度为法向加速度为全加速度大小为方向为速度分布图加速度分布图49(1)在同一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到转轴的距离成正比。结论:(2)在同一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速度的方向与半径间的夹角

都相同。50思考题5-8

试画出各图中转动刚体上点A和点B的速度和加速度的方向。51思考题5-8

答:图中转动刚体上点A和点B的速度和加速度的方向为:52思考题5-8

答:图中转动刚体上点A和点B的速度和加速度的方向为:53解：由于荡木AB在运动中始终平行于直线O1O2，在荡木上任意作一直线，也保持与原先的位置平行，故荡木作平移。O1A作定轴转动。例题5-6

荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长为l，单位为m。当荡木在图示平面内摆动时,钢索的摆动规律为，其中t为时间，单位为s；转角j0的单位为rad，试求当t=0和t=2s时，荡木的中点M的轨迹、速度和加速度。54

为求中点M的轨迹、速度和加速度，只需求出A点（或B点）的轨迹、速度和加速度即可。点A在圆弧上运动，圆弧的半径为l。M点的轨迹与A点相同，过M点作平行且等于O1A的线段O3M,则M点以O3为圆心，l为半径的圆弧运动。如以最低点O为起点，规定弧坐标s向右为正，则点A的运动方程为例题5-655再求导一次，得点A的切向加速度点A的法向加速度例题5-6将上式对时间求导，得点A的速度56上式代入t=0和t=2s，就可求得这两瞬时点A的速度和加速度，亦即点M在这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：例题5-600j02(铅直向上）0

（水平向右）00an(m/s2)at(m/s2)v(m/s)j(rad)t(s)57

滑轮的半径r=0.2m，可绕水平轴O转动，轮缘上缠有不可伸长的细绳，绳的一端挂有物体A（如图），已知滑轮绕轴O的转动规律j

=0.15t3，其中t以s计，j

以rad计，试求t=2s时轮缘上点M和物体A的速度和加速度。例题5-758

首先根据滑轮的转动规律，求得它的角速度和角加速度代入t=2s，得轮缘上点M在t=2s时的速度为解：例题5-7r=0.2m59全加速度aM

的大小和方向:例题5-7加速度的两个分量:r=0.2m60

因为物体A与轮缘上点M的运动不同，前者作直线平移，而后者随滑轮作圆周运动，因此，两者的速度和加速度都不完全相同。由于细绳不能伸长，物体A与点M的速度大小相等，A的加速度与点M切向加速度的大小也相等，于是有它们的方向铅直向下。例题5-761

半径R=0.2m的滑轮可绕水平轴O转动，轮缘上绕有不能伸长的细绳，绳的一端与滑轮固连，另一端则系有物块A，设物块A从位置B出发，以匀加速度a=4.9m/s2向下降落，初速v0=4m/s，试求当物块落下距离s=2m时轮缘上一点M的速度和加速度。例题5-862解：系统为匀变速转动，根据v2–v02=2as，得点M的速度点M的法向加速度:点M的切向加速度:

点M的全加速度:例题5-863

减速箱由四个齿轮构成，如图所示。齿轮Ⅱ和III安装在同一轴上，与轴一起转动。各齿轮的齿数分别为z1=36，z2=112，z3=32和z4=128，如主动轮Ⅰ的转速n1=1450r/min，试求从动轮Ⅳ的转速n4。例题5-964解：用n1，n2