第02讲 一次函数与正比例函数(5类热点题型讲练)（解析版）

第02讲一次函数与正比例函数(5类热点题型讲练)1．掌握一次函数的概念，能根据条件写出一次函数的关系式；(重点)2．掌握正比例函数的概念．(重点)知识点01一次函数的定义一次函数：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。知识点02正比例函数的定义正比例函数：特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数.函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立.题型01正比例函数的定义例题：（2023春·吉林松原·八年级统考阶段练习）下列函数是正比例函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正比例函数的定义，形如，进行判断即可．【详解】A：是反比例函数，不是正比例函数，不符合题意；B：是二次函数，不是正比例函数，不符合题意；C：是一次函数，不是正比例函数，不符合题意；D：是正比例函数，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．【变式1】（2023春·四川广元·八年级统考期末）下列函数是正比例函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正比例函数的定义即可解答．【详解】解：A．，符合正比例函数的含义，故本选项正确；B．是和的形式，故本选项错误；C．自变量次数不为1，故本选项错误；D．自变量次数不为1，故本选项错误，故选A．【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，形如（k为常数且），自变量次数为1的函数是正比例函数．【变式2】（2023秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市沈东初级中学校考开学考试）若是关于x的正比例函数，则的值为．【答案】【分析】利用正比例函数的定义分析得出，再代入计算即可求解．【详解】解：是关于的正比例函数，且，解得：，．故答案为：．【点睛】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握定义是解题关键．题型02识别一次函数例题：（2023春·河南驻马店·八年级校考阶段练习）下列函数中，是一次函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．【详解】解：A、是一次函数，故此选项符合题意；B、是反比例函数，故此选项不符合题意；C、当时不是一次函数，故此选项不符合题意；D、是二次函数，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数．解题的关键是掌握一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1．【变式1】（2023春·贵州铜仁·八年级统考阶段练习）下列函数：①；②；③；④，其中一次函数的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据形如，、是常数）的函数，叫做一次函数进行分析即可．【详解】解：①；③是一次函数，共2个．故选：B．【点睛】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握一次函数形如，、是常数），一次函数解析式的结构特征：；自变量的次数为1；常数项可以为任意实数．【变式2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考开学考试）给出下列函数：①；②；③；④．其中是一次函数的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】根据一次函数的定义逐一判断即可求解．【详解】解：①、是一次函数，故符合题意；②、是一次函数，故符合题意；③、是一次函数，故符合题意；④、是二次函数，故不符合题意，则是一次函数的有3个，故选B．【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．题型03根据一次函数的定义求参数例题：（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考开学考试）已知，y是x的一次函数，则．【答案】【分析】先根据一次函数的定义列出关于m的不等式组，求出m的值即可．【详解】解：因为是x的一次函数，可得：，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查的是一次函数的定义，根据一次函数的定义列出关于m的不等式是解答此题的关键．【变式1】（2023春·河南安阳·八年级统考阶段练习）已知函数是一次函数，则k的值为．【答案】2【分析】直接利用一次函数的定义分析得出k的值即可．【详解】解：∵函数是一次函数，∴，解得，故答案为：2．【点睛】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握定义是解题关键．【变式2】（2023春·辽宁营口·八年级统考期末）若函数是一次函数，则．【答案】2【分析】一般地，形如的函数，叫做一次函数.【详解】解：由题意可得：，解得，故答案为：2.【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，关键是掌握一次函数解析式的结构特征:，自变量的次数为1；常数项可以为任意实数.题型04求一次函数自变量或函数值例题：（2023春·广西桂林·八年级校考阶段练习）已知一次函数的图象经过点，则．【答案】3【分析】把点代入一次函数，列出关于的一元一次方程，解之即可得的值．【详解】解：一次函数的图象经过点，把点代入一次函数，得，解得：．故答案为：3．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．根据一次函数图象上点的特征得出关于的一元一次方程是解题的关键．【变式1】（2023春·山东临沂·八年级统考期末）若点在函数的图象上，则代数式的值为．【答案】5【分析】把点代入函数得到，再利用等式的基本性质变形即可得出结论．【详解】解：点代入函数的图象上，，，．故答案为：5．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，运用到整体代入思想．熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．【变式2】（2023春·河南驻马店·八年级统考期末）已知点在一次函数的图象上，则代数式的值等于．【答案】2023【分析】把点代入一次函数，进行整理即可得到的值，最后整体代入计算即可．【详解】解：∵点在一次函数的图象上，∴，∴，即，∴．故答案为：2023．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征，是解题的关键．题型05列一次函数解析式并求值例题：（2023春·全国·八年级专题练习）已知点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设△OPA的面积为S．(1)求出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围；(2)当S=12时，求P的坐标．【答案】(1)S=-4x+40，0<x<10(2)P（7，3）【分析】（1）首先把x+y=10，变形为y=10-x，再利用三角形的面积求法：S=底×高÷2，可以得到S关于x的函数表达式，P在第一象限，故x＞0，再利用三角形的面积S＞0，可得到x的取值范围；（2）把S=12代入函数解析式即可．【详解】（1）根据题意，得A（8，0），P（x，y），且x+y=10，∴y=10-x，∴OA=8，P（x，10-x）∴S=×8(10-x)=-4x+40．又∵x>0，且10-x>0，∴0<x<10．（2）当S=12时，即12=40-4x，解得x=7，∴y=10-7=3，∴S=12时，P点坐标（7，3）．【点睛】此题考查一次函数的性质，解题的关键是数形结合运用三角形的面积公式进行计算．【变式1】（2023春·上海·八年级专题练习）甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离．（1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；（2）当x=0.5时，求y的值．【答案】（1），y是x的一次函数；（2）【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案；（2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案．【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km）∵甲、乙两地相距120km∴火车与甲地的距离表示为：（km），即；当火车到达甲地时，即∴，即火车行驶1.5h到达甲地∴y是x的一次函数；（2）根据（1）的结论，得：．【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解．【变式2】（2023秋·全国·八年级随堂练习）如图，甲、乙两地相距，现有一列火车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．设表示火车行驶的时间，表示火车与甲地的距离．（1）写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数；（2）当时，求的值．【答案】（1），是的一次函数；（2）140【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案；（2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案．【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km）∵甲、乙两地相距100km∴火车与甲地的距离表示为：（100+80x）km∴y=100+80x∴y是x的一次函数；（2）当时，得：y=100+80×0.5=140．【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解．一、单选题1．（2023春·湖南湘西·八年级统考期末）直线经过下列哪个点（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将横坐标代入，检验函数值是否与纵坐标相等．【详解】解：A.，，本选项不合题意；B.，，本选项不合题意；C.，，本选项符合题意；D.，，本选项不合题意；故选：C【点睛】本题考查点坐标与函数关系式，掌握数形结合的思想是解题的关键．2．（2023秋·吉林长春·八年级吉林大学附属中学校考阶段练习）函数是关于x的一次函数的条件为（

）A．且 B． C．且 D．【答案】C【分析】根据一次函数的定义进行求解即可．【详解】解：∵是关于x的一次函数，∴，解得：，故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是熟练掌握定义，一般地，形如（k，b为常数，）的函数，叫作一次函数．3．（2023秋·陕西西安·八年级校考开学考试）函数①；②；③；④；⑤．是一次函数的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据一次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为1，一次项系数不为0，逐一判断．【详解】解：①是一次函数；②是一次函数；③是反比例函数，不是一次函数；④是一次函数；⑤是二次函数，综上分析可知，①②④是一次函数，共3个，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的定义.关键是明确一次函数解析式为整式，自变量的最高次数为1，一次项系数不为0．4．（2023春·福建泉州·八年级统考期中）若点在直线上，则代数式的值为（

）A．3 B． C．2 D．0【答案】A【分析】把点代入，得出，将其代入进行计算即可．【详解】解：把点代入得，整理得：，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，求代数式的值，解题的关键是掌握一次函数图象上点的坐标都符合一次函数表达式，以及整式添加括号，若括号前为负号，要变号．5．（2023春·山西朔州·八年级校考阶段练习）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是6，则输出的值是1，若输入的值是2，则输出的值是（

）

A．4 B．10 C．19 D．21【答案】A【分析】根据程序框图，将代入求出的值，将代入即可求出的值．【详解】当时，，解得：，当时，．故选：A．【点睛】本题考查了函数解析式的函数值求法，熟练掌握函数解析式的代入求值是解题的关键．二、填空题6．（2023春·湖南株洲·八年级校考期末）如果点在函数的图象上，那么．【答案】5【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m的值．【详解】解：∵点在函数的图象上，∴．故答案为：5．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．7．（2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）若为一次函数，则．【答案】0【分析】利用一次函数的定义可得，求解即可．【详解】解：由题意得：，解得：或（舍去），，故答案为：0．【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．8．（2023春·上海浦东新·八年级校考期末）当时，函数是一次函数，且不是正比例函数．【答案】【分析】根据一次函数的解析式为：，则；根据题意，，则，即可．【详解】∵函数是一次函数，且不是正比例函数，∴，解得：，∴，故答案为：．【点睛】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握一次函数的定义．9．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期末）直线经过点，则的值为．【答案】2020【分析】把点代入解析式，得出，变形为，由此解答即可．【详解】解：∵直线经过点，∴，∴，∴．故答案为：2020．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标，掌握一次函数图象上点的坐标是解题的关键．10．（2023春·江苏南通·八年级统考期中）如图，点，，点P在直线上，当时，点P的坐标是．

【答案】【分析】设点的坐标为，利用两点间的距离结合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：点在直线上，设点的坐标为．，，即，解得：，点的坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离以及解一元一次方程，利用一次函数图象上点的坐标特征及两点间的距离，找出关于的方程是解题的关键．三、解答题11．（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）已知一次函数．(1)当时，求的值；(2)当时，求的值；(3)判断点是否在直线上．【答案】(1)的值为5(2)的值为6(3)点不在直线上【分析】（1）把代入解析式求得即可；（2）把代入解析式求得即可；（3）把代入求得的值，进行比较即可得到答案．【详解】（1）解：当时，，的值为5；（2）解：当时，，解得：，的值为6；（3）解：当时，，点不在直线上．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．12．（2023春·湖南岳阳·八年级校考期末）已知函数．(1)当m为何值时，y是x的一次函数？(2)当m为何值时，y是x的正比例函数？【答案】(1)(2)【分析】（1）利用一次函数定义进行解答即可；（2）利用正比例函数定义进行解答．【详解】（1）解：由题意得：，解得：；（2）解：由题意得：且，解得：．【点睛】本题主要考查了正比例函数定义和一次函数定义，关键是掌握形如是常数，且的函数叫做正比例函数；形如是常数，且的函数叫做一次例函数．13．（2023春·吉林长春·八年级校考阶段练习）已知函数，(1)当是何值时函数是一次函数．(2)当函数是一次函数时，写出此函数解析式．并计算当时的函数值．(3)点在此一次函数图象上，则的值为多少．【答案】(1)(2)，当时，(3)【分析】（1）根据一次函数的定义进行求解即可；（2）根据（1）所求代入m得值求出对应的函数关系式，再把代入对应的函数关系式求出此时y的值即可；（3）代入，求出此时x的值即可得到答案．【详解】（1）解：∵函数是一次函数，∴，∴，∴当时，函数是一次函数；（2）解：由（1）得，∴当时，；（3）解：在中，当时，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，求一次函数的函数值和自变量的值，一般地，形如（其中k、b都是常数，且）的函数叫做一次函数．14．（2023·陕西咸阳·校考一模）尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，某班准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．该班班长准备购买x支钢笔和本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元．(1)请分别写出，与x之间的关系式；(2)若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠．【答案】(1)与x之间的关系式为，与x之间的关系式为(2)选择方案②更为优惠【分析】（1）分别根据方案①和方案②列出关系式即可；（2）将分别代入、求出结果比较大小即可．【详解】（1）解：方案①：，方案②：，与x之间的关系式为，与x之间的关系式为；（2）当时，；.，选择方案②更为优惠．【点睛】本题考查一次函数的应用，根据题意列出关系式是关键．15．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图1，是三角形的边上的高，且，，点E从点B出发，沿线段向终点C运动，其速度与时间的关系如图2所示，设点E运动时间为，三角形的面积为．

(1)在点E沿向点C运动的过程中，它的速度是___________，用含x的代数式表示线段的长是___________，变量y与x之间的关系式为___________，(2)当时，y的值为___________；当x每增加1s时，y的变化情况是：___________．【答案】(1)3，，(2)，【分析】（1）根据图2即可求得点E沿向点C运动的过程中的速度，根据速