专训12.2.4 用HL判定全等+综合应用-简单数学之2021-2022学年八年级上册考点专训（解析版）（人教版）

专训12.2.4用HL判定全等+综合应用一、单选题1．下列各组条件中，不能使两个直角三角形全等的是（）A．一条直角边和一锐角分别相等 B．斜边和一锐角分别相等C．斜边和一条直角边分别相等 D．两个锐角分别相等【答案】D【分析】依据全等三角形的判定定理进行判断即可．【详解】解：A、根据AAS或ASA都可以证得这两个直角三角形全等，故本选项不符合题意；B、根据AAS或ASA都可以证得这两个直角三角形全等，故本选项不符合题意；C、根据HL可以证得这两个直角三角形全等，故本选项不符合题意；D、判定两个直角三角形是否全等，必须有边的参与，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】考查了直角三角形全等的判定，直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．2．如图，在中，于点，分别交，于点，，，若依据“”说明，则下列所添条件合理的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据“HL”进行判断即可．【详解】解：由题意得，和中，有一组直角边对应相等，即缺少斜边对应相等，即，故选：D．【点睛】此题主要考查了“HL”的应用，熟练掌握直角三角形的判定方法是解答此题的关键．3．如图，在中，，于点D，．如果，那么（）A． B． C． D．【答案】C【分析】通过HL判定定理可证Rt∆BDE≅Rt∆BCE，得到ED=EC，即可求解．【详解】在和中，，，∴，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，注意:直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，全等三角形的对应边相等.4．如图，已知在和中，，，下列条件中不能判定的是（）A． B． C．且 D．【答案】D【分析】根据三角形全等的判定条件可直接排除选项．【详解】解：A、若，则根据“SSS”可判定，故不符合题意；B、若，则根据“SAS”可判定，故不符合题意；C、若且，则根据“HL”可判定，故不符合题意；D、若，则不能判定，故符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的条件是解题的关键．5．如图，，，，则能直接判断的理由是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据全等三角形的判定方法解答．【详解】解：在Rt△ABD和Rt△CDB中，∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），故选A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握判定方法．6．如图所示，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③∠BAC＝∠BAD；④BC＝BD，能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据已知条件与全等三角形的判定定理即可分别判断求解．【详解】∵∠C＝∠D＝90°，AB=AB，∴①AC＝AD，可用HL判定Rt△ABC与Rt△ABD全等；②∠ABC＝∠ABD，可用AAS判定Rt△ABC与Rt△ABD全等；③∠BAC＝∠BAD，可用AAS判定Rt△ABC与Rt△ABD全等；④BC＝BD，可用HL判定Rt△ABC与Rt△ABD全等；故选：D．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．7．如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离与的距离间的关系是（）A． B． C． D．不能确定【答案】C【分析】根据“两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上”可以判断，又，，所以，所以．【详解】解：，，由，，，．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的应用；充分运用题目条件，图形条件，寻找三角形全等的条件．本题关键是证明．8．用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知两边上分别取，再分别过点，作，的垂线，两垂线交于点，画射线，则平分．作图过程用了，那么所用的判定定理是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由OM⊥MP，ON⊥NP，可得∠OMP=∠ONP=90°，结合证明Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），从而可得答案．【详解】解：∵OM⊥MP，ON⊥NP，∴∠OMP=∠ONP=90°，在Rt△OMP和Rt△ONP中，，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）．故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键．二、填空题9．如图，在ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BF＝AC，CD＝DF，证明图中两个直角三角形全等的依据是定理__．【答案】HL．【分析】由题意知，两个直角三角形的一条斜边，一条直角边分别对应相等，根据HL即可证明Rt△ACD≌Rt△BFD．【详解】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠BDF＝90°，在Rt△ACD和Rt△BFD中，，∴Rt△ACD≌Rt△BFD（HL）．故答案为：HL．【点睛】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．10．结合如图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的推理形式：在和中，，，_______．【答案】【分析】根据判断两个直角三角形全等的条件“HL”即可填空．【详解】AC和DF为直角边．再利用“HL”，可知两个直角三角形的斜边相等即可证明这两个三角形全等．∴填AB=DE．故答案为：AB=DE．【点睛】本题考查直角三角形全等的判定条件“HL”，掌握判定直角三角形全等的判定定理是解答本题的关键．11．如图，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，点B的坐标为，C点坐标为（2，-2），则A点坐标为_______．【答案】【分析】过A，C向过B点的y轴作垂线，构造可得，进而可求得A点坐标；【详解】作轴于点M，∵，，∴，在Rt△AOB和Rt△BMC中，，∴，∴，∴；故答案是．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，准确利用HL定理是解题的关键．12．如图，∠C＝90°，AC＝，BC＝8，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝___________，△ABC与△APQ全等．【答案】8或【分析】分两种情况：①当AP=BC=8时；②当AP=CA=时；由HL证明Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；即可得出结果．【详解】∵AX⊥AC，∴∠PAQ=90°，∴∠C=∠PAQ=90°，分两种情况：①当AP=BC=8时，在Rt△ABC和Rt△QPA中，，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；②当AP=CA=10时，在△ABC和△PQA中，，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；综上所述：当点P运动到AP=8或时，△ABC与△APQ全等；故答案为：8或．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；熟练掌握直角三角形全等的判定方法，本题需要分类讨论，难度适中．13．如图所示，在ΔABC中，AD平分∠BAC，点E在DA的延长线上，且EF⊥BC，且交BC延长线于点F，H为DC上的一点，且BH=EF，AH=DF，AB=DE，若∠DAC+n∠ACB＝90°，则__________．【答案】【分析】由“HL”可证Rt△ABH≌Rt△DEF，可得∠EDF=∠BAH，由角的数量关系可求解．【详解】解：在Rt△ABH和Rt△DEF中，，∴Rt△ABH≌Rt△DEF(HL），∴∠EDF=∠BAH，∴∠EDF-∠BAD=∠BAH-∠BAD，∴∠B=∠DAH，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，设∠B=∠DAH=y，∠BAD=∠DAC=x，∴2y+x=90°，∠CAH=∠DAC-∠DAH=x-y，∴∠ACB=90°-∠CAH=3y，∵∠DAC+n∠ACB=90°，∴x+3ny=90°，∴3n=2，∴n=，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．三、解答题14．如图，是的角平分线，，，．求证：．【答案】证明见解析．【分析】根据角平分线的性质可以证明DE=DF，再根据BD=CD，可以得到≌，最后根据全等三角形的性质得出结论．【详解】证明：∵是的角平分线，，，∴，．∴与是直角三角形．在与中∵∴≌（）．∴．【点睛】本题考查角平分线的性质与全等三角形的判定和性质，熟悉以上性质和判定是解题关键．15．如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，AE=CF．求证：∠D=∠B．【答案】见解析【分析】用斜边、直角边证明Rt△ABF≌Rt△CDE全等即可．【详解】证明：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=EC．又∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠AFB=∠CED=90°．在Rt△ABF与Rt△CDE中，，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴∠D=∠B．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，解题关键是熟练运用斜边、直角边证明两个直角三角形全等．16．如图，已知AB＝CD，CE＝BF，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，求证：CD∥AB．【答案】见解析．【分析】先根据AE⊥BC，DF⊥BC得到∠DFC＝∠AEB＝90°，再根据CE＝BF求到CF＝BE，易证Rt△DFC≌Rt△AEB（HL），即可求解本题．【详解】证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠DFC＝∠AEB＝90°，又∵CE＝BF，∴CE﹣EF＝BF﹣EF，即CF＝BE，在Rt△DFC和Rt△AEB中，，∴Rt△DFC≌Rt△AEB（HL），∴∠C＝∠B，∴CD∥AB．【点睛】本题考查的是平行线的判定，解决本题的关键是判定直角三角形的全等从而得到内错角相等．17．如图：已知，，，垂足分别为点、，若，求证：．【答案】见解析【分析】利用已知条件证明△ADF≌△CBE，由全等三角形的性质即可得到∠B=∠D，进而得出结论．【详解】证明：∵DE=BF，

∴DE+EF=BF+EF；

∴DF=BE；

在Rt△ADF和Rt△BCE中，

∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL），

∴∠B=∠D，∴．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；由DE=BF通过等量加等量和相等得DF=BE在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用．18．如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O．求证：△ABC≌△DCB．【答案】见解析【分析】利用判定“HL”证明两个三角形全等．【详解】解：∵，∴和是直角三角形，在和中，，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．19．如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．（1）求证△AMB≌△CNA；（2）求证∠BAC＝90°．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【分析】（1）由HL可证△AMB≌△CNA即可；（2）先由全等三角形的性质得∠BAM＝∠ACN，再由余角关系∠CAN+∠ACN＝90°，得∠CAN+∠BAM＝90°，即可得出结论．【详解】证明：（1）∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，∴∠AMB＝∠CNA＝90°，在Rt△AMB和Rt△CNA中，，∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）；（2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，∴∠BAM＝∠ACN，∵∠CAN+∠ACN＝90°，∴∠CAN+∠BAM＝90°，∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．【点睛】本题考查垂直定义，直角三角形全等判定，互为余角的性质，平角定义，掌握垂直定义，直角三角形全等判定，互为余角的性质，平角定义是解题关键．20．如图所示，有两个长度相同的滑梯和，，，垂足分别为，，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等．问：两个滑梯的倾斜角和的大小有什么关系？【答案】，理由见解析【分析】由图可得，△ABC与△DEF均是直角三角形，由已知可根据HL判定两三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等，不难求解．【详解】解：；理由如下：由题意可得：与均是直角三角形，且，．在和中，，，，，．【点睛】此题考查了全等三角形的应用．做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是解题关键．21．如图，四边形中，点、点分别在、上，且，分别过点、向作垂线，垂足分别为点、点，且．求证：．【答案】见解析【分析】证明Rt△AGE≌Rt△CHF（HL），推出∠AEG=∠CFH，可得结论．【详解】证明：∵AG⊥GH，CH⊥GH，∴∠G=∠H=90°，在Rt△AGE和Rt△CHF中，，∴Rt△AGE≌Rt△CHF（HL），∴∠AEG=∠CFH，∵∠AEG=∠BEF，∴∠BEF=∠CFH，∴AB∥CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．22．在中，于点D，点E为AD上一点，连接CE，CE＝AB，ED＝BD．（1）求证：；（2）若，则的度数为．【答案】（1）理由见解析；（2），理由见解析．【分析】（1）由SAS证明即可；（2）由全等三角形的性质，即可得出答案．【详解】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠CDE＝90°，在与中，，∴；（2）∵，∴AD＝CD，∴是等腰直角三角形，∴∠ACD＝45°，∴∠ECD＝∠ACD﹣∠ACE＝45°﹣22°＝23°，∴∠CED＝90°﹣23°＝67°，∴∠B＝∠CED＝67°，【点睛】本题考查了三角形全等的判定、几何图形中角度的计算、等腰直角三角形的性质；关键在于熟练掌握证明三角形全的方式方法、运用等腰直角三角形的性质．23．如图，已知∠C＝∠D＝90°，BC与AD交于点E，AC＝BD，求证：AE＝BE．【答案】见解析【分析】根据HL定理证明全等即可；【详解】证明：∵∠C＝∠D＝90°，∴△ACB和△BDA是直角三角形，在Rt△ACB和Rt△BDA中，，∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL），∴∠ABC＝∠BAD，∴AE＝BE．【点睛】本题主要考查了三角形全等证明，准确利用已知条件证明是解题的关键．24．如图，与的顶点A，F，C，D共线，与交于点G，与相交于点，，，．（1）求证：；（2）若，求线段的长．【答案】（1）见详解；（2）1【分析】（1）先证明AC=DF，再根据HL证明；（2）先证明∠AFG=∠DCH，从而证明∆AFG≅∆DCH，进而即可求解．【详解】（1）∵，∴AF+CF=CD+CF，即AC=DF，在与中，∵，∴≅（HL）；（2）∵≅，∴∠A=∠D，∠EFD=∠BCA，∵∠AFG=180°-∠EFD，∠DCH=180°-∠BCA，∴∠AFG=∠DCH，又∵，∴∆AFG≅∆DCH，∴HC=GF=1．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握HL和ASA证明三角形全等，是解题的关键．25．如图，、相交于点O，，．（1）求证：；（2）若，求的度数．【答案】（1）见解析；（2）26°【分析】（1）根据HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD；（2）利用全等三角形的性质得到∠ABC=∠BAD=32°，再求解即可．【详解】解：（1）证明：∵∠D=∠C=90°，∴△ABC和△BAD都是Rt△，在Rt△ABC和Rt△BAD中，，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；（2）∵Rt△ABC≌Rt△BAD，∴∠ABC=∠BAD=32°，∵∠C=90°，∴∠BAC=58°，∴∠CAO=∠CAB-∠BAD=26°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，“HL”；全等三角形的对应边相等．26．如图，．（1）求证：；（2）试判断与的位置关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2），见解析【分析】（1）先根据AB⊥BC，DC⊥BC，得出∠B=∠C=90°，再由HL可证Rt△ABE≌Rt△ECD；（2）根据余角的性质可得∠AEB+∠DEC=90°，故∠AED=90°，由此可得出结论．【详解】（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B=∠C=90°，在Rt△ABE与Rt△ECD中，，∴Rt△ABE≌Rt△ECD（HL），∴△ABE≌△ECD；（2）AE⊥DE．理由如下：∵△ABE≌△ECD，∴∠AEB=∠EDC，∵∠EDC+∠DEC=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠AED=90°，∴AE⊥DE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的对应角相等是解答此题的关键．27．已知：，，，．（1）试猜想线段与的位置关系，并证明你的结论．（2）若将沿方向平移至图2情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由．（3）若将沿方向平移至图3情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由．【答案】（1），见解析；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析【分析】（1）先用判断出，得出，进而判断出，即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）同（1）的方法，即可得出结论．【详解】解：（1）理由如下：∵，，∴在和中∴，∴∵，∴，∴，∴；（2）成立，理由如下：∵，，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，∴；（3）成立，理由如下：∵，，∴在和中，∴，∴，∵，∴，在中，，∴．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出是解本题的关键．28．在学习了“等边对等角”定理后，某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个三角形中边与角的数量关系，得到了一个正确的结论：“在同一个三角形中，较长的边所对的角较大”，简称：“在同一个三角形中，大边对大角”．即，如图：当AB＞AC时，∠C＞∠B．该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”性质的一般情况，继续进行了深入的探究，请你补充完整：（1）在△ABC中，AD是BC边上的高线．①如图1，若AB=AC，则∠BAD=∠CAD；②如图2，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD∠CAD．（填“>”，“<”，“=”）证明：∵AD是BC边上的高线，∴∠ADB=∠ADC=90°．∴∠BAD=90°-∠B，∠CAD=90°-∠C．∵AB＞AC，∴（在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD∠CAD．（2）在△ABC中，AD是BC边上的中线．①如图1，若AB=AC，则∠BAD=∠CAD；②如图3，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD∠CAD．（填“>”，“<”，“=”）证明：【答案】（1）①见解析，②∠B<∠C，>；（2）①见解析；②＜【分析】（1）①由HL证明Rt△ABD≌Rt△ACD可得结论；②由AB＞AC得∠C＞∠B即可得出结论；（2）①由SSS证明△ABD≌△ACD可得结论；②作辅助线证明△，得，∠，证得∠，即可得到结论．【详解】解：（1）①证明：∵AD是BC边上的高线∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADB和Rt△ADC中∴Rt△ABD≌Rt△ACD∴∠BAD=∠CAD；②证明：∵AD是BC边上的高线，∴∠ADB=∠ADC=90°．∴∠BAD=90°-∠B，∠CAD=90°-∠C．∵AB＞AC，∴∠B<∠C（在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD>∠CAD．故答案为：∠B<∠C，>；（2）①证明：∵AD是BC边上的中线∴BD=CD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD∴∠BAD=∠CAD②如图，延长AD至点E，使AD=ED，连接BE，∵AD是△ABC的BC边上的中线，∴在△BDE和△CDA中，∴△∴，∠，

又，则∴∠∴∠．故答案为：＜．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．29．如图①，平分，可得．（1）如图②，平分，参照图①，过点D作于点交的延长线于点F，求证：；（2）如图③，在四边形中，，过点D作，垂足为点E，若，则的值是多少？（用含a的代数式表示）【答案】（1）见解析；（2）2a【分析】（1）证明△DFC≌△DEB，可得DB=DC；（2）连接AD，作DF⊥AC于F，证明△DFC≌△DEB，得到DF=DE，CF=BE，再证明Rt△ADF≌Rt△ADE，得到AF=AE，再根据线段的和差可得AB=AC．【详解】解：（1）作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图2所示，∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，∴∠ABD=∠FCD