大学《高等数学》期末考试试题及易错题解析第二章：导数与微分

PAGEPAGE2第二章导数与微分导数与微分这一章的基本思想是用极限理论来研究函数。这一章内容是高等数学微积分部分的基础，因此必须牢固地掌握其基本理论、基本方法和常用解题技巧。在研究生入学考试中，本章是所有《高等数学》课程的必考内容之一，一些综合考试题往往也要涉及到此章内容。通过这一章的学习，我们认为同学们应达到如下要求：1、熟练掌握导数的定义，特别是左导数、右导数概念。知道导数的几何意义（切线斜率）和物理意义（如速度、加速度等）以及经济意义（如边际成本、边际收入等）。2、熟练掌握求导数的方法。3、掌握高阶导数的定义，计算方法。4、了解微分定义，可导与可微的关系，一阶微分不变性。知识网络图注：Dini导数在控制理论与应用中有广泛的应用。虽然高等数学教材上没有介绍，但计算机专业、电子专业的后继课程中有所涉及，因此我们认为还是有必要让学生知道。定义：函数在定义域内连续，的四种Dini导数定义为（1），（2），（3），（4）。二、典型错误分析例1．设，其中在处连续，求。[错解]因为，则。令，则。[分析]仅在处连续，在任意点处未必可导，即未必存在，因此是否可导难以判断，故上述解法不能成立。[正确解]利用导数的定义==。例2.设求。[错解]当时，；当时，；当时，，故[分析]问题发生在分界点处的导数没有用定义求。[正确解]当时，；当时，。由于是该函数的分界点，由导数的定义，我们有==，==，因此，于是即例3.设求当时的导数。[错解]当时，因，不存在，故也不存在。[分析]，存在是存在的充分条件，但不是必要条件。[正确解]用导数定义处理。由于，故。例4.设，求。[错解1]由于，，故，。[错解2]由于，，则，，故。[分析]的错误在于没有搞清楚是对还是对求导，以为自变量的函数是不能直接对求导数的。的错误是受的影响而造成的。在数学学习中，我们提倡联想；在科学研究中，我们鼓励联想，但联想的结果正确与否是需要检验的。[正确解]由于，，故=。例5.设和在上有定义，且满足下列条件：（1），（2）和在处可微，且，，求。[错解]将的两边对求导，得，令，得，由假设可得。[分析]和在处可微，未必在的某邻域内可微。例如我们容易验证。由于在处不连续，当然不可微。因此缺乏依据。[正确解]由（2）知道，，于是+。例6.求函数的导数。[错解]。[分析]这函数不是指数函数型的一般复合函数，不能按照复合函数的求导法则计算导数，应该两边取对数后再求导。[正确解]两边取对数得，两边求导，故有。例7.求函数的导数。[错解1]因为函数是幂函数，则。[错解2]因为函数是指数函数，则。[分析]这函数既不是指数函数也不是幂函数，而是超越函数，应该两边取对数后再求导。[正确解]两边取对数得，两边求导，故有。例8.已知，求。[错解]因为，则。[分析]这种解法在初学者中经常出现，这是由于学生没有真正了解的涵义。的涵义是函数在处的值。[正确解]因为，则。例9.已知函数存在二阶微分，求。[错解]因为，所以。[分析]这种解法有问题。当是自变量时结论正确，因为相对于是独立的所以对求导时可以看作常量，但是是中间变量，即时，需要另外讨论。[正确解]当是自变量时，；当时，。例10.已知存在，求极限。[错解]因为==。[分析]表示两点和函数值之差，而与在处的取值无关，因此存在与否和无关，所以不能把它作为在处的导数。[正确解]。三、综合题型分析例11.设问取何值时在内可导。[分析]要使在内可导，则分段函数在分段点是连续的和可导的，利用这两点就可以求出的值。[解]容易知道，，，要使在处连续，必须。因为，，要使在处可导，则，故，。[方法小结]在内可导隐含了函数在分段点是连续的和可导的，求待定常数时我们往往要用这两个条件。例12．设，求。[分析]因为，所以当和时用公式求导；在处用定义求导。[解]当时，，当时，，因为，，所以在处不可导，故[方法小结]在定义域内是分段函数时，不是分段点的导数直接求；分段点的导数一定要先分别求出其左右导数，如果左右导数相等，则其为分段点的导数，如果不相等，则在分段点没有导数。例13．设，求。[分析]这是超越函数，两边取对数后再求导。[解]，两边取对数，，两边求导，故。[方法小结]这函数既不是指数函数也不是幂函数，而是超越函数，应该两边取对数后再求导。例14．设，求。[分析]对这类函数求导，如果按照根式的复合函数求导非常麻烦。可以两边取对数后再求导。[解]两边取对数，，两边求导，故。[方法小结]这类函数求导，往往两边取对数后再求导。例15．已知是周期为5的连续函数，它在的某个邻域内满足关系式，其中是当时比高阶的无穷小量，且在处可导，求曲线在点处的切线方程。[分析]为了求曲线在点处的切线方程，只需要求出。因为是周期为5的连续函数，故只需要求出。[解]由得，则。又，而，所以。而，，所求的切线方程为。[方法小结]求曲线在某点处的切线斜率等于函数在该点的导数。例16．设，求。[分析]由于是分段点，故由定义来求导数。[解]在处，，则，于是，，当时，有，故。[方法小结]求函数在分段点的导数，也可以用定义。例17．设，，求和（）。[分析]由于是参数方程的形式，而且是变上限积分，因此可以采用变上限积分的求导公式。[解]因为，，故，。[方法小结]当函数是参数方程的形式时，求高阶导数一定要小心，用如下公式。例18．设，求。[分析]由于是分段函数，如果按定义硬算非常麻烦，一定有技巧。麦克劳林公式中含有在的各阶导数，故利用麦克劳林公式的唯一性可以求出函数在的高阶导数。[解]因为，所以当时，，又，则，。[方法小结]当函数是分段函数时，求函数在某点的高阶导数，可以考虑用泰勒展开式来处理。例19．证明与在（为整数，为常数）相切。[分析]两曲线在交点处切线斜率相等，则两曲线相切。为此，先求出曲线的交点，再计算导数。[解]由得，故交点的横坐标（为整数）。因为，所以，故与在（为整数，为常数）相切。[方法小结]利用“两曲线相切的充要条件是两曲线在交点处切线斜率相等”是解决问题的关键。例20．设方程，试用变量替换将方程化简。[分析]可以看成参数方程的形式，设想是中间变量。[解]我们容易知道，，将上两式带入原方程得。[方法小结]利用参数方程的求导公式可以将变量替换。四、考研试题分析例21．(1999年高数二)设函数由方程确定，则[答案]1.[分析]这是一个隐函数，可以利用复合函数求导法则求解。[解答]把.代入已知等式得。对两边求导得，把代入上式得，故。例22．(1998年高数一)函数不可导点的个数是(A)3,(B)2,(C)1,(D)0.[答案](B).[分析]因为函数带有绝对值，可以用左右极限的办法来求函数在某点的左右导数判断。[解答]因为，则函数除了分段点外都可导，在分段点有可能不可导，因此只要判断函数在分段点不可导的个数。容易判断函数在处不可导，而在处可导，故选(B)2。例23．(2003年高数二)设函数由参数方程（）所确定，求。[分析]运用参数方程求导法则计算。[解答]由，，则，所以，当时，由和得，故。例24．（2002年高数二）已知函数在内可导，，，且满足，求。[分析]先对取对数，再由导数定义列出微分方程，得出。[解答]设，则，因为，故，由已知条件得，因此，从而，解之得，由得。例25．（1989年高数三）设，则。[分析]由于是一个多项式，而且由个一次因式乘积形式给出的，直接计算非常困难。但是用导数的定义计算反而简单。[解答]=例26、（1996年高数三）设其中具有二阶导数，且，求。[分析]函数用参数方程给出，因此可以用参数方程的求导公式求解。[解答]因为，，所以，故。例27、（2003年高数二）已知是微分方程的解，则的表达式为（A）,(B),(C),(D).[分析]将所给的解代入微分方程，求出函数的表达式。[解答]由，则有，代入有，故。例28、（2002年高数二）设函数可导，当自变量在处取得增量时，相应的函数增量的线性主部为0。1，则。(A)-1,(B)0.1,(C)1,(D)0.