高考高三上学期第一次高考模拟测试理科数学试题

试卷第=page11页，总=sectionpages55页试卷第=page44页，总=sectionpages55页高三上学期第一次高考模拟测试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若复数z为纯虚数，且，则（）A． B． C． D．22．集合，若，则（）A． B． C． D．3．如图，向量等于（）A． B． C． D．4．命题若为第一象限角，则；命题：函数有两个零点，则()A．为真命题 B．为真命题 C．为真命题 D．为真命题5．等比数列中，且，，成等差数列，则的最小值为（）A． B． C． D．16．设，，，则（）A． B． C． D．7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．6 B．12 C．24 D．368．已知，满足约束条件，则的最大值是（）．A． B． C． D．9．下列函数中，同时满足以下两个条件①“，”；②“将图象向左平移个单位长度后得到的图象对应函数为”的一个函数是（）．A． B． C． D．10．在平面直角坐标系中，，，点满足，，点为曲线上的动点，则的最小值为（）．A． B． C． D．11．已知双曲线的焦点在轴上，对称中心为原点，为等边三角形．若点在轴上，点，在双曲线上，且双曲线的虚轴为的中位线，则双曲线的渐近线方程为（）．A． B． C． D．12．已知方程有且只有一个实数根，则m的取值范围为（）A． B．C． D．三、填空题13．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，且曲线在点处的切线斜率为4，则______．14．某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有__________种（用数字作答）．15．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且双曲线的渐近线方程为，则此双曲线方程为_________.16．数列满足，，为其前项和，则______.三、解答题17．中，内角，，所对的边分别为，，，已知，.（1）求；（2）在的边上存在一点满足，连接，若的面积为，求.18．四棱锥中，面，直角梯形中，，，，，点在上且.与平面所成角为45°.（1）求证：面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19．上饶市正在创建全国文明城市，我们简称创文.全国文明城市是极具价值的无形资产和重要城市品牌.创文期间，将有创文检查人员到学校随机找学生进行提问，被提问者之间回答问题相互独立、互不影响.对每位学生提问时，创文检查人员将从规定的5个问题中随机抽取2个问题进行提问.某日，创文检查人员来到校，随机找了三名同学甲、乙、丙进行提问，其中甲只能答对这规定5个问题中的3个，乙能答对其中的4个，而丙能全部答对这5个问题.计一个问题答对加10分，答错不扣分，最终三人得分相加，满分60分，达到50分以上（含50分）时该学校为优秀.（1）求甲、乙两位同学共答对2个问题的概率；（2）设随机变量表示甲、乙、丙三位同学共答对的问题总数，求的分布列及数学期望，并求出校为优秀的概率.20．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为且短轴长为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，，直线与直线的斜率之积为，证明直线过定点并求出该定点坐标.21．已知.（1）若，讨论的单调性；（2），，求实数的最小值.22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程.（1）求曲线的普通方程；（2）设是曲线上的动点，是曲线上的动点，求的最大值.23．设函数.（1）求的最小值；（2）若集合，求实数的取值范围.参考答案1．D【分析】根据复数的运算法则，化简复数为，根据复数为纯虚数，即可求解.【详解】由题意，复数，因为复数为纯虚数，所以，解得.故选：D.2．D【分析】因为，求得，则，得到集合，结合集合并集的概念及运算，即可求解.【详解】由题意，集合，因为，所以，解得，则所以集合，所以.故选：D.3．A【分析】根据向量的减法法则可得选项．【详解】由向量的减法得，故选：A．4．C【分析】根据三角函数的性质，对于命题可以举出反例，可得其为假，对于命题，根据零点存在定理可得其至少有三个零点，即为假，结合复合命题的真假性可得结果.【详解】对于命题，当取第一象限角时，显然不成立，故为假命题，对于命题∵，，∴函数在上有一个零点，又∵，∴函数至少有三个零点，故为假，由复合命题的真值表可得为真命题，故选C.【点睛】本题主要借助考查复合命题的真假，考查三角函数的性质，零点存在定理的应用，属于中档题．若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，作出判断即可．5．D【分析】首先设等比数列的公比为，根据，，成等差数列，列出等量关系式，求得，比较相邻两项的大小，求得其最小值.【详解】在等比数列中，设公比，当时，有，，成等差数列，所以，即，解得，所以，所以，，当且仅当时取等号，所以当或时，取得最小值1，故选：D.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目.6．C【分析】借助中间量和比较大小即可.【详解】解：由对数函数在单调递增的性质得：，由指数函数在单调递减的性质得：，由三角函数在上单调递增的性质得.所以.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，考查运算能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于借助中间量和，尤其在比较与的大小时，将变形得，进而与比较大小是重中之核心步骤.7．B【分析】由三视图可得原图，结合原图，利用四棱锥的体积公式即可得解.【详解】原图如图所示，可得，故选：B.【点睛】本题考查了三视图，考查了利用三视图画直观图，同时考查了锥体的体积公式，属于基础题.8．B【分析】画出可行域，化目标函数为，平移找截距最大即可.【详解】画出约束条件，所表示的平面区域，如图所示，由目标函数可化为，当直线过点时，在轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以的最大值为故选：B.9．D【分析】先判断出函数的对称性，然后逐项检验即可.【详解】因为，所以关于点成中心对称对于A，时，，排除；对于B，时，，排除；对于C，时，，待进一步检验；对于D，时，，待进一步检验.又将图象向左平移个单位长度后得到的图象对应函数为对于C，平移后，，排除；对于D，平移后，，正确.故选：D.10．C【分析】首先确定点和的轨迹方程，以及画出两个轨迹图象，根据数形结合分析的最小值.【详解】，所以直线的方程是点满足，，点在直线上，点在曲线上，如图，的最小值是点到直线的距离．故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键是能观察，变形出点的轨迹方程是以为圆心，半径为1的半圆，才能数形结合分析两点间距离的最小值.11．A【分析】根据为等边三角形，且双曲线的虚轴为的中位线，得到，则，将的坐标代入双曲线方程求解.【详解】如图所示：设双曲线方程为，虛轴长为，则，、关于轴对称，不妨设在双曲线左支，则其纵坐标为，因为为等边三角形，，所以，故，将的坐标代入双曲线方程有，则，所以渐近线方程为．故选：A12．A【分析】将方程化为，设，对求导得到，设，然后求出的单调区间，作出其图像，数形结合，得到m的取值范围.【详解】由题意，可得，设，则，设，则，又，所以当时，，当时，，则当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以，当时，，当时，恒大于0，作出的图像如图所示，则或，所以实数m的取值范围时．故选：A.13．【分析】利用奇函数性质，求在时的解析式，根据导数的几何意义有，即可求参数a的值.【详解】当时，则，∴，此时．所以，当时，，则，解得．故答案为：．14．36【详解】先选出学生选报的社团，共有种选法，再把这3名同学分配到这两个社团，共有，故恰有2个社团没有同学选报数有．15．【分析】求出椭圆焦点坐标，即双曲线焦点坐标，有的值，渐近线方程得，利用可解得得双曲线方程．【详解】由题意椭圆焦点为，∴，设双曲线方程为()，则，由，解得．∴双曲线方程为．故答案为：．【点睛】易错点睛：本题考查是椭圆与双曲线的综合问题，解题中要注意椭圆有，双曲线中，两者关系不相同，不能混淆．否则易出错．16．5151【分析】讨论当是奇数时，；结合，所以所有的奇数项都等于，当是偶数时，，分别计算奇数项的和、偶数项的和即可求解.【详解】因为，，，所以，可得，当是奇数时，，是偶数，，两式相减可得：，当是偶数时，，是奇数，，两式相加可得：，所以当是奇数时，；因为，可得，，可得，所以，当是偶数时，，所以，故答案为：.【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.17．（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理把化为，从而可得，进而可求出角；（2）由于，所以，从而可得的面积为，再利用三角形面积公式可得，而由得，从而可求出的值，再利用余弦定理可求出的值.【详解】解：（1）∵，∴，∴，∵∴；（2）依题意可知：，∵的面积为，∴的面积为，∵的面积为∴，∵，∴，，，∴.18．（1）证明见解析；（2）.【分析】(1)证明线面平行，用面面平行的判定定理，作平面MCN∥,从而得到面；(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值．【详解】解：（1）在线段上取一点，使，∵，∴且∴是平行四边形∴又,在中，，∴，同理可证：又∴平面平面，又平面，∴平面，（2）以为原点，、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系∵平面∴又∴平面所以在平面内的射影为，所以为直线与平面所成的角即∴所以，，∴∴面的法向量为设平面的法向量为则，可得：所以所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．19．（1）；（2）分布列见解析，期望值，.【分析】（1）首先事件甲、乙两位同学共答对2个问题，分为两人各答对1题，或是乙答对2题，再求互斥事件和的概率；（2）由条件可知,再根据随机变量对应的事件，分别求概率，再列出分布列，并计算数学期望,根据分布列，列出该学校为优秀的概率.【详解】（1）记“甲、乙两位同学共答对2题”为事件，则（2）由题意可知随机变量的可能取值为、、、，所以，随机变量的分布列如下表所示：随机变量的数学期望为校为优秀的概率.【点睛】关键点点睛：本题的关键是分清随机变量代表的事件，其中容易错的是乙同学会5题中的四个题，所以两个题，至少会一题.20．（1）；（2）证明见解析，.【分析】（1）由离心率和短轴长列方程组解得，可得椭圆方程；（2）讨论直线斜率不存在时，是否符合题意，斜率存在时设直线方程为，，，直线方程代入椭圆方程，有，应用韦达定理得，然后代入中求得值，即得定点坐标．【详解】解：（1）由得∴椭圆C的标准方程为（2）若直线的斜率不存在，设，则，此时，与题设矛盾，故直线的斜率必存在.设，，，联立得：，，∴，∵代入，整理得：，解得：或（舍去），即直线过定点.【点睛】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交中的定点问题．解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为，设直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得（需要根据方便性，可能得），代入定点对应的表达式，利用恒等式知识求得定点坐标，利用基本不等式或函数的性质求得最值等等．21．（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）求导函数地，确定的正负，为此引入新函数由导数确定新函数的正负后可得的正负，然后得单调区间；（2）由出变形为，由不等式恒成立，特殊值也成立得，可确定函数递增，存在唯一零点，由零点存在定理确定，从而可得是的极大值点，由零点得，把转换为的不等式解得的范围，再由求得的最小值．【详解】解：（1）时，，定义域为，令，则，当，；当，；∴在递增，在上递减，∴，∴，∴在上递增．（2），由，，∴可得，令，则在上递增，由，且当时，，∴，∴使得，且当时，即；当时，即，∴在递增，在递减，∴，由，∴，由得即，由得，∴，设，则，可知在上递增∴，即∴实数的最小值为．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，研究不等式恒成立问题．在确定的正负及零点时，有时需要对（或其中部分函数）求导，利用导数确定单调性得零点的存在及零点范围．由可得和参数的关系或本身的性质，这样函数的最值可以转化变形为易求解的形式，从而求得结论．22．（1）；（2）.【分析】（1）由求出曲线的普通方程；（2）将的最大值转化为求，设，由点到直线的距离公式结合正弦函数的性质得出最值.【详解】（1），∴，即，∴（2）由曲线的参数方程知其普通方程为，它是以为圆心，2为半径的圆∵是曲线上的动点，是曲线上的动点，∴设，则∴时，，∴