人教A版高中数学(选择性必修三)同步培优讲义专题7.5 离散型随机变量的数字特征（重难点题型精讲）（原卷版）

专题7.5离散型随机变量的数字特征（重难点题型精讲）1．离散型随机变量的均值(1)定义一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示：则称E(X)=SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望，它反映了随机变量取值的平均水平.

(2)对均值(期望)的理解

求离散型随机变量的期望应注意：

①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.

②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态.

③均值与随机变量有相同的单位.2．均值的性质若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.

特别地，当a=0时，E(b)=b；

当a=1时，E(X+b)=E(X)+b；

当b=0时，E(aX)=aE(X).3．离散型随机变量的方差、标准差(1)定义

设离散型随机变量X的分布列为则称D(X)=SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0为随机变量X的方差，并称SKIPIF1<0为随机变量X的标准差，记为SKIPIF1<0(X).

(2)意义

随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.4．方差的有关性质当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=SKIPIF1<0D(X).

特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)；

当b=0时，D(aX)=SKIPIF1<0D(X).5．两点分布的均值与方差一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p.【题型1均值的性质】【方法点拨】根据均值的性质，进行求解即可.【例1】（2022春·广东广州·高二期末）设离散型随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，则E(2X−3)=（

）A．2 B．1 C．-1 D．-2【变式1-1】（2022春·北京大兴·高二期末）已知离散型随机变量X的期望EX=1，则E2X+1A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-2】（2022春·河北保定·高二阶段练习）已知随机变量ξξ>0满足E2−3ξ+E2A．−1或4 B．2 C．3 D．4【变式1-3】（2022春·江苏镇江·高二期中）已知X的分布列为：X-101P11a设Y=2X+1，则Y的数学期望E(Y)的值是(

)A．−16 B．16 C．【题型2方差的有关性质】【方法点拨】根据题目条件，结合方差的有关性质，进行转化求解即可.【例2】（2022春·重庆沙坪坝·高二阶段练习）设X，Y为随机变量，且E(X)=2,EX2=6,Y=2X−1，则D(Y)=A．9 B．8 C．5 D．4【变式2-1】（2022春·山东淄博·高二期末）已知随机变量X的方差为DX=3，则D1A．9 B．3 C．13 D．【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如下：236P11a则D(3X+2）的值为（

A．2 B．6 C．8 D．18【变式2-3】（2022春·河北·高二校联考期中）已知随机变量X的分布列如下表：X−2012Pn11m若E(X)=0，则D(3X−1)=（

）A．6 B．7 C．20 D．21【题型3离散型随机变量的均值的求法】【方法点拨】第一步，理解随机变量X的意义，写出X的所有可能取值；第二步，求X取每个值时的概率；第三步，写出X的分布列，由均值的定义来求均值.【例3】（2022秋·上海金山·高三期中）已知某随机变量X的分布为X−101P0.30.2m则EX等于（

A．0.5 B．0.3 C．0.2 D．无法确定【变式3-1】（2022春·北京顺义·高二期末）已知离散型随机变量X的分布列如下表，则X的数学期望E(X)等于（

）X012P0.2a0.5A．0.3 B．0.8 C．1.2 D．1.3【变式3-2】（2022春·江苏徐州·高二期中）设a为正实数，若随机变量X的分布列为PX=i=i2ai=1,2,3A．3 B．1 C．73 D．【变式3-3】（2022春·江苏连云港·高二期末）已知离散型随机变量X的分布列如下表：X012P0.64q21－2q则E(X)=（

）A．0.56 B．0.64 C．0.72 D．0.8【题型4离散型随机变量的方差、标准差】【方法点拨】第一步，理解随机变量X的意义，写出X的所有可能取值；第二步，求X取每个值时的概率；第三步，写出X的分布列，由均值的定义来求均值.第四步，利用方差的计算公式，进行求解即可.【例4】（2022春·辽宁锦州·高二期末）随机变量X的分布列是X−112Pab1若E2X+1=2，则DXA．1 B．4 C．117 D．【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为：X12Pab则随机变量X的方差DX的最大值为（

A．14 B．12 C．1【变式4-2】（2022秋·辽宁·高三阶段练习）已知随机变量X的分布列如下表所示，若EX=2，则DXX123P1mnA．23 B．43 C．【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）设0<m<1，随机变量的分布列为：ξ0m1Pa12a−1则当m在0,1上增大时（

）A．Dξ单调递增，最大值为B．Dξ先增后减，最大值为C．Dξ单调递减，最小值为D．Dξ先减后增，最小值为【题型5两点分布的均值与方差】【方法点拨】根据两点分布的定义，结合均值、方差的性质和计算公式，进行求解即可.【例5】（2023·全国·高三专题练习）设随机变量X服从两点分布，若PX=1−PX=0=0.4，则A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【变式5-1】（2023·全国·高二专题练习）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足PX=0=29PX=1，且PA．13 B．12 C．2【变式5-2】（2022春·广东中山·高二阶段练习）某运动员罚球命中得1分，不中得0分，如果该运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球一次的得分X的方差为（

）A．0.14 B．0.16 C．0.18 D．0.2【变式5-3】（2022·高一课时练习）设一随机试验的结果只有A和A，且P(A)=m，令随机变量ξ=1,A发生0,A不发生，则ξ的方差A．m B．2m(1−m) C．m(m−1) D．m(1−m)【题型6均值与方差的综合应用】【方法点拨】(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型以及可能用到的事件类型和公式.(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值、方差.(3)对照实际意义，回答概率、均值、方差等所表示的结论.【例6】（2023秋·安徽宿州·高二期末）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层师选，甲､乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23，甲､(1)求甲公司至少答对2道题目的概率；(2)请从期望和方差的角度分析，甲､乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14,1(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)．【变式6-2】（2023·北京·高三专题练习）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程.某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：男女支持方案一2416支持方案二2535假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立.(1)从样本中抽1人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率；(2)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设X为抽出两人中女生的个数，求X的分布列与数学期望；(3)在（2）中，Y表示抽出两人中男生的个数，试判断方差DX与D【变式6-3】（202