2023年高考数学题型预测卷（上海） 猜题18 第17-18题 数列、三角函数、解三角形（上海与全国近年真题对比）

猜题18第17-18题数列、三角函数、解三角形（上海与全国近年真题对比）

上海近五年高考部分真题（含春高）

解答题

1.（2022•上海）已知在数列｛斯｝中,“2=1，其前〃项和为S”.

（1）若｛%｝是等比数列，51=3,求limS”；

n—8

（2）若｛““｝是等差数列，求其公差d的取值范围.

【分析】（1）由己知求得等比数列的公比，再求出前〃项和，求极限得答案;

（2）求出等差数列的前2〃项和，代入S2”》〃，对〃分类分析得答案.

【解析】解：（1）在等比数列｛小｝中，"2=1，52=3,则0=2,

afl-q11'）

公比q=°,则S=-------=4（1一一—）>

2nl~q2n

••limS"=lim4（1一L）=4；

n->8n+82n

（2）若｛%｝是等差数列，

nil=（a2+a2n-i），2n20、

则S2n—~―级-----=2dn+（2-3d）n》〃，

即（3-2”）4W1,当”=1时，dWl；

当〃N2时，d21恒成立,1e[-1,0）,

3-2n3-2n

综上所述，</G[0,1].

2.（2021•上海）在△ABC中，已知a=3,b=2c.

（1）若4="，求SAABC.

3

（2）若2sinB-sinC=1,求CAABC.

【分析】（1）由余弦定理求得c2,从而求得aABC面积；

（2）由正、余弦定理求得b、c值，从而求得△A8C周长.

2222

【解析】解：（1）由余弦定理得cosA=-工=加±£.=%一二%

22bc4c2

解得/=且，

7

，SaABC=JbcsinA=g~X2c2=;

2414

(2),:b=2c,■由正弦定理得sinB=2sinC,又：2sinB-sinC=1,

；.sinC=上，sinB=2,.*.sinC<sinB.：.C<B,，C为锐角,

3_______3_

2

.".cosC=^1_(l)=-^2..

由余弦定理得：c2=a2+/?2-2abcosC,XVa=3,b=2c,

.•.c2=9+4c，2-8&c,得：3c2-8&c+9=0,解得：土正..

__3

当c=4&M时,

=3+4&+遥；

33

当c=4圾时,b=8衣乜遥时c皿c=3+4&-V5.

33

3.(2021•上海)已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，<2=2,cosC=-A.

4

(1)若sinA=2sin8,求6、c；

(2)若cos(A-^2L)=2,求c

45

【分析】(1)由已知利用正弦定理即可求解5的值；利用余弦定理即可求解c的值.

(2)根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得cosA,sinA,sinC的值，进而根

据正弦定理可得。的值.

【解析】解：(1)因为sinA=2sin8,可得。=2b,

又a=2,可得b=l,

2.,2202.-,221_

由于cosC=———-———----———=-A,可得c=V6-

2ab2X2X14

(2)因为cos(A-2L.)=YA(cosA+sinA)=—,

425

可得cosA+sinA=gv1,

5

又cos2A+sin2A=l,

可解得cosA=""*,sinA=&L,或sinA=，"上,cosA=Y2,

10101010

因为cosC=--,可得sinC='J15、tanC=-A/15»可得。为钝角，

_44_

若sinA=」"2,COSA=2£A,可得tanA=7,可得tanB=-tan(A+C)=tanA+tanC=---------------------

1010tanAtanC-17X(-V15)-l

<0,

可得3为钝角，这与。为钝角矛盾，舍去，

所以sinA=2^,由正弦定理可得。=包包.

10sinAsinC2

4.(2020•上海)已知函数/(x)=sino)x,a)>0.

(1)f(x)的周期是4m求3,并求/(x)=方的解集；

(2)已知3=1,g(x)=/(x)+V3/(-x)/(2L-x),xRO,-ZL],求g(x)的值域.

24

【分析】(1)直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果.

(2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的值域.

【解析】解：(1)由于/(x)的周期是4n，所以3=空」，所以/G)=sinlx.

4兀22

令sin[x]，故'xYk兀•或2k%'整理得x=4k兀土或x=4k兀+可•

N/Nb000

故解集为｛Mx=4k7l+-^-或x=4k兀kwZ].

(2)由于0)=1,

所以/(x)=sinx.

2_l-cos2xv3•sin2x=-与sin2x-]cos2x

所以g(x)—sinx+Vssin(-x)sindy_-x)----------4

22

=A-sin(2x+-^—).

26

由于xe[O,—],

4

所以假＜2x*＜一2兀

3

■^Csin(2x-f^-Xl,

故-14-sin(2x-+^-)《总,

故卷(g(x)《S

所以函数g(x)的值域为0].

5.(2020•上海)已知各项均为正数的数列｛念｝,其前〃项和为％,“1=1.

(1)若数列｛如｝为等差数列，Sio=7O,求数列｛即｝的通项公式；

(2)若数列｛斯｝为等比数列，44=工，求满足S”>100〃"时〃的最小值.

8

【分析】(1)设等差数列的公差为“，运用等差数列的求和公式，解方程可得让进而得到所求通项公

式;

(2)设等比数列的公比为q,由等比数列的通项公式可得q,再由等比数列的求和公式，解不等式可得

n的最小值.

【解析】解：（1）数列｛斯｝为公差为d的等差数列,Sio=7O,6/1=1,

可得10+JLX10X94=70,解得4=9，

23

则an—1+—(n-1)=—n--1；

333

(2)数列｛〃“｝为公比为q的等比数列，。4=工，ai=\,

可得/=2，即勺=

82

2

s„>iooa„,即为2-（A）z,l>ioo-（A）nl,

22

即2”>101,可得〃27,即〃的最小值为7.

6.（2019•上海）已知数列｛斯｝,幻=3,前”项和为S”.

（1）若｛的｝为等差数列，且“4=15,求S”；

（2）若｛%｝为等比数列，且limSn<12>求公比<7的取值范围.

n—811

【分析】（1）求出公差即可求S,；

（2）由lim存在得-且"之①由12得勺<3，取交集可得公比q的取值范围.

n-8。n—84

【解析】解：（1）•.•〃4=m+3d=3+3d=15,，d=4,

.•・S〃=3〃+n（彳1）X4=2〃2+〃；

（2）S"=3（l@）.,limS存在，，-

1-qn-811

lim5^存在，,-1<4<1且4*°'limS"=lim~=~~,

n—8L8n-81-Ql-q

.".-A_<12,：.q<l,-l<4<0或OVqV2，

1-q44

公比q的取值范围为（-1,0）U（0,1）.

7.（2018•上海）设常数a€R,函数/（x）=«sin2x+2cos2x.

（1）若f（x）为偶函数，求a的值；

(2)若/(三)=我+1,求方程f(x)=1-&在区间［-皿，n］上的解.

4

【分析】(1)根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，

(2)先求出。的值，再根据三角形函数的性质即可求出.

【解析】解：(1)V/(x)=«sin2x+2cos2x,

x)=-6fsin2x+2cos2x,

V/(x)为偶函数，

(-x)=f(X),

/.-asin23+2cosx=asin2x+2cosx,

2asin2x=0,

(2)v/(2L)=«+i,

/.tzsin-2L+2cos2(-2L)=〃+l=J^+l,

24

/./Cx)=>/3sin2x+2cos2x=*\/3sin2x+cos2x+l=2sin(2x+-^-)+1,

6

・・・/(%)=一近，

A2sin⑵+2L)+1=1-近,

6

/.sin(2X+-ZL)=-EL,

62

A2X+2L=--+2kn9或2X+2L=§IT+2E，kEZ,

6464

・•・力=-5兀孤+近,或X=_1^JT+E,keZ,

2424

•%ei-ii,nJ,

得或k"一5兀或口一11兀

2424

8.(2018•上海)已知y=cosx.

(1)若f(a)q，且ae[o,n],求f(a—的值;

(2)求函数y=/(2x)-2/(x)的最小值.

【分析】(1)根据两角和差的余弦公式进行计算即可

(2)利用一元二次函数的性质利用配方法进行转化求解即可.

【解析】解：(1)若且。日0,IT],

3

则cosa=费，则sina=J]_([)2,

+

则f(a-^-)=cos(a-21_)=cosacos-ZL+sinasin-2I_=_1_—L/"2^-^-

工333323263

(2)函数y=/(2x)-If(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2(cosx--)2-

22

Y-IWcosxWl,

・••当cosx=工时，函数取得最小值，最小值为-3.

22

全国近二年高考部分真题

一、解答题

2S

1.(2022•全国•统考高考真题)记S“为数列｛q｝的前〃项和.已知一+〃=2%+1.

(1)证明：｛%｝是等差数列；

(2)若%,%，%成等比数列，求5“的最小值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)-78.

fS.,n=1

【分析】(1)依题意可得2S〃+〃2=2y+〃，根据।作差即可得到。〃-%=1,从而

IS,-S,T，〃22

得证；

(2)法一：由(1)及等比中项的性质求出为,即可得到｛4“｝的通项公式与前"项和，再根据二次函数的性

质计算可得.

【解析】(1)因为3+"=2a“+l,BP2S„+«2=2na„+n@,

n

当〃22时，2S,Z+(N-1)2=2(〃-1)%+(n-1)②，

2

①一②得，2S.+/-25„,,-(n-l)=2W/„+n-2(W-l)a„,l-(n-1),

即2an+2〃-1=2叫,-2(〃-l)a,i+1,

即=2(”—1),所以aa-a“T=l，”22且〃eN*,

所以｛4｝是以1为公差的等差数列.

（2）［方法一］:二次函数的性质

由（1）可得见=4+3,%=q+6,%=q+8,

又4，%,包成等比数列，所以

即（4+6）=（q+3）.（4+8）,解得4=-12,

所以4,=〃T3,所以S“

所以，当"=12或"=13时，（SJzn=-78.

［方法二］：【最优解】邻项变号法

由（1）可得%=4+3,%=q+6,%=4+8,

又出,%,。9成等比数列，所以％2=。/4，

即(q+6『=(4+3>(q+8),解得《=-12,

所以““=〃-13,即有q<〃2<<a,2<0,al3=0.

则当〃=12或〃=13时，（S„）|nin=-78.

【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出S,,的最小值，适用于可以求出S”的表达式;

法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解.

2.（2022•全国•统考高考真题）记一ABC的内角AB,C的对边分别为aec,已知

sinCsin（A-B）=sin^sin（C—74）.

⑴证明:2a2=b2+c2;

25

（2）若a=5,cosA=与，求_/18。的周长.

【答案】（1）见解析

⑵14

【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证;

（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出。c,从而可求得b+c,即可得解.

【解析】（1）证明：因为sinCsin（A-B）=sinBsin（C-A）,

所以sinCsinAcosB-sinCsinBcosA=sinBsinCeosA-sinBsinAcosC,

所以"+2Mi.a2+Z

lac2bclab

即此产_W+c-2）=_y^

22

所以2a2=b+c;

(2)解：因为。=5,cosA二三,

由⑴得户+,2=50,

由余弦定理可得a2=b2+c2-20ccosA,

则50-条c=25,

31

所以A==,

2

故（/?+。）2=/+。2+2"=50+31=81,

所以b+c=9,

所以一ABC的周长为a+6+c=14.

3.(2022•全国•统考高考真题)记/5C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

sinCsin(A—5)=sinBsin(C-A).

(1)若A=23,求C；

(2)证明：2/=/+/

【答案】(1泮;

O

(2)证明见解析.

【分析】(1)根据题意可得，sinC=sin(C-A),再结合三角形内角和定理即可解出；

(2)由题意利用两角差的正弦公式展开得sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA),再

根据正弦定理，余弦定理化简即可证出.

【解析】(1)由A=23,sinCsin(A-8)=sinBsin(C-A)可得，sinCsinB=sinBsin(C-A),而0<8<曰，

所以sinBw(O,l),即有sinC=sin(C-A)>0,而0<C<7t,0<C-A<兀，显然CwC-A,所以，C+C-A=n,

而A=2B,A+B+C=n,所以C=即.

8

(2)由sinCsin(A_3)=sin5sin(C-A)可得,

sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sin3(sinCcosA-cosCsinA),再由正弦定理可得,

accosB-becosA=becosA-abcosC,然后根据余弦定理可知，

+。2—62)―^92+/_/)=+c2+/一才)，化简得：

2a2=h2+c2,故原等式成立.

4.（2。22・全国•统考高考真题）记一MC的内角4B,C的对边分别为小，c,已知扁=谓

（1）若c=等，求&

⑵求二£的最小值.

c

【答案】⑴9

0

(2)472-5.

【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将产三=产鼻化成cos（A+8）=sin8,再

1+sinAl+cos2B7

TT

结合0<8<],即可求出；

⑵由（1）知，C=1+8,A=g-28,再利用正弦定理以及二倍角公式将化成4cos"+一^-5,

22c2cos2B

然后利用基本不等式即可解出.

BcosBB,

【解析】（1）因为半J__s_in__2_8__—._2_s_i_n______—_s_i_n__OIlj

1+sinA1+cos252cos2Bcos8'

sinB=cosAcosB-sinAsinB=c

而0<B<],所以B哈

TTTT

(2)由(1)知，sin^=-cosC>0,所以一<。<兀,0<8<一,

22

而sinB=-cosC=sin(c-/),

所以C=]+B,即有A=]_28,所以

*2/+/sin2A+sin2Bcos22B+1-cos2B

所以一—=------------=----------------

c2sin2Ccos2B

(2cos24-1-cos2Bc2r-r-

--------------------=4COS2B+---―5>2V8-5=4V2-5•

cos-BcosB

当且仅当cos?8=]时取等号，所以哼兰的最小值为4&-5.

5.(2022.全国•统考高考真题)记S”为数列｛4｝的前〃项和，已知4=1j是公差为g的等差数列.

(1)求｛%｝的通项公式；

111c

(2)证明：一+—++—<2.

%〃24

【答案】(1)4=

(2)见解析

【分析】(1)利用等差数列的通项公式求得显=1+；(〃-1)=彳，得到S"=("+2””,利用和与项的关

系得到当〃22时，4=S._S“T=("+；""_」乎U•，进而得:詈=喏，利用累乘法求得q=吗3,

检验对于n=1也成立，得到｛4｝的通项公式a“=及詈.

(2)由(1)的结论，利用裂项求和法得到,+」•++-=2|1--进而证得.

%%an\

S.I

【解析】(1)・••耳=4=1,，一=1,

a\

又•••｛2｝是公差为1的等差数列，

­显=1+%_1)=小•s_("+2””

.♦.当"22时，s“]=(”+。出,

3

.„CC(〃+2)%(«+>)«,,-1

整理得：(〃-1)%=(〃+1)的，

.・.an=4…2­

%〃24.2an-\

,34nn+1M(H+1)

=1X—X—X..,X----------X-----------=------------

12n-2n-\2

显然对于W=1也成立，

6.(2022•全国•统考高考真题)记一A8C的内角A,B,C的对边分别为a,h,c,分别以db,。为边长的

三个正三角形的面积依次为力邑,S3,已知S「S2+S3=*，sinB='.

(1)求A8C的面积；

(2)若sinAsinC=—^,求尻

3

【答案】(1)坐

8

【分析】(1)先表示出再由岳-邑+53=等求得/+02一/=2,结合余弦定理及平方关系求得

ac,再由面积公式求解即可；

(2)由正弦定理得一与一=---，即可求解.

sin2BsinAsinC

【解析】(1)由题意得岳=\"2•且=3/S且@02,贝IJ

12242434

QQ,Q_V326k2超2

S.—+5\=—ci--hH------c——»

1234442

^2,2_i21

即〃+。2一从=2,由余弦定理得cosB="+C一。，整理得accosB=1,贝i]cos8>0,又sinB=：,

2ac3

则cos8=Jl/4二逑,ac=_!_=逑，则S4叱='acsinB=变；

VUJ3cosB4ABC28

逑

ac.b2_ac_ac__9b3

(2)由正弦定理得:----=-----，贝n!iJ7=----------=---------=-7=~=—,则----=一

sinAsinCsin^BsinAsinCsinAsinCV24sinB2

T

7.（2022.全国.统考高考真题）已知｛%｝为等差数列，｛包｝是公比为2的等比数列，且4-包=%-4=%-4.

⑴证明:%="；

⑵求集合｛k\bk=am+at,l<m<500）中元素个数.

【答案】（1）证明见解析；

（2）9.

【分析】（1）设数列｛q｝的公差为d,根据题意列出方程组即可证出；

（2）根据题意化简可得加=2皿，即可解出.

【解析】⑴设数列｛%｝的公差为d,所以，1+1_24=8：_e+3>）'即可解得，…吟,所以原

命题得证.

A-2

（2）由（1）知，自=4=1•，所以4=am+a｝O%X2«T=4+（m-\）d+a[,即犷=2m,亦即m=2e[l,5（X）],

解得24ZW10,所以满足等式的解无=2,3,4,,10,故集合｛%|4=品+414〃?4500｝中的元素个数为

10-2+1=9.

8.（2022・北京•统考高考真题）在.ABC中，sin2C=V3sinC.

⑴求/C；

（2）若6=6,且一A3C的面积为6石，求一A3C的周长.

【答案】（l）g

0

⑵6+6行

【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cosC的值，结合角C的取值范围可求得角C的值；

（2）利用三角形的面积公式可求得。的值，由余弦定理可求得。的值，即可求得J1BC的周长.

【解析】（1）解：因为Ce（O,zr）,贝iJsinC>0,由已知可得GsinC=2sinCcosC,

可得cosC=且，因此，C=~.

26

(2)解：由三角形的面积公式可得S"c=g"sinC=|a=6石，解得一后

由余弦定理可得c2=a2+/-2"cosC=48+36—2x47^x6x3=12,:.c=2#)，

2

所以，一43c的周长为a+b+c=6G+6.

9.(2022・天津•统考高考真题)在_ABC中，角A、B、C的对边分别为a",c.已知。=卡力=2c,cosA=-L

4

⑴求C的值；

(2)求sinB的值;

⑶求sin(2A-B)的值.

【答案】⑴。=1

(2)sinB=

4

(3)sin(2A—8)=平

【分析】(1)根据余弦定理〃=〃+。2一2机.cosA以及匕=2c解方程组即可求出;

(2)由(1)可求出〃=2,再根据正弦定理即可解出;

（3）先根据二倍角公式求出sin2A,cos2A,再根据两角差的正弦公式即可求出.

【解析】（1）因为〃=从+/_2/?CCOSA,即6=/+（:2+；0C,而。=2C,代入得6=4/+/+。？，解得:

c=l.

（2）由（1）可求出6=2,而0<4<兀，所以sin-=Jl-cos2A=姮,又~<=上三所以

4sinAsinB

2x巫r-

zx

DbsinA4V10.

sinD=----------=------T=—=--

a巫4

（3）因为cosA=-。，所以5<A<7t,故Xsin4=5/l-cos2/A=—,所以

4224

sin2A=2sinAcosA=2x（」］xM^=-3^,cos2/i=2cos2A-l=2x—-1=--,而sin8=也匹所以

t4j481684

cosB=>/l-sin2B=,

故sin(24-B)=sin2AcosB-cos2Asin〃=[—+.

10.(2022•天津•统考高考真题)设｛4｝是等差数列，他,｝是等比数列，且4=4=%-4=4-仇=L

⑴求｛q｝与也｝的通项公式；

⑵设｛4｝的前n项和为S“，求证：0用+4川应=5川%-5优；

⑶求£[%+i-(-i)z]a.

2=1

【答案】⑴见=2〃-1也=2"T

(2)证明见解析

(6〃-2)4'田+8

9

【分析】(1)利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；

(2)由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；

(3)先求得[%L(T产一'%7]阳一1+[%+一(-1)"%”]如，进而由并项求和可得(=£上4"二再结合错

%=1

位相减法可得解.

【解析】⑴设]“｝公差为",也｝公比为4,则q=l+(〃-l)d也=卡,

f\+d-q=\

由生一4=4-仇=1可得j1+2d_g2_]nd=4=2(d=q=0舍去)，

所以％=2”-1也=2"i；

(2)证明:因为%=2%#0,所以要证⑸M+-M"=S向a-S也,

即证⑸+i+a„+l)b„=5„+1-2b„-S„b„,即证S„+t+a„+l=2S„+t-Sn,

即证。M=S“+「S”,

而%+i=S„+i-S„显然成立,所以(S,+i+a„+i)b„=5„+|-b„+t-Sn-b„.

(3)因为+[。2*+1-(-

=(4&-l+4/-3)x22"2+[4Z+l-(4J)]x22i=2h4*,

2nn

所以Z(-1)%M=Z[(如「(T)"-%T)&T+-(T)"。")阳]

女=1&=1

这2h4“，

k=\

设T“=f12k.4k

k=\

所以7；=2x4+4x42+6x43+…+2〃x4",

贝IJ47；=2X42+4X43+6X44+.-+2"X4"",

2x4(1-4”)

作差得-37；=2(4+42+43+44+…+4")-2〃-4”“-2nx4rt+,

1-4

(2-6n)4"+,-8

3

所以小(6-2广+8,

所以汽"-(-1)2»(6〃甫叫8

k=\9

H.（2021.全国•统考高考真题）设｛可｝是首项为1的等比数列，数列也｝满足"=詈.已知4,

成等差数列.

（1）求｛%｝和也｝的通项公式；

C

⑵记s“和7；分别为｛4｝和也｝的前"项和.证明：4〈方.

【答案】（1）。“=《1尸，2=袤YI；（2）证明见解析.

【分析】⑴利用等差数列的性质及4得到时_6g+l=0,解方程即可;

（2）利用公式法、错位相减法分别求出5“，1,再作差比较即可.

【解析】（1）因为｛4｝是首项为1的等比数列且％,3a-9%成等差数歹U，

所以6a2=4+9%,所以6qq=q+9q/,

即9屋-6g+l=0,解得q=§,所以

所以2=曾=/.

（2）［方法一］:作差后利用错位相减法求和

„_12n-\n

北=§+系++产+三，

显」1111、

22以+3+孕++F>

„sf123IfI1I110-i1-12-1n-1-1

，-》n=5+?+于++可-5〔十寸铲++制=三+京+3^++-i+今

1C1,1

—2—n—\

设「“二⑧

2+_2++_____Z，

3'323"-'

,、1,1cl,I

ii0—1—2—n-\—

则milr=2,2,2,+2•⑨

3"3132333"

/(T)

n_3

由⑧-⑨得gr“=-J++

卜*+^)~^=2.13"

1------

3

_3

所以「=__!__211_=__

"4x3""2X3"''2x3"i

因此=2———="―<0.

"23"2x3"i2X3"

故方吟q.

［方法二］【最优解】：公式法和错位相减求和法

'还,31

证明：由(1)可得S〃=-----/一=7(1一看)，

1--23

3

_12n-\n心

T"=3+?++3^-+37，①

112n-\n否

/=?+?++丁+产，②

gz^/F12T1111n1。一天)n1八1、n

①—②得=5+?+于++初一户=-^n~Fr=i(1~F)-Fr，

3

31〃

所以片合却小-合TT)=-备<。，

所以】，〈才

［方法三］:构造裂项法

由(I)知"="&，令c“=(a〃+£)(g)，且仇=c“-c“+i,即=(a〃+£)(g)-[a(〃+D+£](g)，

通过等式左右两边系数比对易得a=7=?,所以%=（|〃+£|｛界

则北=々+4++勿=q—C"+i=：一尼+］）［g）,下同方法二

［方法四］:导函数法

x(T)

设f(x)=x+x2+X3++x"=

1-x

](1-*")]_1(1-/汁(1-6-1(1-炉)卜(1一力[1+犷"_(〃+]口”

由「FT=百=一不下一

\+nxn+l~(n+\)x"

则r(x)=l+2x+3x2++nx"-'

(I)?

又2

所以7>4+%+4++4=；l+2x—+3xf—+

3⑴

L一(〃+叫

下同方法二.

【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数

学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择,

关键是要看如何消项化简的更为简洁.

（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；

方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得臬名,然后证得结论，为最优解;

方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造。“=（如+夕）0）,使6“=%-%”，求得7“的表达式,

这是错位相减法的一种替代方法，

方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.

12.（2021.全国•统考高考真题）记是内角A,B,C的对边分别为。，b,J已知。2="c,点D在

边月C上，BDsinZABC=asmC.

（1）证明：BD=b；

（2）若AO=2DC,求cosZ148c.

7

【答案】（1）证明见解析；（2）cosZ4BC=—.

【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有8。=华，结合已知即可证结论.

（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边。与。的关系，然后利用余弦定理即可求得cosNABC的值.

【解析】（1）设一"C的外接圆半径为凡由正弦定理，

bc

WsinZABC=—,sinC=—,

2R2R

bc

因为3£>sinNABC=asinC,所以8。——=a——,即=

2R2R

又因为。2=ac,所以BD=b.

（2）［方法一］【最优解】：两次应用余弦定理

因为AD=2£）C,如图，在/RC中，85。=立空©,①

2ab

由①②得=3/+（勺2-/，整理得2a2_，/+°2=0.

又因为加=四,所以6/-114C+3c2=0,解得“智或0音,

当a=£,/=ac=J时，a+b=—+^^-<c（舍去）.

3333

当〃=主方=讹=二时，cos/ABC=-2-2-------2-=一

22°3c12

z—,C

2

7

所以cos/48C=五.

［方法二］:等面积法和三角形相似

2

如图，己知AD=2DC,贝!JS^ABD=—S^ABC,

i2?1

即一x—b'sinNA£)8=—x—acxsin/ABC,

2332

故有NAT«=NABC,从而ZABD=NC.

hCARA

由i,野Kr5而,即,AC—,

2b

山ADAB—

故年二77,即Hn3-c,

ABAC—一7

ch

2

又。2=4,所以c=§a,

则cosZABC=:+土”=—

lac12

［方法三］:正弦定理、余弦定理相结合

21

由(1)知3D=A=AC,再由A£)=2DC得A£)=—〃,C£>=—b.

33

ADBD

在&AD3中，由正弦定理得

sinZABDsinA

又NABD=NC,所以|。2

h,化简得sinC=]SinA.

sinCsinA

22

在;AfiC中，由正弦定理知又由加=衣，所以/=彳/.

33

•>4)22

2212a-+-a-一a~

93=7n

在，ABC中，由余弦定理，得cosNA8C」「/"一

2ac2x。-12

3

7

故cosZ48C=五

［方法四］:构造辅助线利用相似的性质

如图，作£>£〃/W,交BC于点E,则△DECs/vlBC.

由4)=2£>C,===y.

(笠+(gi

在二中，COS/BED=3~“---------

2