2020年安徽合肥市第四十五中学九年级一模数学试题（解析版）

2020年安徽合肥市第四十五中学九年级一模数学试题一、选择题1.3的相反数是（）A.﹣3 B.3 C. D.﹣【答案】A【解析】试题分析：根据相反数的概念知：3的相反数是﹣3．故选A．【考点】相反数．2.计算8x3·x2的结果是（）A.8x B.8x5 C.8x6 D.x5【答案】B【解析】故选B.3.今年春节档电影中《流浪地球》凭借优质的口碑一路逆袭，被很多人评为“国产科幻电影之光”，吸引众多影迷纷纷走入影院为这部国产科幻电影打，据了解《流浪地球》上映首日的票房约为1.89亿1.89亿可用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】1.89亿可用科学记数法表示为故选B.【点睛】考查科学记数法，掌握绝对值大于1的数的表示方法是解题的关键.4.如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是A.主视图 B.左视图 C.俯视图 D.主视图和左视图【答案】C【解析】【分析】根据所得到的主视图、俯视图、左视图结合中心对称图形的定义进行判断即可.【详解】观察几何体，可得三视图如图所示：可知俯视图是中心对称图形，故选C.【点睛】本题考查了三视图、中心对称图形，正确得到三视图是解决问题的关键.5.化简（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据分式的化简法则：当分式的分子、分母都是单项式或几个因式的乘积时，可依据分式的基本性质直接约分化简；当分子或分母为多项式时，一般先进行因式分解，再依据分式的基本性质进行约分化简，进行计算即可【详解】＝＝a－1.故选A.【点睛】此题考查分式的化简，掌握运算法则是解题关键6.某公司今年1月的营业额为250万元，按计划第1季度的营业额要达到900万元，设该公司2、3月的营业额的月平均增长率为．根据题意列方程正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分别表示出2月和3月的营业额，然后将1、2、3月的营业额相加即可．【详解】解：根据题意列方程得：

．

故选：D．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的平均增长率问题，正确理解题意是解题关键．7.如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；做直线分别交于点．若，的周长为，则的周长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由作图方法可知，直线为线段AC的垂直平分线，因此AD=CD，的周长即为AB+BC，进而可求得的周长．【详解】解：由作图方法可知，直线为线段AC的垂直平分线，∴AD=CD，，∵，∴，∴的周长即为AB+BC，即AB+BC=，又∵，∴AB+BC+AC=26+12=38cm，故选：B．【点睛】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．8.如图，与相切于点，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：连接OA、OB，由切线的性质知∠OBM=90°，从而得∠ABO=∠BAO=50°，由三角形内角和定理知∠AOB=80°，根据圆周角定理可得答案．详解：如图，连接OA、OB．∵BM是⊙O的切线，∴∠OBM=90°．∵∠MBA=140°，∴∠ABO=50°．∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=50°，∴∠AOB=80°，∴∠ACB=∠AOB=40°．故选A．点睛：本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．9.如图，矩形中，，点分别在上，则的最小值是（）A.6 B. C.12 D.【答案】B【解析】【分析】作D关于直线AC的对称点D′，过D′作D′E⊥AD于E，D′E交AC于点P，则D′E=PE+PD的最小值，利用勾股定理即可得到结论．【详解】解：作D关于直线AC的对称点D′，过D′作D′E⊥AD于E，D′E交AC于点P，D′D交AC于M，

则D′E=PE+PD的最小值，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC=90°，

∵AD=12，∠DAC=30°，DD′⊥AC，∴DM=6，∠ADM=60°，由对称可知DD′=12，∵D′E⊥AD，

∴∠DD′E=90°-60°=30°，∴DE=6，∴D′E=，∴的最小值是，

故选：B．【点睛】本题考查了轴对称-最小距离问题，矩形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．10.如图，中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，知道它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分两段讨论：当0≤t≤时，过Q作QD⊥AC交AC于点D，S△APQ=×AP×QD；当＜t≤4时，S△APQ=S△ABC-S△CPQ-S△ABQ．【详解】解：由题可知，ｓ时点Ｑ运动到点Ｂ，①当0≤t≤时，点Q在AB上，

∴AQ=2t，AP=t，

过Q作QD⊥AC交AC于点D，

∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，

∴BC=3cm，

∴，，

∴QD=，

S△APQ=×AP×QD=×t×=，

②当＜t≤4时，点Q在BC上，如图，

S△APQ=S△ABC-S△CPQ-S△ABQ=×3×4-×（4-t）×（8-2t）-×4×（2t-5）=-t2+4t=-（t-2）2，

根据解析式可知图象是D．

故选：D．【点睛】本题考查三角形的动点问题，B点是Q点运动的分界点，将运动过程分两种情况进行讨论是解题的关键．二、填空题11.计算：_______．【答案】【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，负指数幂，二次根式直接计算即可．【详解】解：，故答案为：-1．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，负指数幂，二次根式的计算方法，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．12.分解因式：__________．【答案】【解析】【分析】先提取公因数2，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解的问题，掌握完全平方公式是解题的关键．13.如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点，当时的取值范围是______．【答案】或【解析】【分析】先将代入，求出m，由可知，即一次函数的图象位于反比例函数的图象上方，通过图象即可写出结果．【详解】解：先将代入，，即m=2，∴，∵，∴，即一次函数的图象位于反比例函数的图象上方，观察图象可知，或，故答案为：或．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，观察图象是解题关键，注意一次函数图象在上方的区域是本题答案．14.如图，大正方形中，，小正方形中，，在小正方形绕点旋转的过程中，当时，线段的长为________．【答案】或【解析】【分析】分两种情况讨论，通过证△AFC∽△AEB，利用对应边成比例和勾股定理即可算出BE的长．【详解】解：①当旋转到如下图所示时，连接AF、AC，AC交EF于点M，由正方形和正方形可知，，，∠BAC=∠EAF=45°，即，∵∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°，∠EAF=∠CAF+∠EAC=45°，∴∠BAE=∠CAF，∴△AFC∽△AEB，∴，若，则C、F、G三点共线，∵正方形和正方形，，，∴，，在直角三角形ACG中，，∴，将代入，得；②当旋转到如下图所示时，若，则C、F、G三点共线，由①可知，，∠BAC=∠EAF=45°，∴∠EAB=∠FAC=45°，∴△AFC∽△AEB，∴，在直角三角形ACG中，，，将代入，得．故答案为：或．【点睛】本题考查了相似三角形，勾股定理，正方形的性质，正确找出相似三角形是解题的关键．三、解答题15.解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．【答案】，数轴见解析．【解析】【分析】利用去分母，去括号，移项合并同类项，将x系数化为1，分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可求出原不等式组的解集，将解集表示在数轴上即可．【详解】解：由，得，，由，的，，，∴不等式组解集为；在数轴上表示如下图，．【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x大于较小的数、小于较大的数，那么解集为x介于两数之间．注意数形结合思想的应用．16.在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是．绕原点逆时针旋转，得到向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到．（1）画出和．（2）是的边上一点，经旋转平移后得到的对应点为，请直接写出的坐标．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【分析】（1）直接利用旋转的性质结合平移的性质分别得出符合题意的图形；

（2）△ABC绕原点逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，则对应点横坐标变为原纵坐标的相反数，纵坐标变为原来的横坐标，再利用平移的性质得出对应点位置．【详解】解：（1）如图所示：△A1B1Cl和△A2B2C2，即为所求；（2）旋转后P的坐标变为（-b，a），又∵向右平移6个单位，再向上平移2个单位，∴．【点睛】此题主要考查了旋转变换以及平移变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．17.《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？【答案】木长6.5尺【解析】【分析】设绳子长x尺，长木长y尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论.【详解】解：设绳子长x尺，长木长y尺，依题意，得：，解得：，所以木长6.5尺.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.18.观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：（1）认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式．①1=1②1+2==3③1+2+3==6④…（2）结合（1）观察下列点阵图，并在⑤后面横线上写出相应的等式．1=12②1+3=22③3+6=32④6+10=42⑤…（3）通过猜想，写出（2）中与第n个点阵相对应的等式．【答案】（1）10；（2）见解析；（3）【解析】试题分析：（1）根据①②③观察会发现第四个式子的等号的左边是1+2+3+4，右边分子上是（1+4）×4，从而得到规律；（2）通过观察发现左边是10+15，右边是25即5的平方；（3）过对一些特殊式子进行整理、变形、观察、比较，归纳出一般规律．试题解析：（1）根据题中所给出的规律可知：1+2+3+4＝＝10；（2）由图示可知点的总数是5×5=25，所以10+15=52．（3）由（1）（2）可知点睛：主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．19.2019年4月18日，台湾省花莲善线发生里氏级地震，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点相距6米，探测线与地面的夹角分别为和，如图所示，试确定生命所在点的深度(结果精确到米，参考数据)【答案】生命所在点的深度约为5.2m．【解析】【分析】过点C作CD⊥AB交AB于点D，则∠CAD=30°，∠CBD=60°，在Rt△BDC中，CD=BD，在Rt△ADC中，AD=CD，然后根据AB=AD-BD=6，即可得到CD的方程，解方程即可．【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB交AB于点D，

∵探测线与地面的夹角为30°和60°，

∴∠CAD=30°，∠CBD=60°，

在Rt△BDC中，tan60°＝，

∴BD＝，

在Rt△ADC中，tan30°＝，

∴AD＝，

∵AB=AD-BD=6，

∴，

∴CD=≈5.2（米）．

所以生命所在点C的深度大约为5.2米．【点睛】本题考查了解直角三角形应用，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．20.如图，为上一点，点在直径的延长线上，．（1）求证：是的切线；（2）若，求半径．【答案】（1）证明见解析；（2）是半径是1．【解析】【分析】（1）连接，若证是的切线，则需要得到，通过直角所对的圆周角是直角，可知∠ADB=90°，通过半径相等得到角相等，再由可证得，即可得证；（2）通过条件可得到∠C=30°，从而找到OD与OC的倍数关系，再通过BC=3即可求得圆的半径．【详解】证明：（1）如图，连接，是直径是的切线（2）又，是半径是1【点睛】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．21.某数学老师为了了解学生在数学学习中常见错误的纠正情况，收集整理了学生在作业和考试中的常见错误，编制了10道选择题，每题3分，对他所教的初三(1)班、(2)班进行了检测，如图表示从两班各随机抽取的10名学生的得分情况．（1）利用图中提供的信息，补全下表：班级平均数/分中位数/分众数/分方差/分初三（1）班2424________5.4初三（2）班24_________21________（2）哪个班的学生纠错的得分更稳定?若把24分以上(含24分)记为“优秀”，两班各40名学生，请估计两班各有多少名学生成绩优秀；（3）现从两个班抽取了数学成绩最好的甲、乙、丙、丁四位同学，并随机分成两组进行数学竞赛，求恰好选中甲、乙一组的概率．【答案】（1）24，24，；（2）初三（1）班纠错的得分更稳定；两班各有28、24人成绩优秀；（3）．【解析】【分析】（1）根据方差、中位数和众数的定义进行解答即可；

（2）根据方差判断稳定性，找到样本中24分和24分以上人数所占的比值，用样本平均数估计总体平均数；

（3）通过画树状图或列表即可求出概率．【详解】解：（1）初三（1）班有4名学生24分，最多，故众数为24，把初三（2）班的成绩从小到大排列，则处于中间位置的数为24和24，故中位数为24分，初三（2）班成绩的方差为；将数据填入表中为班级平均数/分中位数/分众数/分方差/分初三（1）班2424245.4初三（2）班24242119.8（2）∵5.4＜19.8，初三（1）班成绩的方差小，∴初三（1）班纠错的得分更稳定；初三（1）班成绩优秀人数为（人），初三（2）班成绩优秀人数为（人）；（3）根据题意画树状图如下：

∵共有12种等可能的结果，甲、乙分在同一组的有2种情况，

∴甲、乙分在同一组的概率为．【点睛】本题考查了方差、算术平均数、众数和中位数，以及列表法或树状图求概率，熟悉各统计量的意义及计算方法是解题的关键．22.某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用）（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；（2）求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？【答案】（1）y=x2，z=﹣x+30；（2）W=﹣x2+30x，年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；（3）今年最多可获得1080万元的毛利润.【解析】【分析】（1）结合图象，利用待定系数法求出y与x以及z与x之间的函数关系式即可；（2）根据毛利润=销售额﹣生产费用可得w与x之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可；（3）令y=0，解方程求得x的值，根据图象结合y的取值范围，求得x的取值范围，再由二次函数的性质即可解答.【详解】（1）图①可得函数经过点（100，1000），设抛物线的解析式为y=ax2（a≠0），将点（100，1000）代入得：1000=10000a，解得：a=，故y与x之间的关系式为y=x2．图②可得：函数经过点（0，30）、（100，20），设z=kx+b，则解得：故z与x之间的关系式为z=﹣x+30；（2）W=zx﹣y=﹣x2+30x﹣x2=﹣x2+30x=﹣（x2﹣150x）=﹣（x﹣75）2+1125，∵﹣＜0，∴当x=75时，W有最大值1125，∴年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；（3）令y=360，得x2=360，解得：x=±60（负值舍去），由图象可知，当0＜y≤360时，0＜x≤60，由W=﹣（x﹣75）2+1125的性质可知，当0＜x≤60时，W随x增大而增大，故当x=60时，W有最大值1080，答：今年最多可获得毛利润1080万元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意构造二次函数模型，利用二次函数的性质解决问题是解此类题目的基本思路.23.（1）问题发现：如图1，在和中，，连接交于点．求证：；并直接写出______．（2）类比探究：如图2，在和中，，连接交的延长线于点．请判断的值及的度数．（3）拓展延伸：在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，所在直线交于点．若，请直接写出当点与点重合时的长．【答案】（1）证明见解析；；（2）；；（3）或．【解析】【分析】（1）证明△COA≌△DOB（SAS），得AC＝BD，；由△COA≌△DOB，得∠CAO＝∠DBO，根据三角形的内角和定理得：∠AMB＝180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）＝40°；（2）根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则，由全等三角形的性质得∠AMB