2023年江苏省南通市重点中学高考数学段考试卷（四）及答案解析

2023年江苏省南通市重点中学高考数学段考试卷（四）

一、单选题（本大题共7小题，共35.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合4={-1,0,1},B=04}，则集合B中所有元素之和为（）

A.0B.1C.—1D.yf2

2.若复数z满足（1一i）z=[1+”,则z的虚部是（）

A.iB.1C.—iD.在

22

3.设非零向量沆，记满足I沅1=2,I元1=3,I沅+元1=3/，则沆在元方向上的投影向量为

（）

A.-^nB.-^nC.D.1m

lolooo

4.如图，一个棱长i分米的正方体形封闭容器中盛有v升的水，

若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则u的取值范围

是（）

A.

B.冷|）

C.七|）

D.（第）

5.已知p：x+y>0,q：ln（Vx2+1+x）-ln（7y2+1-y）>0>贝Up是9的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.将一个顶角为120。的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上

顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重

复这一操作.如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花"状的Koc九曲

线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为1,则经过4次操作之后所得图形的面积是（）

无座次梗件石

A至R—C—D—

81812727

7.双曲线C：/-y2=4的左，右焦点分别为0,F2,过尸2作垂直于%轴的直线交双曲线于4，

B两点，△力居F2，△BF/2,AFiAB的内切圆圆心分别为。1，02,03,则△。1。2。3的面积是

()

A.6V2—8B.6>/2—4C.8—4A/2D.6—4V2

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

8.李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公

交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；

自行车平均用时34分钟，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时丫都服从正态分布,

则()

A.P(X>32)>P(Y>32)

B.P(X<36)=P(y<36)

C.李明计划7：34前到校，应选择坐公交车

D.李明计划7：40前到校，应选择骑自行车

9.已知｛an｝是等比数列，公比为q,若存在无穷多个不同的n,满足与+2±而三%+1，则下

列选项之中，可能成立的有()

A.g>0B.<?<0C.|q|>1D.|q|<1

10.如图的六面体中，C4=CB=CD1,AB=BD=AD=AE=

BE=DE=V2.则（）

A.CD1平面ABC

B.AC与BE所成角的大小为百

C.CE=y13

D.该六面体外接球的表面积为3兀

11.已知函数/'(X)=eSinxcosx,其中e是自然对数的底数，下列说法中，正确的是()

A./⑶在(0,方是增函数

B./(#+》是奇函数

C.f(x)在(0,兀)上有两个极值点

D.设g(x)=竽，则满足g(>)>g(竽兀)的正整数n的最小值是2

三、填空题(本大题共3小题，共15.0分)

12.定义在R上的函数f(x),g(x),满足f(2x+3)为偶函数,g(x+5)-1为奇函数，若/(I)+

5(1)=3,则/(5)-g(9)=_.

13.某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列力={%,。2，。3,…}重新

编辑，编辑新序列为4*=***,“•},它的第n项为誓若序列(4*)*的所有项都是2,且

=1，=32,贝期=

14.如图是数学家Germina/Dandelin用来证明一个平面截

圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不

同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图

中球01，球。2的半径分别为4和2,球心距离|。1。2|=2/访，

截面分别与球。1，球。2相切于点E,F(E,F是截口椭圆的焦

点)，则此椭圆的离心率等于—.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

15.(本小题10.0分)

在△ABC中，。是上的点，2D平分NBAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.

⑴求普

(2)若4D=1,OC=苧，求△ABC的面积.

16.(本小题12.0分)

数列｛即｝满足：%+2a2+—Fnan=4—nGN*.

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)求数列但即｝的前n项和治.

17.(本小题12.0分)

如图，四棱锥P-ABCZ)中，底面力BCD为矩形，PA1平面ABC。，E为PD的中点.

(I)证明：PB〃平面AEC；

(II)设二面角0-4E-C为60。，AP=1,AD=V3,求三棱锥E-4C。的体积.

18.(本小题12.0分)

甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队

获胜的概率是别，其余每局比赛甲队获胜的概率是|.假设各局比赛结果互相独立.

(1)分别求甲队以3：0,3：1,3：2胜利的概率；

(2)若比赛结果为3：0或3：1,则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2,则胜利方

得2分、对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望.

19.(本小题12.0分)

在平面直角坐标系xOy中，过点P(0,l)且互相垂直的两条直线分别与椭圆厂3+1=1交于

点4B,与圆M：(尤一2)2+3-1)2=1交于点C,D.

(1)若CZ)=VL求4B的斜率；

(2)记CD中点为E,求△力BE面积的取值范围.

20.(本小题12.0分)

设定义在R上的函数/(%)=ex-ax(aER).

(1)若存在%o6[1,4-co),使得/(软)<e-a成立，求实数a的取值范围;

(2)定义：如果实数s,t,r满足|s—川W|t—r|,那么称s比t更接近兀对于(1)中的a及％之1,

问：(和e'T+a哪个更接近"x?并说明理由.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：根据条件分别令加2-1=一1,0,1,解得血=0,±1,±&,

又m-1C4所以m=-1,±&,B={-1,V2,—\/2},

所以集合B中所有元素之和是-1,

故选：C.

根据题意列式求得m的值，即可得出答案.

本题主要考查了元素与集合关系的应用，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：因为(l-i)z=|l+i|,

所以2=四1=皿1=包+包3

1-i222

故Z的虚部是争

故选：D.

根据复数的除法运算求得复数z,即可确定答案.

本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：|沅|=2,\n\=3,

•••|in+n|=y/(m+n)2=Vfn2+2m-n+n2=V4+2rn•n+9=3鱼，

13+2m-n=18,解得沆.记=|,

•・・布在五方向上的投影向量为(萼)元=(京)元汇

故选：B.

根据向量模的性质由已知可求得沅•云，则按照沆在元方向上的投影向量的定义求解即可.

本题考查向量数量积的性质，投影向量的定义，属中档题.

4.【答案】A

【解析】解：如图，正方体ABCD-EFGH,若要使液面形状不可能为三角形,

则平面EHD平行于水平面放置时，液面必须高于平面EHD,且低于平面力FC,

若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可能为三角形，

设液面的体积为忆而%-EHD<V<V正方体—^B-AFC>

而%-EHD=3X2X^2X^=6,

,15

V正方体—VB_AFC=\-6=6)

所以U的取值范围是q,|).

故选：A.

如图，正方体ABC。-EFGH,若要使液面形状不可能为三角形,则平面EHD平行于水平面放置时，

液面必须高于平面EHD,且低于平面AFC,计算即可.

本题考查正方体截面的性质，考查空间想象能力，属中档题.

5.【答案】C

【解析】解：令f(%)=In(，令+1+%),%€R,f(0)=0,

且/(%)+f(-％)=ln(Vx24-1+x)+ln(Vx24-1—%)=Ini=0,

故f(x)=ln(Vx2+i+%)为奇函数,x>0时，心“+i+%递增,则/(x)=ln(V%2+1+%)也递

增，

又/(%)为奇函数，则/(%)在R上递增，p=q,若％+y>0,则x>-y,

则/(%)>f(一丫)，即In"/+i+x)>ln(7y2+1—y)

即ln(，%2+i+%)—ln(7y2+1-y)>0：p<=q，若ln(V^TT+%)—ln(7y2+1-y)>0，

则等价于ln(Vx2+i4.x)>ln(7y24-1一y)，即/(%)>/(-y)，

由f(%)在R上递增，则工,-y,即％+y>0,

故p是q的充要条件，

故选：C.

令f(x)=ln(4E+x),xeR，结合该函数的奇偶性，单调性判断不等式是否成立.

本题主要考查了对数函数的性质，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：根据题意可知，每次挖去的三角形面积是被挖三角形面积的5

所以每一次操作之后所得图形的面积是上一次三角形面积的|,

由此可得，第n次操作之后所得图形的面积是%=lx(|)«,

即经过4次操作之后所得图形的面积是S4=

O1

故选：A.

根据题意可知，每一次操作之后面积是上一次面积的|,按照等比数列即可求得结果.

本题考查等比数列的通项公式，归纳推理，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：由题意如图所示：由双曲线C：产-y2=

4,知=4,

所以c?=a2+b2=8,

所以尸2(2a,0),\FrF2\=2c=4V2

所以过「2作垂直于x轴的直线为x=2近，

代入C中，解出4(2或,2),B(2企,-2),

由题知△ABF2,△BF/2的内切圆的半径相等，

且|4n|=旧&|,△4&F2，△B&&的内切圆圆心。1，。2的连线垂直于支轴于点P，

设为r,在AA&F?中，由等面积法得：IcMFil+\AF2\+IFi^l).r=||^^2|■\AF2\,

由双曲线的定义可知：\AF1\-\AF2\=2a=4,

由NF2I=2,所以|力&|=6,

所以女6+2+4V2).r=1x4V2x2,

解得：「=衿=次警卫=2或一2,

因为尸1尸2为46AB的NA&B的角平分线，

所以。3一定在招尸2上，即X轴上，令圆。3半径为R，

在AZFiB中，由等面积法得：|(|4^|+\BFr\+\AB\)-R=^\FrF2\■\AB\,

又|4FJ=|BFJ=J|F1F2|2+|4&|2=J(4&)2+22=6-

所以2X(6+6+4)•R=；x4ex4,

所以R=V2，

所以IPF2I=r=2V2-2>\03P\=Q3F2I-\PF2\=R-r=y/2-(272-2)=2—或，

所以SAOQC=：|。1。21103PI=gx2rx|。3Pl=rx|。3Pl=(2或一2)x(2-鱼)=6&-8，

故选:A.

由题意画出图，由已知求出c的值，找出4B的坐标，由△4居尸2，4Bg，△片4B的内切圆圆

心分别为01，02,。3,进行分析，由等面积法求出内切圆的半径，从而求出△。］。2。3的底和高,

利用三角形的面积公式计算即可.

本题主要考查了双曲线性质，定义的综合应用，考查了一定的运算能力，属于中档题.

8.【答案】BCD

【解析】解：4由条件可知X〜N(30,62),丫〜N(34,22),根据对称性可知P(Y>32)>0.5>P(X>

32),故A错误；

B.P(X<36)=P(XW4+a),P(Y<36)=P(Y<n+a),所以P(X<36)=P(Y<36),故B

正确；

C.P(X<34)>0.5=P(Y<34),所以P(X<34)>P(Y<34),故C正确；

D.P(X<40)<P(X<42)=P(X<〃+2。)，P(Y<40)=P(Y<^+3(T),所以P(X<40)<

<40),故。正确.

故选：BCD.

首先利用正态分布，确定〃和a,再结合正态分布的对称性，和3。的原则，即可求解.

本题主要考查正态分布曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题.

9.【答案】ABC

【解析】解:当q>0时,

①当q=1,则｛an｝为非零常数列，故即+2=册=Qn+i，q=l符合题意，故A正确；

②当qHl,则｛即｝为单调数列，故Qn+24即工即+1恒不成立，即q>0旦qH1时不合题意；

当q<。时，由等比数列的性质可得M即+i=Q纭2n-1<0,

①当q=-1,若%>0,九为偶数时，则an+2=。九V0VQn+i，

若％<0,n为奇数时，则册+2=an<0<an+1,

故q=-l符合题意，故3正确；

2

②当q<一1，若>0,九为偶数时，则%1+2,即<0,Qn+1>0,且@n+2一@n=an(Q-1)<0,

即％i+2<QnVQn+1，

a2

若<0,几为奇数时，贝lJan+2,anV°，n+l>°，且Qn+2-。n=«n(q-1)<0,即Qn+2VQnV

an+lf

故qV-l符合题意，故。正确；

③当一1Vq<0，an+2<an<an+1,

-1<q<0,则q2_i<o,1-q>0,可得［即+2-即=即夕？—0,则0,这与等

Wn+1-an=an(q-1)>0

比数列相矛盾，

-1<q<0和0<q<1均不合题意，故。错误.

故选：ABC.

分类讨论，结合等比数列的通项和性质分析判断.

本题主要考查了等比数列的性质，考查了逻辑推理的核心素养，属于中档题.

10.【答案】ACD

【解析】解：CA=CB=CD=1,BD=AD=A/2，

CA2+CD2=AD2,CB2+CD2=BD2,

即CC_LCA,CD1CB,又C4nCB=C,

・•.CO_L平面ABC,故A正确；

以点C为坐标原点，分别以后?，CB,而为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图

所示：

­.1C4=CB=CO=1,.•.四面体C-4B。是正三棱锥,

VAB=BD=AD=AE=BE=DE=/，；•四面体E-ABD是正四面体,

在正三棱锥C-4B。中过点C作底面的垂线，垂足为正三角形48。的中心,

同理，在正四面体E-ABD中，过顶点E作底面的垂线，垂足为正三角形48。的中心,

••.C、G、E三点共线,

C(0,0,0),D(0,0,l),B(0,l,0),4(1,0,0),且G是正三角形4BD的中心,

111

设E(t,t,t),(t>1),

••・在正四面体E-48。中，放=竽，在正三棱锥C-4BC中，CG=R

V3t=V3>解得t=1,

BE=(1,0,1)，又刀=(1,0,0)，

••小区隔=磊要

故4c与BE所成角的大小为去故8错误;

显然，该六面体外接球的球心位于线段CE的中点,

...CE=四，•••六面体外接球的半径R=苧

.••该六面体外接球的表面积为4TTR2=3兀，故。正确.

故选：ACD.

利用线面垂直的判定定理、空间向量以及球的表面积公式进行计算求解.

本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理，考查了利用空间向量求异面直线所成的角，以及多

面体的外接球问题，属于中档题.

11.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题考查的知识要点：函数的求导问题，函数的导数和单调性的关系，函数的导数和极值点的关

系，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于难题.

①xe(O,》f'(x)=cosx-esinx+sinx-ecosx>0>从而确定A的结论；

②设九(x)="尤+》，直接利用函数九(乃和函数h(—x)的关系确定B的结论；

③分段讨论，时，f(x)>0；xe^,为时，存在r(x)=0；xe岑㈤时，［(x)<0,

从而确定C的结论；

④当n=l时，n=2时，比较出函数值的大小，从而确定。的结论.

【解答】

解：对于函数f(x)=esinx-ecosx,其中e是自然对数的底数，

所以/'(%)=cosx-esinx+sinx-ecosx,

对于4：由于%€(0,1)时，，cosx>0,sinx>0,所以/'(%)>0,所以函数/(%)为增函数，故A正

确；

对于B：设九(%)=/(%+5=esin(x+^-ecos(x^\

所以虫一盼=eSin(T+1)_ecos(-z+2)_ecos(-x+2_2)_ecos(x-Z)_ecos(x+5)_gsin(x+^)__九(力所

以/(X+9是奇函数，故2正确；

sinxcosx

对于C：由/'(%)=cosx-e+sinx-e9

在％6(01)时，cosx>0,sinx>0,

所以((x)>0,函数f(%)为增函数,

所以函数在(05)上无极值点,

由x=1时，f'(x)=1*0,

下面考虑工€上，设p(x)=((久)，

由p'(x)=esinx(cos2x—sinx)+eCQSX(cosx-sin2%),

当》6G，羊)时，cos2%—sinx=1-sin2x-sinx<0,cosx-sin2%=cosx-1cos2x<0,

所以P'Q)VO,函数/•'(%)为单调递减函数，

由/%)=1>0，1第=苧e-孝-e孝)<0,

故明显存在/'(X)=0；

rsinxcosx

在％E岑,兀)上，f(x)=cosx-e4-sinx•e9

由|sinx|<|cosxI，而cosx<0,sinx>0,

所以sinx<—cosx,所以sin%+cosx<0,

sinxcosx

而estnx>ecosxf则|cosx|•e>\sinx\•e,

叩cosx•esinx+sinx-ecosx<0,

所以/'(%)不存在零点，

故/'(%)在(0,几)只有一个零点，即函数/(%)只有一个极值点.故。错误;

对于。：设或为=竽=若丝，

sin?cos?

当n=1时，g(；)=--萨一=0.

所以9(%=弱)='_Z=^(e-1)>明显gg)>g(竿)不成立,

当n=2时，9''I，八r1I,

I27

澧)亘一=^4(eVT2~e~V2>

4

由g(爷x1.0939,g第«0.6515,

所以g(%>g岑),

所以正整数n的最小值为2,故。正确.

故选：ABD.

12.【答案】1

【解析】解：由于f(2x+3)为偶函数,则f(2x+3)=/(—2x+3),令x=l,则/(5)=f(l),

由于g(x+5)-1为奇函数，则g(尤+5)-1+g(-x+5)-1=0,即g(x+5)+g(-x+5)=2,

令x=4,则g(9)+g(l)=2,

于是f(1)+9(1)-9(9)]=9(9)+9(1)=2,由于-1)+g(l)=3,则〃5)-g(9)=1.

故答案为：1.

由奇偶函数的定义，可得f(x),g(x)满足的关系，赋值计算即可.

本题考查抽象函数赋值计算，以及奇偶函数的性质，属于基础题.

13.【答案】之

【解析】解：A*的第n+1项为产，故"+等1=第&=2,即&=@±1,

aaan

n+ln+ln«n+lan+2

因为。4=1，Q5=32'所以03=也=总=三,Q==4，Q=也=击.

°a532164a41281Q3512

故答案为：

根据题意得到斯=细以，进而依次求解出％.

an+2

本题主要考查了数列的递推式，是基础题.

14.【答案】|

【解析】解：设。1。2。七尸=。,

(|PO2I=\FO2\=1

由IDO1I-但。11-2,

.\DO2\+\D0r\=2V10

所以2c=g+|=2,c=1»

设直线EF与圆锥的母线相交于点4圆锥的母线与球相切于B,

C两点，如图所示,

则网=网,\AC\=\AF\,

两式相加得|4B|+14cl=\AE\+\AF\=a-c+a+c=2a,即|BC|=2a,

过。2作O2GI3B,垂直为G,

则四边形BGO2c为矩形，所以2a=|BC|=J(2V10)2-22=6-a=3,

所以椭圆的离心率为£=4.

a3

故答案为：

根据已知条件求得a,c,从而求得椭圆的离心率.

求解椭圆离心率的问题，思考方向有两个，一个求得a,c,从而求得椭圆的离心率亲一个是求得

关于a,c的关系式，可以是一次式，也可以是二次式，但必须是齐次式，由此化简求得椭圆的离

心率.

15.【答案】解：(1)因为S-BO=SAADC=\AC-ADsin/.CAD,

且SAAB。=2sA，Z-BAD—/-CAD»所以4B=2/1C,

在△力BC中，由正弦定理可得当=*=4

sinCAB2

(2)因为S—BD：S&ADC=BD：DC,所以BD=V2,

在448。和42。。中，

222

由余弦定理得4夕2=AD2+BD2_2AD-BDcos乙ADB,AC=AD+DC-2AD-DCcos乙ADC,

所以AB?+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6,

由(1)知4B=2AC,所以4c=1,

则A/ICO为等腰三角形，所以CD边上的高九=Ji一(,)2=手,

所以q,13V2V14_3V7

用以-2X~X~-I-,

【解析】(1)利用三角形面积之间的关系结合正弦定理可得鬻=

(2)因为乙ADB+乙4DC=兀，分别在△ABD和△ACD中使用余弦定理，结合⑴中的AB=2AC,可

解得AC=1,进而计算出A4BC的面积.

本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中

档题.

16.【答案】解：(1)当n=l时，%=4一举=1；

71+2

当71>2时，由%+2a2+…+nan=4-歹二r，

所以由+2a2+…+(n-l)an_x=4-导手，

两式相减得na”=会当一会音•=/■，此时。“二/寸.

经检验知心=1也满足.

则册=

(2)令b=nan=帚■,所以5-1+|+宗+…+薪，，

故拉=；+最+摄+…+热

相减得：Sn=1+百+最+•••+一£=；_『一宾=2一等’

所以Sn=4-关

【解析】(1)令n=1可得的=1,当7122时，向前递推一项两式作差可得an=，再验证的=1

符合上式即可；

(2)数列｛na“｝为等差与等比逐项相乘结构，利用错位相减法求和，详见解答.

本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题.

17.【答案】解：(I)证明：如图，连接80交4c于。点，连接E。,

•••四边形4BC0为矩形

二。为BD中点，E为PD中点,

E0//PB,

又•••EOu平面AEC,PBC平面AEC,

PB〃平面4EC：

(II)如图，延长4E至M连接DM,使得力M1DM,

:四棱锥P-48C0中，底面4BC0为矩形，P4_L平面ABC。，COu平面4BC0,

•••CDVPA,CD1/1Z),ADCtPA=A,AD,P4u平面PAD,

•••CD1平面AMD,

又4Mu平面AM。，DMu平面/MD,

•••CD1AM,

又AMIM。，MDCCD=D,MD、C。u平面MCO,

.-.AM1平面CMD,

又CMu平面CMD,

AM1CM,

•••二面角0-4E-C为60。，

/.CMD=60°,

vAP=1,AD=V3-

PD=2,

/.PDA=30°,

••・E为PD的中点，

/.EAD=30°,

•••CD_L平面AMD,DMu平面AMD,

CDDM,

CD=yxtan60°=|-

三棱锥E-4co的体积为：|xpD-CD-^PA

=31X1-xV/X33x-x1-x.l=V-3.

【解析】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角的应用，考查逻辑思维

能力，属于中档题.

(I)连接BD交AC于。点，连接E0,只要证明E0〃PB,即可证明PB〃平面4EC；

(II)延长4E至M连接DM,使得AM_LCM,说明/CMC=60。，是二面角的平面角，求出CD,即

可得三棱锥E-ACD的体积.

18.【答案】解：(1)记“甲队以3：0胜利”为事件“甲队以3：1胜利”为事件4，“甲队以

3：2胜利”为事件&，

由题意知，各局比赛结果相互独立，

故P(A)=(|)3=捺，P(&)=扇|)2X《)X|=捺，P(&)=扇|)2X(|)2XH捺.

所以甲队以3：0胜利、以3：1胜利的概率都为捺，以3：2胜利的概率为5

(2)设“乙队以3：2胜利”为事件4，由题意知，各局比赛结果相互独立，

所以P(4)=Cl(l-1)2X(|)2x(1-3=5

由题意知，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3,根据事件的互斥性得

【解析】(1)记“甲队以3：0胜利”为事件“甲队以3：1胜利”为事件4，“甲队以3：2胜

利”为事件4，由题意知，各局比赛结果相互独立，利用n次独立重复试验中事件4恰好发生k次

的概率计算公式能求出甲队以3：0,3：1,3：2胜利的概率.

(2)设“乙队以3：2胜利”为事件4，由题意知，各局比赛结果相互独立，P(4)=盘由题意知，

随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3,分别求出相应的概率，由此能出乙队得分X的分布列

及数学期望.

本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查n次独立重复试验中

事件4恰好发生k次的概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理论证能力、

运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题.

19.【答案】解：(1)根据题意可知直线CD的斜率存在，

.,.设CD直线为：y=ax+1,又CD=V2,半径r=1知,

=毋，解得a2=；,又4B与C。垂直，

Vl+a227

AB的斜率为±V7;

(2)①当直线4B的斜率不存在时，直线4B：久=0,

与[+1=1联立可得，/l(0,V2),S(0,-V2).：.AB=2\[2,

此时CD：y=1,二E与M(2,l)重合，由P(0,l),可得PE=2,且AB1PE,

•••S^ABE=；x2V2x2=2V2；

②当直线4B的斜率存在，设4B：y=kx+1,做功为)，⑶④①)，

>』+

,-

^

-+可得(2/f2+l)x2+4fcx-2=0,

y2_-

42

・•・A=16k2+8(2/+1)>0恒成立,

3=病，

.』+犯=酒？

222

:.AB=V1+k\x1-x2\=V1+k-Jq；*)2+zj+i=2A/2•V1+fc•

又4BJ.CD,ME1CD,:.AB“ME,

12kl

</

•••ShABE=S^ABM,又M(2,l)到AB：、=/£X+1的距离为

1+卢

lJ2kL=2世*,

SA4BM=xx2V2xVTTFx空

z

1+fc22k+l

令2k2+1=t21,...好=/1一1),

"S-8M=2产方1=2值_：+2=2坦-1)2_$

由y=一久+1与圆”相交，可得<1,k2>3,■1-t>7,

Ji+中

二o<；<；，］SA48Me(^y^,2V2).

【解析】(1)由圆的弦长CO=&，结合勾股定理，得出圆心到直线的距离，根据点线距公式列方

程，解出直线C。的斜率，进而得出4B的斜率；

(2)当直线AB的斜率不存在时，可得△ABE面积的值；当直线48的斜率