第03讲 正方形的性质与判定（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）

第3讲正方形的性质与判定1.理解正方形的概念；2.探索并证明正方形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算；3.通过经历正方形的性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验和体验，进一步培养和发展学生的合情推理能力；4.通过正方形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力．知识点1：正方形的概念与性质正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）知识点2：正方形的判定※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：【题型1：正方形的概念和性质】【典例1】（2021秋•萧县期末）矩形，菱形，正方形不同时具有的性质是（）A．对边平行且相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．每条对角线平分一组对角【答案】D【解答】解：矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四边形，它们同时具有平行四边形的一切性质，而备选答案A、B、C具有平行四边形的性质，所以只有备选答案D符合题意．故选：D．【变式1-1】（2022春•双台子区期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分且相等【答案】B【解答】解：A、对角线相等，菱形不具有此性质，故本选项不符合题意；B、对角线互相平分是平行四边形具有的性质，正方形、菱形、矩形都具有此性质，故本选项符合题意；C、对角线互相垂直,矩形不具有此性质，故本选项不符合题意；D、对角线互相平分且相等,菱形不具有对角线相等的性质，故本选项不符合题意；故选：B．【变式1-2】（2020秋•罗湖区校级期末）下列说法正确的是（）A．矩形的对角线相等垂直 B．菱形的对角线相等 C．正方形的对角线相等 D．菱形的四个角都是直角【答案】C【解答】解：A、矩形的对角线相等且平分，选项错误，不符合题意；B、菱形的对角线垂直且平分，选项错误，不符合题意；C、正方形的对角线相等，选项正确，符合题意；D、矩形的四个角都是直角，而菱形的四个角不是直角，选项错误，不符合题意；故选：C【典例2】（2022春•溆浦县期中）一个正方形的面积为8m²，则它的对角线长为（）A．2cm B．2cm C．4cm D．3cm【答案】C【解答】解：∵正方形的面积为8cm2，∴正方形的边长为＝2（cm），∴正方形的对角线长为2×＝4（cm），故选：C．【变式2-1】（2022秋•临淄区期末）如图，小明用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，他先把活动学具做成图1所示的菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝1cm，接着把活动学具做成图2所示的正方形，则图2中对角线AC的长为（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】A【解答】解：如图1，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝1cm，如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝1cm，∠B＝90°，∴AC＝＝（cm）．故选：A．【变式2-2】（2022春•涿州市期末）如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，2），则点D的坐标为（）A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（2，﹣2）【答案】B【解答】解：如图所示：∵以正方形ABCD的中心O为原点建立坐标系，点A的坐标为（2，2），∴点B、C、D的坐标分别为：（2，﹣2），（﹣2，﹣2），（﹣2，2）．故选：B．【变式2-3】（2022春•乌拉特前旗期末）如图，四边形ABCD是边长为10的正方形，点E在正方形内，且AE⊥BE，又BE＝8，则阴影部分的面积是（）A．76 B．24 C．48 D．88【答案】A【解答】解：在Rt△ABE中，∵∠AEB＝90°，AB＝10，BE＝8，∴AE＝＝＝6，∴S阴＝S正方形ABCD﹣S△ABE＝100﹣×8×6＝76．故选：A．【题型2：正方形的判定】【典例3】（2022秋•莱西市期末）下列说法错误的是（）A．对角线相等的菱形是正方形 B．对角线垂互相平分且垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线垂直且相等的四边形是正方形【答案】D【解答】解：A、对角线相等的菱形是正方形，不符合题意；B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意；D、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，符合题意；故选：D．【变式3-1】（2022秋•金水区校级期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的有（）①当AB＝DC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AB＝DC时，不能判断它是菱形（对边相等是平行四边形的性质），故①错误，当AC⊥BD时，它是菱形，故②正确，当∠ABC＝90°时，它是矩形，故③正确，当AC＝BD时，它是矩形，故④错误，故选：B．【变式3-2】（2022秋•济阳区期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（）A．BD＝AC B．DC＝AD C．∠AOB＝60° D．OD＝CD【答案】B【解答】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．∴添加DC＝AD，能使矩形ABCD成为正方形．故选：B【变式3-3】（2022春•卫辉市期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列结论：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形，你认为正确的是（）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④【答案】A【解答】解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确；∵四边形AEDF是平行四边形，∠BAC＝90°，∴四边形AEDF是矩形，故②正确；∵AD平分∠BAC，四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，故③正确；∵若AD平分∠BAC，则平行四边形AEDF是菱形，∴若∠BAC＝90°，则平行四边形AEDF是正方形，故④正确．故选：A．【典例4】（2021秋•平远县期末）如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（2）当AD，AB满足什么条件时，四边形MENF是正方形．【解答】解：（1）四边形MENF是菱形．理由如下：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，∴NE∥CM，NE＝CM，MF＝CM，∴NE＝FM，NE∥FM，∴四边形MENF是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，∵M为AD中点，∴AM＝DM，∴△ABM≌△DCM（SAS），∴BM＝CM，∵E、F分别是BM、CM的中点，∴ME＝MF，∴平行四边形MENF是菱形．（2）当AD＝2AB时，四边形MENF是正方形．∵四边形MENF是正方形，则∠EMF＝90°，又∵△ABM≌△DCM，∴∠AMB＝∠DMC＝45°，∴△ABM、△DCM为等腰直角三角形，∴AM＝DM＝AB，∴AD＝2AB，∴当AD＝2AB时，四边形MENF是正方形．【变式4-1】（2022秋•郓城县期中）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G．求证：矩形ABCD为正方形．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠B＝90°，∵DE⊥AF，∴∠DAB＝∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠ADE，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AD＝AB，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形．【变式4-2】（2022春•宽城区期末）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．（1）求证：△ABF≌△DAE．（2）求证：四边形ABCD是正方形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠B＝90°，∵DE⊥AF，∴∠DAB＝∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠ADE，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（AAS）；（2）∵△ABF≌△DAE，∴AD＝AB，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形．【变式4-3】（2022秋•二七区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当∠BAC＝°时，四边形ADCE是一个正方形，并说明理由．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，∴∠CAD＝∠BAC．∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠CAE＝∠CAM．∵∠BAC与∠CAM是邻补角，∴∠BAC+∠CAM＝180°，∴∠CAD+∠CAE＝（∠BAC+∠CAM）＝90°．∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°，∴四边形ADCE为矩形；（2）∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形，证明：∵∠BAC＝90°且AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAC＝45°，∠ADC＝90°，∴四边形ADCE为矩形，∴∠ACD＝∠CAD＝45°，∴∠ACD＝∠CAD＝45°，∴AD＝CD．∴四边形ADCE为正方形，故答案为：90【题型3：正方形的性质与判定综合】【典例5】（2022春•临沭县期末）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰为AB中点，请直接写出正方形DEFG的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）4．（3）10．【解答】（1）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠EAB，∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，∴EM＝EN，∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，∴四边形ANEM是矩形，∵EF⊥DE，∴∠MEN＝∠DEF＝90°，∴∠DEM＝∠FEN，∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF，∴ED＝EF，∵四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG是正方形．（2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．（3）解：连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，AB∥CD，∵F是AB中点，∴AF＝FB∴DF＝＝2，∴正方形DEFG的面积为2×××＝10．【变式5-1】（2022春•赣县区校级期末）如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CM＝DN（1）求证：四边形EFMN是正方形；（2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFMN的周长．【答案】（1）证明过程见解答；（2）20．【解答】（1）证明：∵AE＝BF＝CM＝DN，∴AN＝DM＝CF＝BE．∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF（SAS）．∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN．∴四边形EFMN是菱形，∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，∴∠ENA+∠DNM＝90°．∴∠ENM＝90°．∴四边形EFMN是正方形；（2）解：∵AB＝7，AE＝3，∴AN＝BE＝AB﹣AE＝4，∴EN＝＝5，∴正方形EFMN的周长＝4×5＝20．【变式5-2】（2022春•覃塘区期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且AE＝AF，∠CEF＝45°．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）若，BE＝1，求四边形ABCD的面积．【答案】（1）证明过程见解析；（2）17．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵AE＝AF，∴∠AFE＝∠AEF，∵∠CEF＝45°，∠C＝90°，∴∠CFE＝45°，∴∠AFD＝∠AEB，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．（2）解：∵由（1）可知：，又BE＝1，∠B＝90°，∴由勾股定理得，，∵四边形ABCD是正方形，∴．【变式5-3】（2022春•交口县期末）如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH．（1）求证：AK＝AH；（2）求证：四边形AKFH是正方形；（3）若四边形AKFH的面积为10，CE＝1，求点A，E之间的距离．【答案】（1）证明过程见解答；（2）证明过程见解答；（3）5．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和CEFG都是正方形，∴AB＝AD＝DC＝BC，GC＝EC＝FG＝EF，∵DH＝CE＝BK，∴HG＝EK＝BC＝AD＝AB，在△ADH和△ABK中，，∴△ADH≌△ABK（SAS），∴AK＝AH；（2）证明：∵△ADH≌△ABK，∴∠HAD＝∠BAK．∴∠HAK＝90°，同理可得：△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH，∴AH＝AK＝HF＝FK，∴四边形AKFH是正方形；（3）解：∵四边形AKFH的面积为10，∴KF＝，∵EF＝CE＝1，∴KE＝，∴AB＝KE＝3，∵BK＝EF＝1，∴BE＝BK+KE＝4，∴AE＝，故点A，E之间的距离为5．1．（2021•娄底）如图，点E、F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BE＝DF，则四边形AECF是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】A【解答】解：A．∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵BE＝DF，∴EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，故本选项符合题意；B．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴AC≠EF，∴四边形AECF不是矩形，故本选项不符合题意；C．∵四边形ABCD是矩形，∴不能证明AC⊥BD，∴不能证明AC⊥EF，故本选项不符合题意；D．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴AC≠EF，∴四边形AECF不是正方形，故本选项不符合题意；故选：A．2．（2022秋•漳州期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（）A．BD＝AC B．DC＝AD C．∠AOB＝60° D．OD＝CD【答案】B【解答】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．∴添加DC＝AD，能使矩形ABCD成为正方形．故选：B．3．（2022春•东莞市期中）下列给出的条件中，不能判断▱ABCD是正方形的是（）A．AC＝BD，AD＝AB B．AD＝AB，∠A＝90° C．AC＝BD，AC⊥BD D．AC⊥BD，AD＝AB【答案】D【解答】解：A、对角线相等的平行四边形为矩形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以能判断四边形ABCD是正方形；B、根据一个角是直角的平行四边形是矩形，且有一组邻边相等，所以能判断四边形ABCD是正方形；C、对角线相等的平行四边形为矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以能判断四边形ABCD是正方形；D、只能证明四边形ABCD是菱形，不能判断四边形ABCD是正方形．故选：D．4．（2022•什邡市校级二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90° B．当▱ABCD是菱形时，AC⊥BD C．当▱ABCD是正方形时，AC＝BD D．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC【答案】D【解答】解：因为矩形的四个角是直角，故A正确，因为菱形的对角线互相垂直，故B正确，因为正方形的对角线相等，故C正确，菱形的对角线和边长不一定相等，例如：∠ABC＝80°，因为AB＝BC，所以∠BAC＝∠ACB＝50°，此时AC＞AB，故选：D．5．（2022春•河西区期末）如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE，则下列结论不一定正确的是（）A．∠AFP＝∠BPQ B．EF∥QP C．四边形EFPQ是正方形 D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∵AF＝BP＝CQ＝DE，∴DF＝CE＝BQ＝AP，∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS），∴EF＝FP＝PQ＝QE，∠AFP＝∠BPQ，故A选项正确，不符合题意；∵EF＝FP＝PQ＝QE，∴四边形EFPQ是菱形，∴EF∥PQ，故B选项正确，不符合题意；∵△APF≌△BQP，∴∠AFP＝∠BPQ，∵∠AFP+∠APF＝90°，∴∠APF+∠BPQ＝90°，∴∠FPQ＝90°，∴四边形EFPQ是正方形．故C选项正确，不符合题意；∵四边形PQEF的面积＝EF2，四边形ABCD面积＝AB2，若四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半，则EF2＝AB2，即EF＝AB．若EF≠AB，则四边形PQEF的面积不是四边形ABCD面积的一半，故D选项不一定正确，符合题意．故选：D．6．（2021•玉林）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a．两组对边分别相等b．一组对边平行且相等c．一组邻边相等d．一个角是直角顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c则正确的是（）A．仅① B．仅③ C．①② D．②③【答案】C【解答】解：①由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加d即一个角是直角的菱形是正方形，故①正确；②由b得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加d即有一个角是直角的平行四边形是矩形，再添加c即一组邻边相等的矩形是正方形，故②正确；③由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加b得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确；故选：C．7.（2022•邵阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA．求证：四边形AECF是正方形．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AECF是菱形；∵OE＝OA＝OF，∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC，∴菱形AECF是正方形．8.（2022•贵阳）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD．（1）求证：△ABE≌△FMN；（2）若AB＝8，AE＝6，求ON的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，AB∥CD，∠A＝∠D＝90°，又∵MF∥AD，∴四边形AMFD为矩形，∴∠MFD＝∠MFN＝90°，∴AD＝MF，∴AB＝MF，∵BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，∴∠MFN＝∠BAE＝90°，∠FMN+∠BMO＝∠BMO+∠MBO＝90°，∴∠FMN＝∠MBO，在△ABE和△FMN中，∴△ABE≌△FMN（ASA）；（2）∵∠MOB＝∠A＝90°，∠ABE是公共角，∴△BOM∽△BAE，∴OM：AE＝BO：BA，∵AB＝8，AE＝6，∴BE＝＝10，∴OM：6＝5：8，∴OM＝，∵△ABE≌△FMN，∴NM＝BE＝10，∴ON＝MN﹣MO＝．9．（2020•湘西州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：△BAE≌△CDE；（2）求∠AEB的度数．【解答】（1）证明：∵△ADE为等边三角形，∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，∴∠EAB＝∠EDC＝150°，在△BAE和△CDE中，∴△BAE≌△CDE（SAS）；（2）∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠EAB＝150°，∴∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°．10．（2022•雅安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴CD＝AB，∠ABE＝∠CDF＝45°，又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF（SAS）．（2）解：连接AC，交BD于点O，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，又∵DF＝BE，∴OE＝OF，AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形，∵AB＝3，∴AC＝BD＝6，∵BE＝DF＝2，∴四边形AECF的面积＝AC•EF＝×6×2＝6．1．（2022春•张家川县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（）A．BD＝AB B．DC＝AD C．∠AOB＝60° D．OD＝CD【答案】B【解答】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．∴添加DC＝AD，能使矩形ABCD成为正方形．故选：B．2．（2022春•平南县期末）下列说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．菱形的面积为两条对角线长度乘积的一半【答案】D【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项说法错误，不符合题意；B、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故本选项说法错误，不符合题意；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项说法错误，不符合题意；D、菱形的面积为两条对角线长度乘积的一半，故本选项说法正确，符合题意；故选：D．3．（2022秋•铁西区期中）如图，已知正方形ABCD的面积为64平方厘米，DE＝10厘米，则CE的长为（）A．6 B．12 C．2 D．2【答案】D【解答】解：∵正方形ABCD的面积为64平方厘米，∴∠ADC＝90°，DC＝8厘米，∵DE＝10厘米，∴CE＝（厘米），故选：D．4．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，直线l过正方形ABCD的顶点A，BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．若BE＝2，DF＝4，则的EF长为．【答案】6【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∵BE⊥l，DF⊥l，∴∠AFD＝∠AEB＝90°，∴∠FAD+∠FDA＝90°，且∠EAB+∠FAD＝90°，∴∠FDA＝∠EAB，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），即AE＝DF＝4，AF＝BE＝2，∴EF＝AE+AF＝4+2＝6，故答案为：6．5．（2022秋•龙岗区校级期末）已知正方形ABCD的对角线长为6cm，则正方形ABCD的面积为cm2．【答案】18【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AC＝BD＝6cm，AC⊥BD，∴正方形ABCD的面积＝×AC×BD＝18cm2，故答案为：18．6．（2022秋•茂南区期末）正方形的边长为5，则它的周长为．【答案】20【解答】解：∵正方形的四条边都相等，且正方形的边长为5，∴该正方形的周长为5×4＝20，故答案为：207．（2022秋•建邺区校级期中）如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边向外作等边△CDE，则∠AEC＝°．【答案】45【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，∴AD＝CD＝DE，∠ADE＝90°+60°＝150°，∠DEC＝60°，∴∠AED＝（180°﹣150°）÷2＝15°．∴∠AEC＝∠DEC﹣∠DEA＝45°．故答案为：45．8.（2022秋•茂南区期末）如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE、DF．求证：CE＝DF．【解答】证明：∵ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠EBC＝∠FCD＝90°，又∵E、F分别是AB、BC的中点，∴BE＝CF，在△CEB和△DFC中，，∴△CEB≌△DFC，∴CE＝DF．9．（2022春•寻乌县期末）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）当△ABC满足条件时，四边形AEDF是正方形．【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠FA